Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Theo bảng xét dấu ở ảnh gốc (Câu 58): dãy dấu của $f^{\prime }(x)$ là $+0-$ tại $x=-3$, rồi $\Vert$ tại $x=-2$ (không xác định), sau đó $-0+0-$ qua $x=-1$ và $x=0$, rồi $\Vert$ tại $x=1$ (không xác định), sau đó $+0-0+$ qua $x=2$ và $x=3$. Xét từng điểm: tại $x=-3$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ → cực đại; tại $x=-2$, $f^{\prime }$ không xác định nhưng không đổi dấu ($-$ sang $-$) → không phải cực trị; tại $x=-1$, đổi từ $-$ sang $+$ → cực tiểu; tại $x=0$, đổi từ $+$ sang $-$ → cực đại; tại $x=1$, không xác định nhưng không đổi dấu ($-$ sang $-$) → không phải cực trị; tại $x=2$, đổi từ $-$ sang $+$ → cực tiểu; tại $x=3$, đổi từ $+$ sang $-$ → cực đại. Vậy hàm số có 5 điểm cực trị: $x=-3,-1,0,2,3$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^4-2x^2+3$ có $y^{\prime }=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)$. $y^{\prime }=0$ tại $x=0,x=\pm 1$. Xét dấu: $y^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;-1)$, $y^{\prime }<0$ trên $(-1;0)$, $y^{\prime }>0$ trên $(0;1)$, $y^{\prime }<0$ trên $(1;+\infty )$. Vậy hàm đạt cực tiểu tại $x=-1$ và $x=1$ (đạt cực đại tại $x=0$). Số điểm cực tiểu là 2. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f^{\prime }(x)=(x-1)(x+2{)}^2(x-3{)}^3$ với các nghiệm $x=1$ (bội 1), $x=-2$ (bội 2), $x=3$ (bội 3). Dấu của $f^{\prime }$: trên $(-\infty ;-2)$: $f^{\prime }<0$; trên $(-2;1)$: $f^{\prime }<0$ (vì $(x+2{)}^2>0$ không đổi dấu); trên $(1;3)$: $f^{\prime }>0$; trên $(3;+\infty )$: $f^{\prime }<0$. Tại $x=-2$, $f^{\prime }$ không đổi dấu (bội chẵn) nên không phải cực trị. Tại $x=1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên là điểm cực tiểu. Tại $x=3$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên là điểm cực đại. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=3$, nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=3$ với giá trị cực tiểu $f(3)=-4$. (Tại $x=0$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên đó là cực đại với giá trị $f(0)=2$.) Vậy giá trị cực tiểu bằng $-4$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: điểm cực đại $(-1;3)$, điểm cực tiểu $(1;-1)$. Hàm bậc ba có $f^{\prime }(x)=3a(x+1)(x-1)$, suy ra $f(x)=a{x}^3-3ax+d$. Từ $f(-1)=3$ và $f(1)=-1$: $2a+d=3$, $-2a+d=-1$ nên $a=1,d=1$, tức $f(x)=x^3-3x+1$.
a) Sai: hàm đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, nghịch biến trên $(-1;1)$, không đồng biến trên $(-\infty ;3)$.
b) Đúng: $3+(-1)=2$.
c) Đúng: giá trị cực đại $3>0$ và giá trị cực tiểu $-1<0$ trái dấu.
d) Sai: đường thẳng qua $(-1;3)$ và $(1;-1)$ có hệ số góc $\frac{-1-3}{1-(-1)}=-2$, phương trình $y=-2x+1$, không phải $y=-3x$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, nghịch biến trên $(-1;1)$ nên không đồng biến trên $(-\infty ;3)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị cực đại $3$, giá trị cực tiểu $-1$, tổng bằng $2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cực đại $3>0$, cực tiểu $-1<0$: hai cực trị trái dấu.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $(-1;3)$ và $(1;-1)$ là $y=-2x+1$, không phải $y=-3x$.

(AI giải đề cho tôi)
y' = ((2x+3)(x+2) - (x²+3x+3))/(x+2)² = (x²+4x+3)/(x+2)² → a đúng. y'=0 tại x=-3, x=-1; y(-3)=-3, y(-1)=1 nên B(-3;-3), A(-1;1) → hai điểm nằm hai phía trục tung → b đúng. AB có hệ số góc (1+3)/(-1+3)=2, phương trình y=2x+3 (không phải y=2x+1) → c sai. Trung điểm AB là (-2;-1) thuộc Δ: -2+2(-1)+4=0; hệ số góc AB là 2, hệ số góc Δ là -1/2, tích bằng -1 → AB⊥Δ và Δ qua trung điểm → d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
y' = ((2x+3)(x+2)-(x²+3x+3))/(x+2)² = (x²+4x+3)/(x+2)².
b) (AI giải đề cho tôi)
y'=0 tại x=-3 và x=-1; y(-3)=-3, y(-1)=1 nên B(-3;-3), A(-1;1) nằm hai phía trục tung.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc AB = (1-(-3))/(-1-(-3)) = 2, qua A(-1;1): y = 2x+3, không phải y=2x+1.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm AB là (-2;-1) thỏa x+2y+4=0; hệ số góc AB = 2, hệ số góc Δ = -1/2, tích = -1 nên AB⊥Δ. Vậy A, B đối xứng qua Δ.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị hàm $y=f^{\prime }(x)$ là parabol có đỉnh $(1;-4)$, cắt trục hoành tại $x=-1$ và $x=2$, cắt trục tung tại $-2$. Do đó $f^{\prime }(x)=0\iff x=-1$ hoặc $x=2$; $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<-1$ hoặc $x>2$; $f^{\prime }(x)<0$ khi $-1<x<2$.
a) Sai: $f^{\prime }(1)=-4\ne 0$; $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=-1$ và $x=2$ (không phải $x=1$).
b) Đúng: trên khoảng $(-1;2)$ đồ thị $f^{\prime }$ nằm dưới trục hoành nên $f^{\prime }(x)<0$.
c) Sai: trên $(-\infty ;-1)$ có $f^{\prime }(x)>0$ nên $f$ đồng biến trên khoảng đó, do đó $f$ không nghịch biến trên $(-\infty ;2)$.
d) Sai: $f$ đạt cực đại tại $x=-1$ (vì $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ thành $-$) và đạt cực tiểu tại $x=2$ (vì $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ thành $+$); tại $x=1$ thì $f^{\prime }(1)\ne 0$ nên $f$ không đạt cực trị tại đó.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ cắt trục hoành tại $x=-1$ và $x=2$, nên $f^{\prime }(-1)=f^{\prime }(2)=0$; còn $f^{\prime }(1)=-4\ne 0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên khoảng $(-1;2)$ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ nằm dưới trục hoành nên $f^{\prime }(x)<0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\in (-\infty ;-1)$ ta có $f^{\prime }(x)>0$ nên $f$ đồng biến trên $(-\infty ;-1)$, do đó $f$ không nghịch biến trên toàn khoảng $(-\infty ;2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=-1$ nên $f$ đạt cực đại tại $x=-1$; $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=2$ nên $f$ đạt cực tiểu tại $x=2$, không phải tại $x=1$ (vì $f^{\prime }(1)\ne 0$).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=(m-1)x^4-(m^2-2)x^2+2$, có $y^{\prime }=4(m-1)x^3-2(m^2-2)x=2x\left[2(m-1)x^2-(m^2-2)\right]$.
a) Khi $m=0$: $y=-x^4+2x^2+2$, $y^{\prime }=4x(1-x^2)$ có 3 nghiệm phân biệt $x=0,\pm 1$ và $y^{\prime }$ đổi dấu qua mỗi nghiệm nên hàm số có 3 điểm cực trị. Đúng.
b) Khi $m=1$: $y=x^2+2$ có điểm cực tiểu $M(0;2)$, nên $a+b=0+2=2$. Đúng.
c) Khi $m=2$: $y=x^4-2x^2+2$, $y^{\prime }=4x(x^2-1)$; xét dấu: $y^{\prime }<0$ khi $x<-1$, $y^{\prime }>0$ khi $-1<x<0$, vậy hàm số đạt cực tiểu (không phải cực đại) tại $x=-1$. Sai.
d) Để $x=-1$ là nghiệm của $y^{\prime }=0$: $2(m-1)=m^2-2\iff m^2-2m=0\iff m=0$ hoặc $m=2$; cả hai giá trị đều cho $x=-1$ là điểm cực tiểu (kiểm tra dấu $y^{\prime }$). Vậy không tồn tại duy nhất $m=k$ thỏa mãn, và với $k\in \{0;2\}$ thì ${\log }_{k}8=2$ không đúng (${\log }_{2}8=3$, $k=0$ không hợp lệ). Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=0$, $y^{\prime }=-4x^3+4x=4x(1-x^2)$ có 3 nghiệm $x=0,\pm 1$ và đổi dấu qua mỗi nghiệm nên hàm số có 3 điểm cực trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=1$, $y=x^2+2$ đạt cực tiểu tại $M(0;2)$ nên $a+b=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=2$, $y^{\prime }=4x(x^2-1)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=-1$, nên $x=-1$ là điểm cực tiểu, không phải cực đại.
d) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $y^{\prime }(-1)=0$ cho $m^2-2m=0\iff m\in \{0;2\}$, cả hai đều cho cực tiểu tại $x=-1$, không xác định được $k$ duy nhất; hơn nữa ${\log }_{2}8=3\ne 2$ và $k=0$ không hợp lệ nên khẳng định sai.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=(x+3)(x+2{)}^3(x^2-4)=(x+3)(x+2{)}^4(x-2)$. Vì $(x+2{)}^4\ge 0$ nên dấu của $f^{\prime }(x)$ do $(x+3)(x-2)$ quyết định: $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<-3$ hoặc $x>2$; $f^{\prime }(x)<0$ khi $-3<x<2$ (tại $x=-2$ thì $f^{\prime }=0$ nhưng không đổi dấu). Vậy hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-3)$, nghịch biến trên $(-3;2)$, đồng biến trên $(2;+\infty )$. Do đó $x=-3$ là điểm cực đại, $x=2$ là điểm cực tiểu, còn $x=-2$ không phải điểm cực trị và $f(-3)>f(-2)>f(2)$.
a) Sai: vì $f(-3)>f(-2)$ nên $f(-2)>\max \{f(-3);f(2)\}$ là vô lý.
b) Sai: thứ tự đúng là $f(-3)>f(-2)>f(2)$.
c) Sai: vì $f(2)<f(-2)$ nên $f(-2)<\min \{f(-3);f(2)\}$ là vô lý.
d) Sai: $f^{\prime }(-3)=f^{\prime }(-2)=f^{\prime }(2)=0$ nên không thể có $f^{\prime }(-3)>f^{\prime }(-2)>f^{\prime }(2)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f(-3)$ là giá trị cực đại nên $f(-3)>f(-2)$, do đó $f(-2)>\max \{f(-3);f(2)\}$ sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đồng biến trên $(-\infty ;-3)$, nghịch biến trên $(-3;2)$, đồng biến trên $(2;+\infty )$ nên $f(-3)>f(-2)>f(2)$, mệnh đề sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f(2)$ là giá trị cực tiểu nên $f(2)<f(-2)$, do đó $f(-2)<\min \{f(-3);f(2)\}$ sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(-3)=f^{\prime }(-2)=f^{\prime }(2)=0$ nên bất đẳng thức $f^{\prime }(-3)>f^{\prime }(-2)>f^{\prime }(2)$ sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm bậc ba, điểm thấp nhất (đáy cong) của đồ thị là điểm $(-1;-1)$, tại đó hàm số đổi chiều biến thiên từ giảm sang tăng, nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$. Điểm cực đại là $x=1$ (đỉnh cao $(1;3)$). Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=6x^2-12x+4-2m$. a) Đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi ${\Delta }^{\prime }\le 0$: $36-6(4-2m)\le 0\iff m\le -1$, không có giá trị nguyên dương nào → sai. b) Có hai cực trị khi ${\Delta }^{\prime }>0\iff m>-1$; các giá trị nguyên trong $[-2024;2024]$ là $m=0,1,\dots ,2024$: đúng 2025 giá trị → đúng. c) Đồng biến trên $(2;+\infty )$: $y^{\prime }(2)=4-2m\ge 0\iff m\le 2$, vậy $a=2$; khi đó $(-\infty ;2]\cap (3;2025)=\varnothing \ne (-\infty ;2025)$ → sai. d) Với $a=2$, phương trình $8^x=2$ có nghiệm $x=\frac{1}{3}\le 2$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=6x^2-12x+4-2m\ge 0\forall x\iff {\Delta }^{\prime }\le 0\iff m\le -1$: không có giá trị nguyên dương, không phải 5.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai cực trị khi ${\Delta }^{\prime }>0\iff m>-1$; các số nguyên $m\in [-2024;2024],m>-1$ là $0,1,\dots ,2024$: đúng 2025 giá trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }(2)=4-2m\ge 0\iff m\le 2$ nên $a=2$; $(-\infty ;2]\cap (3;2025)=\varnothing$, không phải $(-\infty ;2025)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $a=2$, $8^x=2\iff x=\frac{1}{3}\le 2$, nên không có nghiệm $x>2$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=(x^2-1)(x-4)$ với các nghiệm $x=-1,1,4$. Xét dấu: $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;-1)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-1;1)$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(1;4)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(4;+\infty )$. Vậy $f$ có đúng một điểm cực đại tại $x=1$ (điểm cực tiểu tại $x=-1$ và $x=4$). Với $g(x)=f(3-x)$ thì $g^{\prime }(x)=-f^{\prime }(3-x)$, nên $g$ đạt cực đại khi $f$ đạt cực tiểu tại $3-x$, tức $3-x=-1$ hoặc $3-x=4$, cho $x=4$ hoặc $x=-1$. Vậy $g(x)$ có $2$ điểm cực đại.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=3$, nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=3$ với giá trị $f(3)=-4$. Vậy giá trị cực tiểu là $-4$, chọn D. (Lưu ý $x=0$ là điểm cực đại với $f(0)=2$.)

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=1$, nên hàm số đạt cực đại tại $x=1$ (tại $x=2$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên là điểm cực tiểu).

a) Để ý $P(1)P(-1)<0$ nên $P(x)$ có nghiệm thực thuộc $(-1,1)$.

Xét $Q(x)=(x^6+1)-P(x{)}^2$ với $x\in \mathbb{R}$.

Giả sử $\mathrm{deg}P\ge 4$ thì $\mathrm{deg}Q\ge 8$, hệ số bậc cao nhất của $Q$ là âm nên ${\lim }_{x\to \infty }Q(x)=-\infty$ nên tồn tại $M$ sao cho $Q(M)<0$, khi đó $(P(M){)}^2>(M^6+1)$, vô lý.

Vậy $\mathrm{deg}P<4$, điều phải chứng minh.

b) Viết $P(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ với $a,b,c,d$ thực.

Từ $P(1)=\sqrt{2}$ và $P(-1)=-\sqrt{2}$ nên $a+b+c+d=\sqrt{2}$ và $-a+b-c+d=-\sqrt{2}$.

Suy ra $b+d=0$ và $a+c=\sqrt{2}$ nên $P(x)=a{x}^3+b{x}^2+(\sqrt{2}-a)x-b$.

Ta có $Q(x)\ge 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ và $Q(1)=Q(-1)=0$.

Viết $Q(x)=(x-1{)}^{t}R(x)$, $R(1)\ne 0$, $t$ nguyên dương. Giả sử $t$ là số lẻ.

Vì $R(1)\ne 0$ nên tồn tại $\delta$ sao cho $R(x)$ cùng dấu với $R(1)$ với mọi $x\in (1-\delta ,1+\delta )$.

Lấy $0<h<\delta$ thì $Q(1+h)=h^{t}R(1+h)$, và $Q(1-h)=-h^{t}R(1-h)$, do đó $Q(1+h)$ và $Q(1-h)$ trái dấu với nhau, nên có 1 số là âm, vô lý do $Q(x)\ge 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.

Vì vậy $t$ chẵn, suy ra $Q(1)=Q^{\prime }(1)=0$, tương tự $Q(-1)=Q^{\prime }(-1)=0$.

Ta có $Q^{\prime }(x)=6x^5-2P(x)P^{\prime }(x)$ nên $0=Q^{\prime }(1)=6-2P(1)P^{\prime }(1)=6-2\sqrt{2}{P}^{\prime }(1)$.

Vì thế $P^{\prime }(1)=\frac{3\sqrt{2}}{2}$, tương tự $P^{\prime }(-1)=\frac{3\sqrt{2}}{2}$.

Từ $P(x)=a{x}^3+b{x}^2+(\sqrt{2}-a)x-b$ suy ra $P^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+(\sqrt{2}-a)$.

Khi đó $3a+2b+\sqrt{2}-a=\frac{3\sqrt{2}}{2}$ và $3a-2b+\sqrt{2}-a=\frac{3\sqrt{2}}{2}$ nên $b=0$, $a=\frac{\sqrt{2}}{4}$.

Vì vậy $P(x)=\frac{\sqrt{2}}{4}{x}^3+\frac{3\sqrt{2}}{4}x$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.

Thử lại để có được $x^6+1-P(x{)}^2=\frac{1}{8}(x^2-1{)}^2(7x^2+8)\ge 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên đây là đa thức duy nhất thoả mãn yêu cầu đề bài.

Nhận xét: Ngoài ra có thể sử dụng bổ đề sau để giải quyết bài toán: Bổ đề Fermat: Nếu hàm số $f$ có đạo hàm tại $x_0$ và đạt cực trị tại $x_0$ thì $f^{\prime }(x_0)=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f$ đạt cực đại $f(-1)=5$ và cực tiểu $f(1)=1$. Vì $f(x)\ge 1>0$ với mọi $x$, nên $|f(x)|=f(x)$ trên toàn miền xác định. Do đó $y=|f(x)|$ có đúng 2 cực trị (cực đại tại $x=-1$, cực tiểu tại $x=1$), không sinh thêm cực trị mới tại giao điểm với trục hoành vì đồ thị không cắt trục hoành.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x-3)(x+1)$. $f^{\prime }(x)=0\iff x=-1$ hoặc $x=3$. Xét dấu: $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<-1$, $f^{\prime }(x)<0$ khi $-1<x<3$, $f^{\prime }(x)>0$ khi $x>3$. Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ (đạt cực tiểu tại $x=3$). Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=x^3+3x^2-9x$, có tập xác định $D=\mathbb{R}$.

Ta có $y^{\prime }=3x^2+6x-9=3(x^2+2x-3)=3(x-1)(x+3)$.

$y^{\prime }=0\iff x=1$ hoặc $x=-3$.

Bảng xét dấu của $y^{\prime }$: trên $(-\infty ;-3)$, $y^{\prime }>0$ (hàm đồng biến); trên $(-3;1)$, $y^{\prime }<0$ (hàm nghịch biến); trên $(1;+\infty )$, $y^{\prime }>0$ (hàm đồng biến).

Do đó hàm số đạt cực đại tại $x=-3$ (đạo hàm đổi dấu từ $+$ sang $-$) và đạt cực tiểu tại $x=1$ (đạo hàm đổi dấu từ $-$ sang $+$).

Vậy điểm cực tiểu của hàm số là $x_{CT}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{x^2+x+4}{x+1}=x+\frac{4}{x+1}$ (với $x\ne -1$). Ta có $y^{\prime }=1-\frac{4}{(x+1{)}^2}=\frac{(x+1{)}^2-4}{(x+1{)}^2}=\frac{x(x+2)}{(x+1{)}^2}$. $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=-2$. Bảng xét dấu: trên $(-\infty ;-2)$, $y^{\prime }>0$; trên $(-2;-1)$, $y^{\prime }<0$; trên $(-1;0)$, $y^{\prime }<0$; trên $(0;+\infty )$, $y^{\prime }>0$. Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=-2$ với $m=y(-2)=\frac{4-2+4}{-1}=-6$; đạt cực tiểu tại $x=0$ với $n=y(0)=4$. Do đó $P=m^3+n^3=(-6{)}^3+4^3=-216+64=-152$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^3-3m{x}^2+(m^2+2)x-m+1$, có $y^{\prime }=3x^2-6mx+(m^2+2)$.

Để hàm số đạt cực trị tại $x=1$ thì $y^{\prime }(1)=0$:
$$3-6m+m^2+2=0\iff m^2-6m+5=0\iff m=1\text{ hoặc }m=5.$$

Xét $y^{\prime \prime }=6x-6m$, nên $y^{\prime \prime }(1)=6-6m$.
- Với $m=1$: $y^{\prime \prime }(1)=0$, cần kiểm tra dấu $y^{\prime }$: $y^{\prime }=3x^2-6x+3=3(x-1{)}^2\ge 0$ với mọi $x$, hàm số đồng biến, không có cực trị tại $x=1$ (loại).
- Với $m=5$: $y^{\prime \prime }(1)=6-30=-6<0$, nên $x=1$ là điểm cực đại (thỏa mãn).

Vậy $m=5$.