Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=(x+1)(x-3{)}^2$. Vì $(x-3{)}^2\ge 0$ với mọi $x$, dấu của $f^{\prime }(x)$ do $(x+1)$ quyết định: $f^{\prime }(x)<0$ khi $x<-1$ và $f^{\prime }(x)>0$ khi $x>-1$ (riêng tại $x=3$ thì $f^{\prime }(3)=0$ nhưng không đổi dấu). a) Trên $(-\infty ;-1)$ có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm nghịch biến → Đúng. b) Trên $(-1;3)$ có $f^{\prime }(x)>0$ nên hàm đồng biến, không nghịch biến → Sai. c) và d) $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=-1$ nên $x=-1$ là điểm cực tiểu; tại $x=3$, $f^{\prime }$ không đổi dấu nên không phải cực trị. Vậy hàm có đúng một điểm cực trị → c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x<-1$: $(x+1)<0$ và $(x-3{)}^2>0$ nên $f^{\prime }(x)<0$, hàm nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\in (-1;3)$: $(x+1)>0$ và $(x-3{)}^2>0$ nên $f^{\prime }(x)>0$, hàm đồng biến chứ không nghịch biến. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }$ chỉ đổi dấu tại $x=-1$ (từ âm sang dương); tại $x=3$, $f^{\prime }$ không đổi dấu nên không phải cực trị. Hàm chỉ có một điểm cực trị, không phải hai. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$x=-1$ là điểm cực tiểu duy nhất vì $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=-1$; $x=3$ không phải cực trị. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $g(x)=f(3-2x)+2025$ nên $g^{\prime }(x)=-2f^{\prime }(3-2x)$.

a) Với $x\in \left(-\frac{5}{2};-1\right)$ thì $t=3-2x\in (5;8)$, tại đó $f^{\prime }(t)>0$ nên $g^{\prime }(x)<0$: hàm nghịch biến. Đúng.

b) Với $x\in (1;2)$ thì $t=3-2x\in (-1;1)$, tại đó $f^{\prime }(t)>0$ nên $g^{\prime }(x)<0$: hàm nghịch biến trên $(1;2)$, không đồng biến. Sai.

c) $g^{\prime }(x)=0\iff 3-2x\in \{-1;1;5\}\iff x\in \{2;1;-1\}$. Tại mỗi điểm, $f^{\prime }$ đổi dấu nên $g^{\prime }$ đổi dấu: $x=-1$ và $x=2$ là điểm cực tiểu, $x=1$ là điểm cực đại. Vậy $g$ có 3 điểm cực trị. Đúng.

d) Theo c), hàm có 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại, không phải 1 điểm cực tiểu. Sai.
a) Với $x\in \left(-\frac{5}{2};-1\right)$ thì $t=3-2x\in (5;8)$, tại đó $f^{\prime }(t)>0$, nên $g^{\prime }(x)=-2f^{\prime }(3-2x)<0$: hàm nghịch biến. Đúng.
b) Với $x\in (1;2)$ thì $t=3-2x\in (-1;1)$, và theo bảng xét dấu ta có $f^{\prime }(t)>0$ trên $(-1;1)$. Do đó $g^{\prime }(x)=-2f^{\prime }(3-2x)<0$ với mọi $x\in (1;2)$, tức hàm nghịch biến trên khoảng này chứ không đồng biến. Sai.
c) $g^{\prime }(x)=0\iff f^{\prime }(3-2x)=0\iff 3-2x\in \{-1;1;5\}\iff x\in \{2;1;-1\}$. Tại mỗi điểm này $f^{\prime }$ đổi dấu nên $g^{\prime }$ đổi dấu: tại $x=-1$ ($t=5$) $g^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ (cực tiểu); tại $x=1$ ($t=1$) $g^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ (cực đại); tại $x=2$ ($t=-1$) $g^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ (cực tiểu). Vậy $g$ có 3 điểm cực trị. Đúng.
d) Theo ý c), hàm có 2 điểm cực tiểu ($x=-1$ và $x=2$) và 1 điểm cực đại ($x=1$), không phải 1 điểm cực tiểu. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $f^{\prime }(x)$ là hàm bậc ba có cực đại tại $(-2;0)$ (tiếp xúc trục hoành) và cực tiểu tại $(0;-4)$, cắt trục hoành tại $x=1$. Suy ra $f^{\prime }(x)=a(x+2{)}^2(x-1)$; vì $f^{\prime }(0)=4a(-1)=-4\Rightarrow a=1$, tức $f^{\prime }(x)=(x+2{)}^2(x-1)$.

a) $f^{\prime }(x)=0\iff x=-2$ (nghiệm kép) hoặc $x=1$. Vì $(x+2{)}^2\ge 0$, ta có $f^{\prime }(x)<0$ với mọi $x<1$, $x\ne -2$ và $f^{\prime }(x)>0$ với $x>1$. Dấu của $f^{\prime }$ không đổi khi qua $x=-2$, chỉ đổi dấu khi qua $x=1$. Vậy $f$ chỉ có một điểm cực trị (cực tiểu tại $x=1$) → sai.

b) Trên $(-\infty ;-2)$ ta có $f^{\prime }(x)<0$ nên $f$ nghịch biến, không đồng biến → sai.

c) Vì $f$ đồng biến trên $(1;+\infty )$ nên $f(2)<f(4)$, do đó $f(2)-f(4)<0$ → sai.

d) $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-x+1=(x+2{)}^2(x-1)-x+1=(x-1)[(x+2{)}^2-1]=(x-1)(x+1)(x+3)$. Trên khoảng $\left(-\frac{5}{2};-\frac{3}{2}\right)$: $x-1<0$, $x+1<0$, $x+3>0$ nên $g^{\prime }(x)>0$. Vậy $g$ đồng biến trên khoảng đó → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=(x+2)^2(x-1) không đổi dấu qua x=-2 (nghiệm kép), chỉ đổi dấu qua x=1, nên f chỉ có một điểm cực trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên (-∞;-2) có f'(x)<0 nên f nghịch biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
f đồng biến trên (1;+∞) nên f(2)<f(4), suy ra f(2)-f(4)<0.
d) (AI giải đề cho tôi)
g'(x)=(x-1)(x+1)(x+3)>0 trên (-5/2;-3/2) nên g đồng biến.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, $f^{\prime }(x)=x^2-4$ (parabol hướng lên, cắt trục hoành tại $x=\pm 2$, $f^{\prime }(0)=-4$). Dấu của $f^{\prime }$: $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<-2$ hoặc $x>2$; $f^{\prime }(x)<0$ khi $-2<x<2$.

a) $f^{\prime }$ đổi dấu tại $x=-2$ (từ + sang −) và tại $x=2$ (từ − sang +), nên $f$ có hai điểm cực trị. Đúng.

b) Trên $(-\infty ,-2)$: $f^{\prime }>0$; trên $(-2,2)$: $f^{\prime }<0$, nên $f$ đạt cực đại tại $x=-2$. Đúng.

c) $y=f(2x+4)\Rightarrow y^{\prime }=2f^{\prime }(2x+4)$. $y^{\prime }=0\iff 2x+4=\pm 2\iff x=-3$ hoặc $x=-1$. Cực đại khi $2x+4=-2\iff x=-3$ (vì khi đó $f^{\prime }$ đổi dấu + sang −). Tại $x=0$: $2x+4=4$, $f^{\prime }(4)>0$ nên không cực trị. Sai.

d) $y=f(x^2-2)\Rightarrow y^{\prime }=2x{f}^{\prime }(x^2-2)$. $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x^2-2=\pm 2\iff x=\pm 2$. Xét dấu: với $|x|>2$ thì $x^2-2>2$ nên $f^{\prime }>0$, $y^{\prime }$ cùng dấu $x$: $y^{\prime }>0$ khi $x<-2$, $y^{\prime }>0$ khi $x>2$; với $0<|x|<2$ thì $f^{\prime }<0$: $y^{\prime }<0$ khi $-2<x<0$... cụ thể: $x<-2$: $y^{\prime }>0$; $-2<x<0$: $2x<0$, $f^{\prime }<0$ nên $y^{\prime }>0$? Kiểm tra lại: với $-2<x<0$, $x^2\in (0,4)$, $x^2-2\in (-2,2)$, $f^{\prime }<0$, $2x<0$ nên $y^{\prime }>0$. Với $0<x<2$: $2x>0$, $f^{\prime }<0$ nên $y^{\prime }<0$. Vậy: $x<-2$: $y^{\prime }>0$; $-2<x<0$: $y^{\prime }>0$ — tại $x=-2$ không đổi dấu? Xét kỹ hơn: với $x<-2$, $x^2-2>2$, $f^{\prime }>0$, $2x<0$ nên $y^{\prime }<0$. Sửa: $x<-2$: $y^{\prime }<0$; $-2<x<0$: $y^{\prime }>0$ (đổi dấu − sang +: cực tiểu tại $x=-2$); $0<x<2$: $y^{\prime }<0$ (đổi dấu + sang −: cực đại tại $x=0$); $x>2$: $y^{\prime }>0$ (đổi dấu − sang +: cực tiểu tại $x=2$). Vậy hàm số có ba điểm cực trị: $x=-2,0,2$. Đúng.

Kết luận: a đúng, b đúng, c sai, d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=x^2-4$ đổi dấu tại $x=-2$ (từ + sang −) và $x=2$ (từ − sang +), nên $f$ có hai điểm cực trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }>0$ trên $(-\infty ,-2)$ và $f^{\prime }<0$ trên $(-2,2)$, nên $f$ đạt cực đại tại $x=-2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=2f^{\prime }(2x+4)=0\iff x=-3$ hoặc $x=-1$; cực đại tại $x=-3$ (khi $2x+4=-2$). Tại $x=0$ thì $2x+4=4$, $f^{\prime }(4)>0$, không phải cực đại.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=2x{f}^{\prime }(x^2-2)=0$ tại $x=0,\pm 2$. Dấu của $y^{\prime }$: âm với $x<-2$, dương với $-2<x<0$, âm với $0<x<2$, dương với $x>2$. Vậy có ba điểm cực trị: cực tiểu tại $x=\pm 2$, cực đại tại $x=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, $f$ có 5 điểm cực trị tại các hoành độ $t\approx -2$ (cực tiểu), $t=-1$ (cực đại), $t\approx 0$ (cực tiểu), $t=1$ (cực đại), $t\approx 2$ (cực tiểu). Xét $y=f(-|x|+1)$, đặt $t=-|x|+1\le 1$. Với $x>0$: $t=1-x$ giảm từ $1$ đến $-\infty$; với $x<0$: $t=1+x$ tăng từ $-\infty$ đến $1$; tại $x=0$ thì $t=1$. Mỗi điểm cực trị $t_0<1$ của $f$ cho hai điểm cực trị $x=\pm (1-t_0)$ của hàm hợp: với $t_0\approx -2,-1,0$ ta được 6 điểm cực trị $x=\pm 3,\pm 2,\pm 1$. Riêng $t=1$ (cực đại của $f$) ứng với $x=0$: với $x<0$ thì $t$ tăng và $f$ tăng theo $t$ nên hàm hợp tăng; với $x>0$ thì $t$ giảm và $f$ giảm theo $t$ nên hàm hợp vẫn tăng; do đó hàm hợp tăng trên cả hai bên của $x=0$, $x=0$ không là điểm cực trị. Vậy tổng số điểm cực trị là 6.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=-4x^3+16x=-4x(x-2)(x+2)$. Hàm số đạt cực tiểu tại $x=\pm 2$ (đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương). Tại đó $y=-(\pm 2{)}^4+8\cdot (\pm 2{)}^2+2025=-16+32+2025=2041$. Vậy giá trị cực tiểu $y_{ct}=2041$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=x^3-3x^2-9x$.
a) $f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9$ — đúng.
b) $f^{\prime }(x)=0\iff x=-1$ hoặc $x=3$, hai giá trị trái dấu nên đồ thị có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung — đúng.
c) Trên $[0;5]$: $f(0)=0$, $f(3)=27-27-27=-27$, $f(5)=125-75-45=5$. Vậy GTLN bằng $5$, không phải $-5$ — sai.
d) Điểm cực trị: $(-1;f(-1))=(-1;5)$ và $(3;f(3))=(3;-27)$. Hệ số góc $k=\frac{-27-5}{3-(-1)}=\frac{-32}{4}=-8$ — đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm của $x^3-3x^2-9x$ là $f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3(x-3)(x+1)=0\iff x=-1$ hoặc $x=3$, hai điểm cực trị có hoành độ trái dấu nên nằm về hai phía của trục tung.
c) (AI giải đề cho tôi)
So sánh $f(0)=0$, $f(3)=-27$, $f(5)=5$: GTLN trên $[0;5]$ bằng $5$, không phải $-5$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai điểm cực trị là $(-1;5)$ và $(3;-27)$, nên $k=\frac{-27-5}{3+1}=-8$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3+6x^2-15x+2033$ có $y^{\prime }=3x^2+12x-15=3(x^2+4x-5)=3(x-1)(x+5)$. $y^{\prime }=0\iff x=1$ hoặc $x=-5$. Vì hệ số $a=3>0$, hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$ (điểm cực đại là $x=-5$). Giá trị cực tiểu: $y(1)=1+6-15+2033=2025$.

(AI giải đề cho tôi)
Viết $y=\frac{x^2-4x+5}{x-2}=x-2+\frac{1}{x-2}$, TXĐ $x\ne 2$. Ta có $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-2{)}^2}=0\iff x=1$ hoặc $x=3$. Với $y^{\prime \prime }=\frac{2}{(x-2{)}^3}$: tại $x=1$, $y^{\prime \prime }=-2<0$ nên hàm đạt cực đại tại $x=1$, $y(1)=\frac{1-4+5}{1-2}=-2$. Tại $x=3$, $y^{\prime \prime }>0$ nên đó là cực tiểu. Vậy điểm cực đại là $M(1;-2)$, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=1$, nên hàm số đạt cực đại tại $x=1$ (đạt cực tiểu tại $x=2$ vì $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$). Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-3x^2+2x+5=0\iff x=-1$ hoặc $x=\frac{5}{3}$. Vì hệ số $a=-3<0$, hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ và cực tiểu tại $x_0=\frac{5}{3}$. Tính $y_0=y\left(\frac{5}{3}\right)=-\frac{125}{27}+\frac{25}{9}+\frac{25}{3}-5=\frac{-125+75+225-135}{27}=\frac{40}{27}$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị của $f^{\prime }(x)$ (parabol cắt trục hoành tại $x=-2$, $x=2$ và $x=5$): $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-2;2)$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(2;5)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-2)\cup (5;+\infty )$.
a) Trên $(-2;2)$ đồ thị $f^{\prime }$ nằm trên trục hoành nên $f^{\prime }(x)>0$: ĐÚNG.
b) Trên $(2;+\infty )$: $f$ giảm trên $(2;5)$ và tăng trên $(5;+\infty )$ nên $\underset{(2;+\infty )}{\mathrm{Min}}f(x)=f(5)$, không phải $f(4)$: SAI.
c) $f^{\prime }$ đổi dấu tại $x=-2$, $x=2$, $x=5$ nên $f$ có 3 điểm cực trị: ĐÚNG.
d) $(f(2-x){)}^{\prime }=-f^{\prime }(2-x)$. Hàm nghịch biến khi $-f^{\prime }(2-x)<0\iff f^{\prime }(2-x)>0\iff 2-x\in (-2;2)\iff x\in (0;4)$: ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên khoảng $(-2;2)$ đồ thị $f^{\prime }(x)$ nằm phía trên trục hoành nên $f^{\prime }(x)>0$ với mọi $x\in (-2;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(2;+\infty )$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(2;5)$ và $f^{\prime }(x)>0$ trên $(5;+\infty )$, nên $f$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=5$: $\underset{(2;+\infty )}{\mathrm{Min}}f(x)=f(5)\ne f(4)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=0$ và đổi dấu tại $x=-2$, $x=2$, $x=5$, nên $y=f(x)$ có 3 điểm cực trị.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(f(2-x){)}^{\prime }=-f^{\prime }(2-x)$. Hàm nghịch biến khi $f^{\prime }(2-x)>0\iff 2-x\in (-2;2)\iff x\in (0;4)$, đúng như khẳng định.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(t)=\frac{3000}{1+3e^{-t}}$. Tốc độ bán hàng là $f^{\prime }(t)=\frac{9000e^{-t}}{(1+3e^{-t}{)}^2}$. Xét $g(t)=f^{\prime }(t)$, ta có $g^{\prime }(t)=9000\cdot \frac{-e^{-t}(1+3e^{-t})+3e^{-2t}}{(1+3e^{-t}{)}^3}=\frac{9000e^{-t}(3e^{-t}-1)}{(1+3e^{-t}{)}^3}$. Vậy $g^{\prime }(t)=0\iff 3e^{-t}=1\iff t=\ln 3$. Với $0\le t<\ln 3$ thì $g^{\prime }(t)>0$, với $t>\ln 3$ thì $g^{\prime }(t)<0$, nên $f^{\prime }(t)$ đạt giá trị lớn nhất tại $t=\ln 3\approx 1,0986$. Làm tròn đến hàng phần mười: $1,1$ năm.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, $f^{\prime }(x)$ có dạng parabol với điểm cực tiểu tại $x=1$, $f^{\prime }(1)=0$, $f^{\prime }(-1)=4$, $f^{\prime }(0)=2$, nên $f^{\prime }(x)\ge 0$ trên $\mathbb{R}$ và $f^{\prime }(x)=0$ chỉ tại $x=1$ (nghiệm kép). Xét $g(x)=f(x)-x$ nên $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-1$. Phương trình $f^{\prime }(x)=1$ có hai nghiệm: một nghiệm $a<-1$ (trên nhánh trái của parabol) và một nghiệm $b>1$ (trên nhánh phải), vì giá trị nhỏ nhất của $f^{\prime }$ bằng $0<1$. Dấu của $g^{\prime }(x)$: với $x<a$ thì $f^{\prime }(x)<1$ nên $g^{\prime }<0$; với $a<x<b$ thì $f^{\prime }(x)>1$ nên $g^{\prime }>0$; với $x>b$ thì $f^{\prime }(x)<1$ nên $g^{\prime }<0$. Vậy $g$ đổi dấu từ âm sang dương tại $x=a$ (cực tiểu) và từ dương sang âm tại $x=b$ (cực đại). Hàm số $g$ có 2 điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số đồng biến rồi nghịch biến xen kẽ: đạt cực đại tại $x=-1$ và $x=1$ (giá trị $y=2$), đạt cực tiểu tại $x=0$ (giá trị $y=1$). Vậy hàm số có 3 điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$: $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=-1,1,4$ và $f^{\prime }$ đổi dấu tại cả ba điểm: $f^{\prime }<0$ trên $(-\infty ;-1)$, $f^{\prime }>0$ trên $(-1;1)$, $f^{\prime }<0$ trên $(1;4)$, $f^{\prime }>0$ trên $(4;+\infty )$. a) Sai: $f$ có ba điểm cực trị (cực tiểu tại $x=-1$, cực đại tại $x=1$, cực tiểu tại $x=4$), không phải hai. b) Sai: trên $(1;4)$ có $f^{\prime }(x)<0$ nên $f$ nghịch biến, do đó $f$ không đồng biến trên toàn khoảng $(1;+\infty )$. c) Đúng: vì $f$ nghịch biến trên $(1;4)$ và $1<2<4$ nên $f(1)>f(2)>f(4)$. d) Đúng: trên đoạn $[-1;4]$, $f$ đồng biến trên $[-1;1]$ và nghịch biến trên $[1;4]$ nên giá trị lớn nhất đạt tại $x=1$, tức ${\max }_{[-1;4]}f=f(1)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }$ đổi dấu tại ba điểm $x=-1,1,4$ nên $f$ có ba cực trị (cực tiểu tại $x=-1$, cực đại tại $x=1$, cực tiểu tại $x=4$), không phải hai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(1;4)$ có $f^{\prime }(x)<0$ nên $f$ nghịch biến, do đó $f$ không đồng biến trên toàn khoảng $(1;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f$ nghịch biến trên $(1;4)$ và $1<2<4$ nên $f(1)>f(2)>f(4)$. Mệnh đề đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-1;4]$, $f$ đồng biến trên $[-1;1]$ và nghịch biến trên $[1;4]$ nên giá trị lớn nhất đạt tại $x=1$, tức ${\max }_{[-1;4]}f=f(1)$.

(AI giải đề cho tôi)
y' = 3ax^2 + 2bx + c có hai nghiệm phân biệt x1 ∈ (-1;0), x2 ∈ (1;2). Hàm số đồng biến trên (x1; x2) nên a > 0. Theo Viète: x1 + x2 = -2b/(3a) ∈ (0; 2) nên -2b/(3a) > 0, vì a > 0 suy ra b < 0. Tích x1·x2 = c/(3a) < 0 (vì x1 < 0 < x2), với a > 0 suy ra c < 0. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nghĩa là d < 0, nhưng d không thuộc các số a, b, c. Vậy trong các số a, b, c có đúng 2 số âm (b và c).

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $f(x)=\frac{2x(x+13)+18}{x+13}=2x+\frac{18}{x+13}$ với $x\ne -13$. Ta có $f^{\prime }(x)=2-\frac{18}{(x+13{)}^2}$. Cho $f^{\prime }(x)=0\Rightarrow (x+13{)}^2=9\Rightarrow x=-10$ hoặc $x=-16$. Xét dấu $f^{\prime }$: $f^{\prime }>0$ khi $x<-16$ hoặc $x>-10$; $f^{\prime }<0$ khi $-16<x<-10$ (trừ $x=-13$). Vậy $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=-16$ nên hàm đạt cực đại tại $x_2=-16$; $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=-10$ nên hàm đạt cực tiểu tại $x_1=-10$. Do đó $P=-2x_1+x_2=-2(-10)+(-16)=20-16=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=3$, nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=3$ với giá trị $f(3)=-5$. Vậy giá trị cực tiểu là $-5$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$: tại $x=-1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=-1$ là điểm cực đại; tại $x=0$, $f^{\prime }$ không đổi dấu (vẫn âm) nên không phải cực trị; tại $x=1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=1$ là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị.