Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{2x^2+5x+4}{x+2}=2x+1+\frac{2}{x+2}$ (với $x\ne -2$).

Ta có $y^{\prime }=2-\frac{2}{(x+2{)}^2}=\frac{2x^2+8x+6}{(x+2{)}^2}$. Cho $y^{\prime }=0\Rightarrow x^2+4x+3=0\Rightarrow x=-1$ hoặc $x=-3$ (đều thuộc TXĐ).

Tính giá trị tương ứng:
- Tại $x=-1$: $y=\frac{2-5+4}{1}=1$, điểm cực trị $(-1;1)$.
- Tại $x=-3$: $y=\frac{18-15+4}{-1}=-7$, điểm cực trị $(-3;-7)$.

Độ dài đoạn thẳng nối hai điểm cực trị:
$$d=\sqrt{(-1-(-3){)}^2+(1-(-7){)}^2}=\sqrt{4+64}=\sqrt{68}\approx 8,246\approx 8,2.$$

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị của $f^{\prime }(x)$ là một đường cong bậc ba cắt trục hoành tại $x=-1$ và tiếp xúc trục hoành tại $x=2$ (điểm cực tiểu của $f^{\prime }(x)$ nằm đúng trên trục hoành).

Xét dấu của $f^{\prime }(x)$:
- Với $x<-1$: $f^{\prime }(x)<0$.
- Khi qua $x=-1$: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương, nên $x=-1$ là điểm cực tiểu của $f(x)$.
- Trên $(-1;+\infty )$: $f^{\prime }(x)\ge 0$, chỉ bằng $0$ tại $x=2$ (do tiếp xúc), nên $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu khi qua $x=2$; do đó $x=2$ không phải điểm cực trị của $f(x)$.

Vậy hàm số $y=f(x)$ có đúng $1$ điểm cực trị (một cực tiểu tại $x=-1$).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=x^{2017}(x-1{)}^{2018}(x+1)$, $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=-1$, $x=0$, $x=1$. Xét dấu của $f^{\prime }(x)$:
- Với $x<-1$: $x^{2017}<0$, $(x-1{)}^{2018}>0$, $(x+1)<0$ nên $f^{\prime }(x)>0$.
- Với $-1<x<0$: $x^{2017}<0$, $(x-1{)}^{2018}>0$, $(x+1)>0$ nên $f^{\prime }(x)<0$.
- Với $0<x<1$: $x^{2017}>0$, $(x-1{)}^{2018}>0$, $(x+1)>0$ nên $f^{\prime }(x)>0$.
- Với $x>1$: $f^{\prime }(x)>0$.

Tại $x=-1$: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=-1$ là điểm cực đại.
Tại $x=0$: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=0$ là điểm cực tiểu.
Tại $x=1$: $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu (vì $(x-1{)}^{2018}$ luôn không âm) nên $x=1$ không là điểm cực trị.

Vậy hàm số có $2$ điểm cực trị (một điểm cực đại tại $x=-1$ và một điểm cực tiểu tại $x=0$).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ $x=1$, tung độ $y=-2$, tức điểm $M(1;-2)$. Lưu ý: 'điểm cực tiểu' là điểm trên đồ thị nên chọn $M(1;-2)$, không phải $x=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=1$, nên hàm số đạt cực đại tại $x=1$ (tại $x=3$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên đó là điểm cực tiểu).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;2)$ và đổi chiều từ giảm sang tăng tại $x=2$, nên hàm đạt cực tiểu tại $x=2$ với giá trị cực tiểu $f(2)=-2$. Vậy giá trị cực tiểu của hàm số bằng $-2$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ dữ kiện: $f(0)=50$ và $f(x)=0$ tại $x=20,50,100$, nên $f(x)=a(x-20)(x-50)(x-100)$. Thay $x=0$: $a(-20)(-50)(-100)=-100000a=50\Rightarrow a=-\frac{1}{2000}$.

Khi đó $f(x)=-\frac{1}{2000}(x^3-170x^2+8000x-100000)=-\frac{x^3}{2000}+\frac{170x^2}{2000}-4x+50$.

$f^{\prime }(x)=-\frac{3x^2}{2000}+\frac{340x}{2000}-4=0\iff 3x^2-340x+8000=0\iff x=\frac{340\pm \sqrt{19600}}{6}=\frac{340\pm 140}{6}$, tức $x=30$ hoặc $x=80$.

Tại $x=30$: $f(30)=-\frac{1}{2000}(10)(-20)(-70)=-7<0$ (cực tiểu, phía dưới trục $Ox$) nên $q=30$.
Tại $x=80$: $f(80)=-\frac{1}{2000}(60)(30)(-20)=18>0$ (cực đại, phía trên trục $Ox$) nên $p=80$.

Vậy $p+3q=80+3\cdot 30=170$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=3$, nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=3$ với giá trị $f(3)=-4$. Vậy giá trị cực tiểu của hàm số là $-4$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=-1$ và $x=1$ (hai điểm cực tiểu, giá trị cực tiểu bằng 0), và đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=0$ (một điểm cực đại, giá trị cực đại bằng 3). Vậy hàm số có ba điểm cực trị, hai điểm cực tiểu, giá trị cực đại bằng 3. Do đó các mệnh đề A, B, D đúng; mệnh đề C 'Hàm số có giá trị cực đại bằng 0' sai (giá trị cực đại là 3, còn 0 là giá trị cực tiểu).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=3$, nên hàm số đạt cực đại tại $x=3$ (giá trị cực đại $f(3)=2$). Tại $x=-1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên đó là điểm cực tiểu.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$: tại $x=-1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=-1$ là điểm cực đại; tại $x=0$, $f^{\prime }$ không đổi dấu (vẫn âm) nên không phải cực trị; tại $x=1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=1$ là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu f'(x): trên (−∞;−1) f'>0, trên (−1;0) f'<0 → x=−1 là điểm cực đại. Trên (0;1) f'>0, trên (1;2) f'<0, f liên tục tại x=1 (f' không xác định nhưng f xác định) → x=1 là điểm cực đại. Tại x=0: f' đổi dấu từ − sang + → cực tiểu. Tại x=2: f' không đổi dấu (− sang −) → không cực trị. Vậy hàm số có 2 điểm cực đại (x=−1 và x=1).

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)=x(x+1{)}^2(x-2{)}^3$. Nghiệm: $x=-1$ (bội 2), $x=0$ (bội 1), $x=2$ (bội 3).
- Với $x<-1$: $(-)(+)(-)=+$.
- Với $-1<x<0$: $(-)(+)(-)=+$ (dấu không đổi qua $x=-1$ vì $(x+1{)}^2>0$).
- Với $0<x<2$: $(+)(+)(-)=-$, nên tại $x=0$ dấu $f^{\prime }$ đổi từ $+$ sang $-$: cực đại.
- Với $x>2$: $(+)(+)(+)=+$, nên tại $x=2$ dấu $f^{\prime }$ đổi từ $-$ sang $+$: cực tiểu.
Vậy hàm số có 2 điểm cực trị ($x=0$ và $x=2$). Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định: $x^2-4x\ge 0\iff x\le 0$ hoặc $x\ge 4$. Với $x\ne 0,4$: $y^{\prime }=\frac{2x-4}{2\sqrt{x^2-4x}}=\frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x}}$. Trên $(-\infty ;0)$: $x-2<0$ nên $y^{\prime }<0$, hàm nghịch biến. Trên $(4;+\infty )$: $x-2>0$ nên $y^{\prime }>0$, hàm đồng biến. Hàm không có đạo hàm tại $x=0$ và $x=4$, và đây là hai đầu mút của tập xác định (không phải điểm trong khoảng xác định), nên không phải điểm cực trị. Vậy hàm số không có cực trị → đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=e^{-3x}(1-3x)$, $y^{\prime }=0\iff x=\frac{1}{3}$. Với $x<\frac{1}{3}$ thì $y^{\prime }>0$, với $x>\frac{1}{3}$ thì $y^{\prime }<0$, nên hàm số đạt cực đại tại $x=\frac{1}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, $f$ nghịch biến trên $(-\infty ;0)$, đồng biến trên $(0;2)$, nghịch biến trên $(2;+\infty )$; tức $f^{\prime }(x)=0$ và đổi dấu tại $x=0$ (cực tiểu) và $x=2$ (cực đại).

Xét $g(x)=f\left(x^3\right)$: $g^{\prime }(x)=3x^2{f}^{\prime }\left(x^3\right)$. Vì $3x^2\ge 0$, dấu của $g^{\prime }$ chỉ đổi khi $f^{\prime }\left(x^3\right)$ đổi dấu, tức khi $x^3=0$ hoặc $x^3=2$, cho $x=0$ và $x=\sqrt[3]{2}$.

- Tại $x=0$: khi $x$ qua $0$, $x^3$ qua $0$ nên $f^{\prime }\left(x^3\right)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ $\Rightarrow$ $g$ đạt cực tiểu tại $x=0$.
- Tại $x=\sqrt[3]{2}$: $x^3$ qua $2$ nên $f^{\prime }\left(x^3\right)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ $\Rightarrow$ $g$ đạt cực đại tại $x=\sqrt[3]{2}$.

Vậy $g(x)$ có 2 điểm cực trị. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$, $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=-2,2,5$ với dấu của $f^{\prime }$ lần lượt là $-|+|-|+$. Do đó $f$ đạt cực tiểu tại $x=-2$ và $x=5$ (dấu $f^{\prime }$ đổi từ $-$ sang $+$).

Xét $g(x)=f(3-2x)$: $g^{\prime }(x)=-2f^{\prime }(3-2x)$. Khi đó $g^{\prime }(x)=0⟺3-2x\in \{-2;2;5\}⟺x=\frac{5}{2};\frac{1}{2};-1$.

Xét dấu $g^{\prime }(x)=-2f^{\prime }(3-2x)$:
- Với $x<-1$: $3-2x>5\Rightarrow f^{\prime }>0\Rightarrow g^{\prime }<0$.
- Với $-1<x<\frac{1}{2}$: $2<3-2x<5\Rightarrow f^{\prime }<0\Rightarrow g^{\prime }>0$.
- Với $\frac{1}{2}<x<\frac{5}{2}$: $-2<3-2x<2\Rightarrow f^{\prime }>0\Rightarrow g^{\prime }<0$.
- Với $x>\frac{5}{2}$: $3-2x<-2\Rightarrow f^{\prime }<0\Rightarrow g^{\prime }>0$.

Vậy $g^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=-1$ và $x=\frac{5}{2}$: hàm số $g(x)$ có đúng $2$ điểm cực tiểu. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: trên $(-\infty ;0)$ hàm đồng biến, trên $(0;1)$ nghịch biến, trên $(1;+\infty )$ đồng biến. Tại $x=0$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ (hàm liên tục trên $\mathbb{R}$) nên hàm đạt cực đại tại $x=0$ với giá trị $f(0)=0$. Tại $x=1$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên hàm đạt cực tiểu tại $x=1$ với giá trị $f(1)=-1$. Do đó C đúng. A sai vì giá trị cực tiểu bằng $-1$ chứ không phải $1$. B sai vì hàm số không có GTLN, GTNN trên $\mathbb{R}$ (khi $x\to \pm \infty$, $y\to \pm \infty$). D sai vì hàm có hai cực trị là $x=0$ và $x=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định của $f(x)=\sqrt{3x-x^2}$ là $[0;3]$. Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{3-2x}{2\sqrt{3x-x^2}}$.

a) Trên $(0;\frac{3}{2})$ ta có $3-2x>0$ nên $f^{\prime }(x)>0$, hàm số đồng biến. Đúng.

b) $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=\frac{3}{2}$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên hàm đạt cực ĐẠI (không phải cực tiểu) tại $x=\frac{3}{2}$. Sai.

c) Trên $(\frac{3}{2};3)$ ta có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm nghịch biến; do $(2;3)\subset (\frac{3}{2};3)$ nên hàm nghịch biến trên $(2;3)$. Đúng.

d) Điểm cực trị của đồ thị là $I(\frac{3}{2};\frac{3}{2})$. Đường thẳng $d$ cắt hai tia $Ox,Oy$ tại $A(a;0),B(0;b)$ với $a,b>0$ có phương trình $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$. Vì $d$ qua $I$: $\frac{3}{2a}+\frac{3}{2b}=1\iff \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{2}{3}$. Diện tích $S=\frac{ab}{2}=\frac{1}{2uv}$ với $u=\frac{1}{a},v=\frac{1}{b},u+v=\frac{2}{3}$. $S$ nhỏ nhất khi $uv$ lớn nhất, tức $u=v=\frac{1}{3}\Rightarrow a=b=3$. Khi đó $d:x+y=3$ hay $y=-x+3$, nên $m=n=-1$, $3m-2n=-3+2=-1<0$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\in (0;\frac{3}{2})$, $f^{\prime }(x)=\frac{3-2x}{2\sqrt{3x-x^2}}>0$ nên hàm đồng biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=\frac{3}{2}$ nên hàm đạt cực đại, không phải cực tiểu.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(\frac{3}{2};3)$ có $f^{\prime }(x)<0$, mà $(2;3)\subset (\frac{3}{2};3)$ nên hàm nghịch biến trên $(2;3)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường qua $I(\frac{3}{2};\frac{3}{2})$ cắt hai tia tại $A(a;0),B(0;b)$, $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{2}{3}$; diện tích $\frac{ab}{2}$ nhỏ nhất khi $a=b=3$, khi đó $d:y=-x+3$, $3m-2n=-1<0$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: điểm cực đại $(0;2)$, điểm cực tiểu $(2;-2)$, đồ thị đi qua $(1;0)$ và cắt trục tung tại $y=2$. Suy ra $d=2$, $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$ với cực trị tại $x=0$ và $x=2$ nên $c=0$, $6a\cdot 2+2b=0\Rightarrow b=-3a$. Thay $f(1)=0$: $a+b+2=0\Rightarrow a-3a=-2\Rightarrow a=1,b=-3$. Vậy $y=x^3-3x^2+2$. Kiểm tra $f(2)=8-12+2=-2$ đúng. a) Điểm cực đại là $(0;2)$ chứ không phải $(2;0)$ → Sai. b) $f^{\prime }(x)=3x(x-2)>0$ trên $(-\infty ;0)$ nên hàm đồng biến → Đúng. c) $c=0$ → Đúng. d) $f(4)=64-48+2=18\ne 10$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điểm cực đại của đồ thị là $(0;2)$, không phải $(2;0)$ (điểm $(2;-2)$ là điểm cực tiểu).
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $y=x^3-3x^2+2$, ta có $f^{\prime }(x)=3x(x-2)>0$ với mọi $x<0$, nên hàm đồng biến trên $(-\infty ;0)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cực trị tại $x=0$ nên $f^{\prime }(0)=c=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $y=x^3-3x^2+2$, ta có $f(4)=64-48+2=18\ne 10$, nên đồ thị không đi qua $(4;10)$.