Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=x^4-2x^2-5$, ta có $f^{\prime }(x)=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)$. $f^{\prime }(x)=0\iff x\in \{-1;0;1\}$, và $f^{\prime }$ đổi dấu qua mỗi nghiệm nên cả ba đều là điểm cực trị (cực tiểu tại $x=\pm 1$, cực đại tại $x=0$).
a) Đúng: hàm số có 3 điểm cực trị $x=-1,0,1$.
b) Sai: trên $(0;1)$ có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm nghịch biến trên $(0;1)$, do đó không đồng biến trên toàn $(0;+\infty )$ (chỉ đồng biến trên $(1;+\infty )$).
c) Sai: $f(0)=-5\ne 1$, nên điểm cực đại của đồ thị là $(0;-5)$, không phải $M(0;1)$.
d) Đúng: $y=f(2x)=16x^4-8x^2-5$ có $(f(2x){)}^{\prime }=64x^3-16x=16x(2x-1)(2x+1)$, cực đại tại $x=0$ với $y=-5$; hàm $f(x)$ cũng có điểm cực đại duy nhất $(0;-5)$. Vậy hai hàm số có cùng điểm cực đại $(0;-5)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=4x(x-1)(x+1)=0$ có 3 nghiệm phân biệt $-1$, $0$, $1$ và $f^{\prime }$ đổi dấu qua mỗi nghiệm, nên hàm có 3 điểm cực trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;1)$ có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm nghịch biến trên $(0;1)$; hàm chỉ đồng biến trên $(1;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=-5$ nên điểm cực đại của đồ thị là $(0;-5)$, không phải $M(0;1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(2x)=16x^4-8x^2-5$ có cực đại tại $x=0$, $y=-5$; $f(x)$ cũng có điểm cực đại duy nhất $(0;-5)$. Vậy hai hàm có cùng điểm cực đại.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=x^2-4x+3$. Cho $y^{\prime }=0\Rightarrow x=1$ hoặc $x=3$. Dấu của $y^{\prime }$: dương trên $(-\infty ;1)$, âm trên $(1;3)$, dương trên $(3;+\infty )$. Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=1$. Tính $y(1)=\frac{1}{3}-2+3+\frac{2}{3}=2$. Điểm cực đại là $(1;2)$, tương ứng đáp án D. (Lưu ý: $x=3$ là điểm cực tiểu với $y(3)=9-18+9+\frac{2}{3}=\frac{2}{3}$, tức phương án B là điểm cực tiểu, không phải cực đại.)

(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=(x+1)(x-4)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=4$ (trên $(-1;4)$ thì $f^{\prime }<0$, trên $(4;+\infty )$ thì $f^{\prime }>0$), nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=4$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu f': trên (−∞;−1) f'>0, (−1;0) f'<0, (0;2) f'>0, (2;4) f'<0, (4;+∞) f'>0. Hàm số liên tục trên R nên điểm cực trị là nơi f' đổi dấu: tại x=−1 (+→−) cực đại; tại x=0 f' không xác định nhưng đổi dấu −→+ nên là cực tiểu; tại x=2 (+→−) cực đại; tại x=4 (−→+) cực tiểu. Vậy có 4 điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$: hàm giảm rồi đạt cực tiểu tại điểm gần $x\approx -0,5$ (giá trị nhỏ hơn $-1$), sau đó tăng lên đạt cực đại tại điểm có tọa độ $(1;1)$, rồi giảm đạt cực tiểu tại $x=2$, cuối cùng tăng. Vậy đồ thị có 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại, tức là hàm số có 3 điểm cực trị. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ có $y^{\prime }=4a{x}^3+2bx=2x(2a{x}^2+b)$. Từ đồ thị dạng chữ W: hàm đạt cực tiểu tại $x=\pm 1$ (giá trị $-3$) và đạt cực đại tại $x=0$ (giá trị $-2$). Thật vậy, đồ thị cho thấy hàm nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$, đồng biến trên $(-1;0)$, nghịch biến trên $(0;1)$, đồng biến trên $(1;+\infty )$, nên $x=0$ là điểm cực đại (các điểm $x=\pm 1$ là điểm cực tiểu). Vậy điểm cực đại là $x=0$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$ (trang 11): tại $x=-1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=-1$ là điểm cực đại; tại $x=0$, $f^{\prime }$ không xác định (ký hiệu $||$) nhưng $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=0$ là điểm cực tiểu; tại $x=2$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=2$ là điểm cực đại; tại $x=4$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=4$ là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có 4 điểm cực trị, đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)=2x(x-1{)}^2(2-x{)}^3$. Với $x<0$: $2x<0$, $(2-x{)}^3>0$ nên $f^{\prime }(x)<0$. Với $0<x<2$ (kể cả qua $x=1$ vì $(x-1{)}^2>0$): $f^{\prime }(x)>0$. Với $x>2$: $(2-x{)}^3<0$ nên $f^{\prime }(x)<0$. Vậy $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=0$ (cực tiểu) và từ $+$ sang $-$ tại $x=2$ (cực đại); $x=1$ không phải cực trị. Điểm cực tiểu là $x=0$, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)=x(x^2-1)(x-2{)}^2$ với các nghiệm $x=-1,0,1,2$ (nghiệm $x=2$ có bậc chẵn nên không đổi dấu). Trên $(-\infty ;-1)$: $f^{\prime }<0$; trên $(-1;0)$: $f^{\prime }>0$; trên $(0;1)$: $f^{\prime }<0$; trên $(1;+\infty )$: $f^{\prime }>0$. Điểm cực tiểu là nơi $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$: đó là $x=-1$ và $x=0$. Vậy có 2 điểm cực tiểu, chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$. Xét dấu $y^{\prime }$ qua từng điểm: tại $x=-3$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=-3$ là điểm cực tiểu; tại $x=-2$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=-2$ là điểm cực đại; tại $x=3$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=3$ là điểm cực tiểu; tại $x=5$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=5$ là điểm cực đại. Cả bốn điểm đều là điểm cực trị, vậy hàm số có 4 điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=-x^3+4x^2-5x+1$, có $y^{\prime }=-3x^2+8x-5$. Giải $y^{\prime }=0$: $3x^2-8x+5=0\Rightarrow x=1$ hoặc $x=\frac{5}{3}$. Vì hệ số của $x^2$ trong $y^{\prime }$ là $-3<0$ nên $y^{\prime }>0$ trên $\left(1;\frac{5}{3}\right)$ và $y^{\prime }<0$ ngoài khoảng này. Do đó hàm số nghịch biến rồi đồng biến rồi nghịch biến: $x=1$ là điểm cực tiểu, $x=\frac{5}{3}$ là điểm cực đại. Vậy $a=\frac{5}{3}$. Giá trị cực tiểu $b=y(1)=-1+4-5+1=-1$. Suy ra $a-b=\frac{5}{3}-(-1)=\frac{8}{3}$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=(x^2-4)(3-x)(x+2)=(x-2)(x+2{)}^2(3-x)$. Nghiệm của $f^{\prime }(x)=0$: $x=-2$ (nghiệm kép), $x=2$, $x=3$. Tại $x=-2$, do là nghiệm bội chẵn nên $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu qua $x=-2$, không phải điểm cực trị. Tại $x=2$: $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ (cực đại). Tại $x=3$: $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ (cực tiểu). Vậy hàm số có 2 điểm cực trị, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=1$, nên hàm số đạt cực đại tại $x=1$ (giá trị cực đại $f(1)=5$). Tại $x=2$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên đó là điểm cực tiểu. Vậy điểm cực đại là $x=1$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^4-2x^2+3$ có $y^{\prime }=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)$. $y^{\prime }=0$ tại $x=0,x=\pm 1$. Xét dấu: $y^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;-1)$, $y^{\prime }<0$ trên $(-1;0)$, $y^{\prime }>0$ trên $(0;1)$, $y^{\prime }<0$ trên $(1;+\infty )$. Vậy hàm đạt cực tiểu tại $x=-1$ và $x=1$ (đạt cực đại tại $x=0$). Số điểm cực tiểu là 2. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: điểm cực đại $(-1;3)$, điểm cực tiểu $(1;-1)$. Hàm bậc ba có $f^{\prime }(x)=3a(x+1)(x-1)$, suy ra $f(x)=a{x}^3-3ax+d$. Từ $f(-1)=3$ và $f(1)=-1$: $2a+d=3$, $-2a+d=-1$ nên $a=1,d=1$, tức $f(x)=x^3-3x+1$.
a) Sai: hàm đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, nghịch biến trên $(-1;1)$, không đồng biến trên $(-\infty ;3)$.
b) Đúng: $3+(-1)=2$.
c) Đúng: giá trị cực đại $3>0$ và giá trị cực tiểu $-1<0$ trái dấu.
d) Sai: đường thẳng qua $(-1;3)$ và $(1;-1)$ có hệ số góc $\frac{-1-3}{1-(-1)}=-2$, phương trình $y=-2x+1$, không phải $y=-3x$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, nghịch biến trên $(-1;1)$ nên không đồng biến trên $(-\infty ;3)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị cực đại $3$, giá trị cực tiểu $-1$, tổng bằng $2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cực đại $3>0$, cực tiểu $-1<0$: hai cực trị trái dấu.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $(-1;3)$ và $(1;-1)$ là $y=-2x+1$, không phải $y=-3x$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị hàm $y=f^{\prime }(x)$ là parabol có đỉnh $(1;-4)$, cắt trục hoành tại $x=-1$ và $x=2$, cắt trục tung tại $-2$. Do đó $f^{\prime }(x)=0\iff x=-1$ hoặc $x=2$; $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<-1$ hoặc $x>2$; $f^{\prime }(x)<0$ khi $-1<x<2$.
a) Sai: $f^{\prime }(1)=-4\ne 0$; $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=-1$ và $x=2$ (không phải $x=1$).
b) Đúng: trên khoảng $(-1;2)$ đồ thị $f^{\prime }$ nằm dưới trục hoành nên $f^{\prime }(x)<0$.
c) Sai: trên $(-\infty ;-1)$ có $f^{\prime }(x)>0$ nên $f$ đồng biến trên khoảng đó, do đó $f$ không nghịch biến trên $(-\infty ;2)$.
d) Sai: $f$ đạt cực đại tại $x=-1$ (vì $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ thành $-$) và đạt cực tiểu tại $x=2$ (vì $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ thành $+$); tại $x=1$ thì $f^{\prime }(1)\ne 0$ nên $f$ không đạt cực trị tại đó.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ cắt trục hoành tại $x=-1$ và $x=2$, nên $f^{\prime }(-1)=f^{\prime }(2)=0$; còn $f^{\prime }(1)=-4\ne 0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên khoảng $(-1;2)$ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ nằm dưới trục hoành nên $f^{\prime }(x)<0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\in (-\infty ;-1)$ ta có $f^{\prime }(x)>0$ nên $f$ đồng biến trên $(-\infty ;-1)$, do đó $f$ không nghịch biến trên toàn khoảng $(-\infty ;2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=-1$ nên $f$ đạt cực đại tại $x=-1$; $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=2$ nên $f$ đạt cực tiểu tại $x=2$, không phải tại $x=1$ (vì $f^{\prime }(1)\ne 0$).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=(x^2-1)(x-4)$ với các nghiệm $x=-1,1,4$. Xét dấu: $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;-1)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-1;1)$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(1;4)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(4;+\infty )$. Vậy $f$ có đúng một điểm cực đại tại $x=1$ (điểm cực tiểu tại $x=-1$ và $x=4$). Với $g(x)=f(3-x)$ thì $g^{\prime }(x)=-f^{\prime }(3-x)$, nên $g$ đạt cực đại khi $f$ đạt cực tiểu tại $3-x$, tức $3-x=-1$ hoặc $3-x=4$, cho $x=4$ hoặc $x=-1$. Vậy $g(x)$ có $2$ điểm cực đại.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=1$, nên hàm số đạt cực đại tại $x=1$ (tại $x=2$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên là điểm cực tiểu).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f$ đạt cực đại $f(-1)=5$ và cực tiểu $f(1)=1$. Vì $f(x)\ge 1>0$ với mọi $x$, nên $|f(x)|=f(x)$ trên toàn miền xác định. Do đó $y=|f(x)|$ có đúng 2 cực trị (cực đại tại $x=-1$, cực tiểu tại $x=1$), không sinh thêm cực trị mới tại giao điểm với trục hoành vì đồ thị không cắt trục hoành.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x-3)(x+1)$. $f^{\prime }(x)=0\iff x=-1$ hoặc $x=3$. Xét dấu: $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<-1$, $f^{\prime }(x)<0$ khi $-1<x<3$, $f^{\prime }(x)>0$ khi $x>3$. Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ (đạt cực tiểu tại $x=3$). Đáp án A.