Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-3x^2+2x+5=0\iff x=-1$ hoặc $x=\frac{5}{3}$. Với $x=-1$: $y=1+1-5-5=-8$; với $x=\frac{5}{3}$: $y=\frac{40}{27}$. Vì hệ số $a=-3<0$, hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$ ($y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=-1$). Vậy điểm cực tiểu là $(-1;-8)$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{(6x-2)(x-2)-(3x^2-2x+4)}{(x-2{)}^2}=\frac{3x^2-12x}{(x-2{)}^2}$. $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=4$ (đều thuộc TXĐ $x\ne 2$). $y(0)=-2$, $y(4)=\frac{48-8+4}{2}=22$. Khoảng cách giữa hai điểm cực trị $(0;-2)$ và $(4;22)$: $\sqrt{4^2+24^2}=\sqrt{592}=4\sqrt{37}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, $y=f^{\prime }(x)$ là hàm bậc ba với hệ số của $x^3$ âm: đi từ $+\infty$ khi $x\to -\infty$, cắt trục hoành tại $x=-1$, đạt cực tiểu bằng $-3$ (tại hoành độ khoảng $x\approx -0,5$), cắt trục tung tại $f^{\prime }(0)\approx -2$, đạt cực đại bằng $2$ tại $x=1$, cắt trục hoành tại $x=3$ rồi đi xuống $-\infty$.
Ta có $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+x^2-2x+2=f^{\prime }(x)+(x-1{)}^2+1$.
Xét dấu của $g^{\prime }$:
- Với $x\le 3$: trên đoạn $[-1;3]$, giá trị nhỏ nhất của $f^{\prime }$ là $-3$ (tại $x\approx -0,5$), trong khi $(x-1{)}^2+1\approx 3,25$ tại đó, nên $g^{\prime }>0$. Tại $x=-1$: $g^{\prime }=0+5=5>0$; tại $x=0$: $g^{\prime }\approx -2+2=0$; tại $x=1$: $g^{\prime }=2+1=3>0$; tại $x=3$: $g^{\prime }=0+5=5>0$. Như vậy trên $(-\infty ;3]$ thì $g^{\prime }(x)\ge 0$ (nếu $g^{\prime }(0)=0$ thì $g^{\prime }$ chỉ tiếp xúc với trục hoành, không đổi dấu vì $g^{\prime }>0$ hai bên).
- Với $x>3$: $f^{\prime }(x)<0$ và giảm về $-\infty$ theo cấp bậc ba, nhanh hơn mức tăng cấp bậc hai của $(x-1{)}^2+1$, nên $g^{\prime }(x)\to -\infty$. Vì $g^{\prime }(3)=5>0$, theo định lý giá trị trung gian $g^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm đúng một lần tại điểm $x_0>3$.
Vậy $g^{\prime }(x)$ dương trên $(-\infty ;x_0)$ (trừ có thể tiếp xúc tại $x=0$) và âm trên $(x_0;+\infty )$: $g$ có đúng $1$ điểm cực trị (cực đại tại $x_0$). Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1a) Vì $f(x)=\frac{1}{4}{x}^4+a{x}^3+b{x}^2+cx$ nên $f^{\prime }(x)=x^3+3a{x}^2+2bx+c$ là hàm bậc ba với hệ số dẫn $1$. Từ đồ thị, $f^{\prime }(x)$ có nghiệm đơn $x=-1$, nghiệm kép $x=2$, do đó $f^{\prime }(x)=(x+1)(x-2{)}^2=x^3-3x^2+4$, suy ra $a=-1,b=0,c=4$ (đồ thị cắt trục $Oy$ tại $f^{\prime }(0)=4$). Ta có $f^{\prime \prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$ và $f^{\prime \prime }(u)=3u(u-2)$.
$g^{\prime }(x)=f^{\prime \prime }\left(f^{\prime }(x)\right)\cdot f^{\prime \prime }(x)$. Nghiệm của $g^{\prime }$: $f^{\prime \prime }(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$; $f^{\prime \prime }(f^{\prime }(x))=0\iff f^{\prime }(x)=0$ (tức $x=-1$ hoặc $x=2$) hoặc $f^{\prime }(x)=2$, tức $(x+1)(x-2{)}^2=2\iff x^3-3x^2+2=0\iff (x-1)(x^2-2x-2)=0\iff x=1$ hoặc $x=1\pm \sqrt{3}$.
$f^{\prime }$ tăng trên $(-\infty ,0)$, giảm trên $(0,2)$, tăng trên $(2,+\infty )$; $f^{\prime }(0)=4$ (max), $f^{\prime }(2)=0$ (min); $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ,-1)$, $0<f^{\prime }(x)<2$ trên $(-1,1-\sqrt{3})\cup (1,1+\sqrt{3})$ (trừ gần $x=2$), $f^{\prime }(x)>2$ trên $(-\infty ,1-\sqrt{3})\cup (1,1+\sqrt{3})$... cụ thể $f^{\prime }(x)>2$ trên $(1-\sqrt{3},1)$ và $(1+\sqrt{3},+\infty )$.
Xét dấu $g^{\prime }(x)$:
- $(-\infty ,-1)$: $f^{\prime \prime }(x)>0$, $f^{\prime }(x)<0\Rightarrow f^{\prime \prime }(f^{\prime })>0\Rightarrow g^{\prime }>0$.
- $(-1,1-\sqrt{3})$: $f^{\prime \prime }(x)>0$, $0<f^{\prime }<2\Rightarrow f^{\prime \prime }(f^{\prime })<0\Rightarrow g^{\prime }<0$ ⇒ $x=-1$ là điểm cực đại.
- $(1-\sqrt{3},0)$: $f^{\prime \prime }(x)>0$, $f^{\prime }>2\Rightarrow f^{\prime \prime }(f^{\prime })>0\Rightarrow g^{\prime }>0$ ⇒ $x=1-\sqrt{3}$ là điểm cực tiểu.
- $(0,1)$: $f^{\prime \prime }(x)<0$, $f^{\prime }>2\Rightarrow f^{\prime \prime }(f^{\prime })>0\Rightarrow g^{\prime }<0$ ⇒ $x=0$ là điểm cực đại.
- $(1,2)$: $f^{\prime \prime }(x)<0$, $0<f^{\prime }<2\Rightarrow f^{\prime \prime }(f^{\prime })<0\Rightarrow g^{\prime }>0$ ⇒ $x=1$ là điểm cực tiểu.
- $(2,1+\sqrt{3})$: $f^{\prime \prime }(x)>0$, $0<f^{\prime }<2\Rightarrow f^{\prime \prime }(f^{\prime })<0\Rightarrow g^{\prime }<0$ ⇒ $x=2$ là điểm cực đại.
- $(1+\sqrt{3},+\infty )$: cả hai dương ⇒ $g^{\prime }>0$ ⇒ $x=1+\sqrt{3}$ là điểm cực tiểu.
Vậy $g(x)$ có $6$ điểm cực trị: $x=-1,x=1-\sqrt{3},x=0,x=1,x=2,x=1+\sqrt{3}$.

Câu 1b) Tại chiều cao $h$ ($0\le h\le 2$), cạnh hình vuông cắt ngang là $1+h$ (từ 1 đến 3), diện tích $A(h)=(1+h{)}^2$. Thể tích nước đến chiều cao $h$: $V(h)={\int }_0^h(1+u{)}^{2}du=\frac{(1+h{)}^3-1}{3}$. Mực nước đến đường trung bình hình thang ứng $h=1$: $V(1)=\frac{8-1}{3}=\frac{7}{3}{m}^3$. Thể tích toàn bể: $V(2)=\frac{27-1}{3}=\frac{26}{3}{m}^3$. Tốc độ bơm không đổi: $\frac{7/3}{35}=\frac{1}{15}{m}^3$/phút. Thời gian bơm phần còn lại: $\frac{26/3-7/3}{1/15}=\frac{19/3}{1/15}=95$ phút. Tại $t=36$: thể tích đã bơm $\frac{36}{15}=\frac{12}{5}{m}^3$, nên $\frac{(1+h{)}^3-1}{3}=\frac{12}{5}\Rightarrow (1+h{)}^3=\frac{41}{5}\Rightarrow h=\sqrt[3]{\frac{41}{5}}-1\approx 1,0165m$. Tốc độ dâng: $A(h)\cdot h^{\prime }(t)=\frac{1}{15}\Rightarrow h^{\prime }(36)=\frac{1}{15(1+h{)}^2}=\frac{1}{15{\left(\frac{41}{5}\right)}^{2/3}}\approx 0,0164m$/phút.

(AI giải đề cho tôi)
**Câu I.1)** Xét $y=|x^2-2x-3|+2x$, với $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$.

- Với $x<-1$ hoặc $x>3$: $y=x^2-2x-3+2x=x^2-3$, có $y^{\prime }=2x=0\Rightarrow x=0$ (không thuộc miền này, loại). Trên hai miền này hàm đồng biến nên không có cực trị.
- Với $-1\le x\le 3$: $y=-x^2+2x+3+2x=-x^2+4x+3$, có $y^{\prime }=-2x+4=0\Rightarrow x=2$, $y(2)=7$. Vì $y^{\prime \prime }=-2<0$ nên $x=2$ là điểm cực đại.

Tại các điểm gãy:
- Tại $x=-1$: đạo hàm trái $y^{\prime }=2x=-2<0$, đạo hàm phải $y^{\prime }=-2x+4=6>0$ → hàm đổi chiều biến thiên từ giảm sang tăng → $x=-1$ là điểm cực tiểu ($y=-2$).
- Tại $x=3$: đạo hàm trái $y^{\prime }=-2x+4=-2<0$, đạo hàm phải $y^{\prime }=2x=6>0$ → $x=3$ là điểm cực tiểu ($y=6$).

Vậy hàm số có **3 điểm cực trị**: cực tiểu tại $x=-1$, cực đại tại $x=2$, cực tiểu tại $x=3$.

**Câu I.2)** Gọi số tiền gửi kì hạn thứ $k$ là $a_k=9+k$ (triệu đồng), $k=1,\dots ,12$ (tức $10,11,\dots ,21$). Lãi suất $4,5\%$/tháng theo lãi kép, hệ số nhân $r=1,045$.

Khoản gửi ở kì hạn thứ $k$ sinh lãi trong $(13-k)$ tháng, nên cuối kì hạn thứ 12 tổng số tiền nhận được:
$$S=\sum _{k=1}^{12}(9+k)\cdot 1,045^{13-k}=\sum _{j=1}^{12}(22-j)\cdot 1,045^j=22\sum _{j=1}^{12}{r}^j-\sum _{j=1}^{12}j{r}^j.$$

Tính với $r=1,045$: $r^{12}\approx 1,695881$, $r^{13}\approx 1,772196$.

- ${\sum }_{j=1}^{12}{r}^j=\frac{r(r^{12}-1)}{r-1}=\frac{1,045\cdot 0,695881}{0,045}\approx 16,15990$.
- ${\sum }_{j=1}^{12}j{r}^j=\frac{r\left(1-13r^{12}+12r^{13}\right)}{(1-r{)}^2}=\frac{1,045\cdot (1-22,046453+21,266352)}{0,002025}\approx \frac{1,045\cdot 0,219899}{0,002025}\approx 113,4814$.

Suy ra $S\approx 22\cdot 16,15990-113,4814\approx 355,518-113,481\approx 242,04$ triệu đồng.

Vậy cuối kì hạn thứ 12 người đó nhận được tổng cộng khoảng **242 triệu đồng** (làm tròn đến hàng đơn vị).

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)$ qua từng điểm: tại $x=-1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=-1$ là điểm cực tiểu. Tại $x=0$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên là điểm cực đại. Tại $x=1$, $f^{\prime }$ không xác định (dấu $\Vert$) nhưng $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ qua $x=1$, nên $x=1$ cũng là điểm cực tiểu. Tại $x=2$, $f^{\prime }$ giữ dấu $+$ nên không phải điểm cực trị. Vậy hàm số có 2 điểm cực tiểu ($x=-1$ và $x=1$).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3+3$ có đạo hàm $y^{\prime }=3x^2$. Vì $y^{\prime }=3x^2\ge 0$ với mọi $x$ và $y^{\prime }=0$ chỉ tại $x=0$ mà đạo hàm không đổi dấu qua $x=0$, hàm số không có cực trị. Vậy số điểm cực trị là 0, khớp với đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-3=0\Rightarrow x=\pm 1$. $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=1$ nên hàm đạt cực tiểu tại $x=1$, $y(1)=1-3+1=-1$. Vậy điểm cực tiểu là $(1;-1)$, trùng đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2-4x+5}{x-2}$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{2\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x-4)(x-2)-(x^2-4x+5)}{(x-2{)}^2}=\frac{x^2-4x+3}{(x-2{)}^2}$. Cho $y^{\prime }=0$ ta được $x^2-4x+3=0\iff x=1$ hoặc $x=3$ (đều thuộc tập xác định, và $y^{\prime }$ đổi dấu qua hai điểm này nên là hai điểm cực trị). Tổng hoành độ hai điểm cực trị: $1+3=4$. Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi đi qua $x=-3$, nên hàm số đạt cực đại tại $x=-3$ (giá trị cực đại $y=3$). Tại $x=-1$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên đó là điểm cực tiểu. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=0$, nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ với giá trị $f(0)=-3$. Tại $x=4$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên hàm số đạt cực đại $f(4)=6$. Vậy giá trị cực tiểu của hàm số bằng $-3$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=x^3-6x^2+9x+2$ là đa thức nên xác định trên $\mathbb{R}$ và $f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$.
a) Đúng: tập xác định $\mathcal{D}=\mathbb{R}$, đạo hàm $f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9$.
b) Sai: $f^{\prime }(x)=0\iff 3(x-1)(x-3)=0\iff x=1$ hoặc $x=3$, không phải $x=-1$ và $x=-3$.
c) Đúng: $f^{\prime }(x)<0$ khi $x\in (1;3)$ nên hàm nghịch biến trên $(1;3)$; $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=1$ nên hàm đạt cực đại tại $x=1$.
d) Đúng: trên $[0;4]$ ta có $f(0)=2$, $f(1)=6$, $f(3)=2$, $f(4)=6$; so sánh được $\max f=6$ và $\min f=2$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đa thức xác định trên $\mathbb{R}$, $f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3(x-1)(x-3)=0\iff x=1$ hoặc $x=3$, không phải $x=-1$ và $x=-3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)<0$ trên $(1;3)$ nên nghịch biến; $f^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm tại $x=1$ nên cực đại tại $x=1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=2$, $f(1)=6$, $f(3)=2$, $f(4)=6$ nên $\max f=6$, $\min f=2$ trên $[0;4]$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3-3x^2-9x+5$ có $y^{\prime }=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=0\Rightarrow x=-1$ hoặc $x=3$. Tại $x=-1$: $y=-1-3+9+5=10$. Tại $x=3$: $y=27-27-27+5=-22$. Vậy $y_1+y_2=10+(-22)=-12$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)=x^2(x-1)(x+4)$. Với $x<-4$: $f^{\prime }(x)>0$; với $-4<x<0$: $f^{\prime }(x)<0$; với $0<x<1$: $f^{\prime }(x)<0$ (do $x^2>0$); với $x>1$: $f^{\prime }(x)>0$. Tại $x=-4$: $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên là điểm cực đại. Tại $x=0$: $f^{\prime }$ không đổi dấu nên không phải cực trị. Tại $x=1$: $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị, đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2-x+1}{x-1}$, $x\ne 1$. Tính đạo hàm: $y^{\prime }=\frac{(2x-1)(x-1)-(x^2-x+1)}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}$. Cho $y^{\prime }=0\Rightarrow x=0$ hoặc $x=2$. Tại $x=0$: $y=-1$; tại $x=2$: $y=\frac{4-2+1}{1}=3$. Xét dấu $y^{\prime }$: trên $(-\infty ,0)$, $y^{\prime }>0$; trên $(0,1)$, $y^{\prime }<0$; trên $(1,2)$, $y^{\prime }<0$; trên $(2,\infty )$, $y^{\prime }>0$. Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=0$ với giá trị cực đại $a=-1$, đạt cực tiểu tại $x=2$ với giá trị cực tiểu $b=3$. Do đó $3a+2b=3(-1)+2(3)=-3+6=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=-x^3+3x^2+5$ có $y^{\prime }=-3x^2+6x=-3x(x-2)$. Cho $y^{\prime }=0$ được $x=0$ hoặc $x=2$. Vì hệ số $a=-3<0$, hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ (đi từ âm sang dương qua $x=0$), với $y(0)=5$. Vậy điểm cực tiểu là $A(0;5)$, do đó $OA=\sqrt{0^2+5^2}=5$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số bậc ba có điểm cực đại $(1;2)$ và điểm cực tiểu $(3;-2)$. Giá trị cực tiểu là tung độ của điểm cực tiểu, tức là $-2$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=8$, nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=8$ (giá trị cực tiểu $y=-4$). Tại $x=4$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên đó là điểm cực đại.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=-2$, nên hàm số đạt cực đại tại $x=-2$ với giá trị cực đại $y=f(-2)=13$. Tại $x=-3$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên đó là điểm cực tiểu với giá trị $-6$. Vậy giá trị cực đại của hàm số là $y=13$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hình vẽ (trang 4): hàm bậc ba đi xuống từ $+\infty$ khi $x\to -\infty$, đạt cực tiểu tại $x=0$ (điểm thấp nhất với $y=1$), sau đó đi lên đạt cực đại tại $x=2$ (đỉnh cao nhất của đồ thị), rồi đi xuống khi $x\to +\infty$. Vậy điểm cực đại của hàm số là $x=2$. Đáp án A.