Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$. a) Với $m=0$, trên $(-1;1)$ có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến, mệnh đề sai. b) $f^{\prime }(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt $x=\pm 1$ nên hàm số có hai cực trị, đúng. c) Trên $[0;2]$: $f(0)=m$, $f(1)=m-2$, $f(2)=m+2$; so sánh được $\min =m-2$ (tại $x=1$), đúng. d) Trên $[0;2]$, $|f(x)|$ chỉ đạt cực đại tại các điểm $x=0,1,2$ (nơi $f=0$ thì $|f|=0$). Cần $\max \{|m|,|m-2|,|m+2|\}=3$. Thử: $|m|=3$ cho $m=\pm 3$ đều bị loại (max bằng 5 hoặc 4); $|m-2|=3$ cho $m=5$ (loại) hoặc $m=-1$: các giá trị $-1,-3,1$ nên max $|f|=3$, nhận; $|m+2|=3$ cho $m=-5$ (loại) hoặc $m=1$: các giá trị $1,-1,3$ nên max $|f|=3$, nhận. Vậy $S=\{-1;1\}$ có hai phần tử, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=0$, $f^{\prime }(x)=3x^2-3<0$ trên $(-1;1)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$ (hai nghiệm phân biệt, đổi dấu), nên hàm số có hai cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=m$, $f(1)=m-2$, $f(2)=m+2$, nên ${\min }_{[0;2]}f=m-2$ tại $x=1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Cần $\max \{|m|,|m-2|,|m+2|\}=3$. Kiểm tra từng trường hợp chỉ còn $m=-1$ và $m=1$ thỏa mãn, vậy $S=\{-1;1\}$ có hai phần tử.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=-1$ và $x=1$ nên hàm số có hai điểm cực tiểu tại $x=\pm 1$ với giá trị cực tiểu bằng $0$; $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=0$ nên có một điểm cực đại tại $x=0$ với giá trị cực đại bằng $3$. Vậy hàm số có ba điểm cực trị (A, C, D đúng). Mệnh đề B 'Hàm số có giá trị cực đại bằng 0' sai vì giá trị cực đại là $3$ (giá trị $0$ là giá trị cực tiểu).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đạo hàm $f^{\prime }(x)=3x^2-12x+m$ — đúng. b) Với $m=0$: $f^{\prime }(x)=3x(x-4)$ có hai nghiệm phân biệt $x=0,x=4$ nên $f$ có hai cực trị — sai. c) $f$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi $f^{\prime }(x)\ge 0$ với mọi $x$, tức $\Delta =144-12m\le 0\iff m\ge 12$, không phải $m\ge 2$ — sai. d) Hai cực trị có hoành độ trái dấu khi phương trình $3x^2-12x+m=0$ có hai nghiệm trái dấu, tức tích nghiệm $\frac{m}{3}<0\iff m<0$. Các giá trị nguyên $m\in [-7;1]$ với $m<0$ là $-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1$: có 7 giá trị, không phải 5 — sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x^2-12x+m$ theo quy tắc đạo hàm của đa thức.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=0$, $f^{\prime }(x)=3x(x-4)$ có hai nghiệm phân biệt nên $f$ có hai điểm cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cần $\Delta =144-12m\le 0\iff m\ge 12$, không phải $m\ge 2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai nghiệm trái dấu khi $\frac{m}{3}<0\iff m<0$; các giá trị nguyên trong $[-7;1]$ là $-7,...,-1$: 7 giá trị, không phải 5.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=x^3-3x+1$, có $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$. a) Đúng: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=1$ nên $x=1$ là điểm cực tiểu. b) Sai: trên $(-1;1)$ có $y^{\prime }<0$ nên hàm số nghịch biến. c) Đúng: hai điểm cực trị $x_1=-1$, $x_2=1$ nên $x_1{x}_2=-1$ (cũng là $-b/a$ của $3x^2-3=0$). d) Sai: $A(-1;3)$, $B(1;-1)$, $C(-1;2)$. Diện tích $=\frac{1}{2}|\det (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})|=\frac{1}{2}|2\cdot (-1)-(-4)\cdot 0|=1\ne 12$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-3$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=1$, nên $x=1$ là điểm cực tiểu.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-1;1)$, $y^{\prime }=3x^2-3<0$ nên hàm số nghịch biến, không đồng biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai điểm cực trị là nghiệm của $3x^2-3=0$, tức $x_1=-1$, $x_2=1$, nên $x_1{x}_2=-1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$A(-1;3)$, $B(1;-1)$, $C(-1;2)$. Diện tích tam giác $ABC=\frac{1}{2}|\det (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})|=\frac{1}{2}|2\cdot (-1)-(-4)\cdot 0|=1\ne 12$.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=x^4-2x^2-5$, ta có $f^{\prime }(x)=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)$. $f^{\prime }(x)=0\iff x\in \{-1;0;1\}$, và $f^{\prime }$ đổi dấu qua mỗi nghiệm nên cả ba đều là điểm cực trị (cực tiểu tại $x=\pm 1$, cực đại tại $x=0$).
a) Đúng: hàm số có 3 điểm cực trị $x=-1,0,1$.
b) Sai: trên $(0;1)$ có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm nghịch biến trên $(0;1)$, do đó không đồng biến trên toàn $(0;+\infty )$ (chỉ đồng biến trên $(1;+\infty )$).
c) Sai: $f(0)=-5\ne 1$, nên điểm cực đại của đồ thị là $(0;-5)$, không phải $M(0;1)$.
d) Đúng: $y=f(2x)=16x^4-8x^2-5$ có $(f(2x){)}^{\prime }=64x^3-16x=16x(2x-1)(2x+1)$, cực đại tại $x=0$ với $y=-5$; hàm $f(x)$ cũng có điểm cực đại duy nhất $(0;-5)$. Vậy hai hàm số có cùng điểm cực đại $(0;-5)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=4x(x-1)(x+1)=0$ có 3 nghiệm phân biệt $-1$, $0$, $1$ và $f^{\prime }$ đổi dấu qua mỗi nghiệm, nên hàm có 3 điểm cực trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;1)$ có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm nghịch biến trên $(0;1)$; hàm chỉ đồng biến trên $(1;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=-5$ nên điểm cực đại của đồ thị là $(0;-5)$, không phải $M(0;1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(2x)=16x^4-8x^2-5$ có cực đại tại $x=0$, $y=-5$; $f(x)$ cũng có điểm cực đại duy nhất $(0;-5)$. Vậy hai hàm có cùng điểm cực đại.

(AI giải đề cho tôi)
Viết $y=\frac{x^2+x+4}{x+1}=x+\frac{4}{x+1}$ (với $x\ne -1$). Ta có $y^{\prime }=1-\frac{4}{(x+1{)}^2}=0\iff (x+1{)}^2=4\iff x=1$ hoặc $x=-3$. Xét dấu đạo hàm: trên $(-\infty ;-3)$ và $(1;+\infty )$ thì $y^{\prime }>0$; trên $(-3;-1)$ và $(-1;1)$ thì $y^{\prime }<0$. Vậy hàm đạt cực đại tại $x=1$ với $m=y(1)=1+\frac{4}{2}=3$, và cực tiểu tại $x=-3$ với $n=y(-3)=-3+\frac{4}{-2}=-5$. Do đó $P=m^3+n^3=27+(-125)=-98$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^4-3x^2+ax+b$ có $y^{\prime }=4x^3-6x+a$. Vì $A(2;-2)$ là điểm cực tiểu nên $y^{\prime }(2)=0$: $4(8)-12+a=0\Rightarrow a=-20$. Đồng thời $A$ thuộc đồ thị: $y(2)=16-12+2a+b=-2\Rightarrow -36+b=-2\Rightarrow b=34$. Kiểm tra: $y^{\prime }=4x^3-6x-20=2(x-2)(2x^2+4x+5)$, tam thức $2x^2+4x+5$ luôn dương nên $y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương qua $x=2$, đúng là điểm cực tiểu. Vậy $S=a+b=-20+34=14$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=x^2-4x+3$. Cho $y^{\prime }=0\Rightarrow x=1$ hoặc $x=3$. Dấu của $y^{\prime }$: dương trên $(-\infty ;1)$, âm trên $(1;3)$, dương trên $(3;+\infty )$. Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=1$. Tính $y(1)=\frac{1}{3}-2+3+\frac{2}{3}=2$. Điểm cực đại là $(1;2)$, tương ứng đáp án D. (Lưu ý: $x=3$ là điểm cực tiểu với $y(3)=9-18+9+\frac{2}{3}=\frac{2}{3}$, tức phương án B là điểm cực tiểu, không phải cực đại.)

(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=(x+1)(x-4)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=4$ (trên $(-1;4)$ thì $f^{\prime }<0$, trên $(4;+\infty )$ thì $f^{\prime }>0$), nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=4$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu f': trên (−∞;−1) f'>0, (−1;0) f'<0, (0;2) f'>0, (2;4) f'<0, (4;+∞) f'>0. Hàm số liên tục trên R nên điểm cực trị là nơi f' đổi dấu: tại x=−1 (+→−) cực đại; tại x=0 f' không xác định nhưng đổi dấu −→+ nên là cực tiểu; tại x=2 (+→−) cực đại; tại x=4 (−→+) cực tiểu. Vậy có 4 điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$: hàm giảm rồi đạt cực tiểu tại điểm gần $x\approx -0,5$ (giá trị nhỏ hơn $-1$), sau đó tăng lên đạt cực đại tại điểm có tọa độ $(1;1)$, rồi giảm đạt cực tiểu tại $x=2$, cuối cùng tăng. Vậy đồ thị có 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại, tức là hàm số có 3 điểm cực trị. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ có $y^{\prime }=4a{x}^3+2bx=2x(2a{x}^2+b)$. Từ đồ thị dạng chữ W: hàm đạt cực tiểu tại $x=\pm 1$ (giá trị $-3$) và đạt cực đại tại $x=0$ (giá trị $-2$). Thật vậy, đồ thị cho thấy hàm nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$, đồng biến trên $(-1;0)$, nghịch biến trên $(0;1)$, đồng biến trên $(1;+\infty )$, nên $x=0$ là điểm cực đại (các điểm $x=\pm 1$ là điểm cực tiểu). Vậy điểm cực đại là $x=0$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$ (trang 11): tại $x=-1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=-1$ là điểm cực đại; tại $x=0$, $f^{\prime }$ không xác định (ký hiệu $||$) nhưng $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=0$ là điểm cực tiểu; tại $x=2$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=2$ là điểm cực đại; tại $x=4$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=4$ là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có 4 điểm cực trị, đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)=2x(x-1{)}^2(2-x{)}^3$. Với $x<0$: $2x<0$, $(2-x{)}^3>0$ nên $f^{\prime }(x)<0$. Với $0<x<2$ (kể cả qua $x=1$ vì $(x-1{)}^2>0$): $f^{\prime }(x)>0$. Với $x>2$: $(2-x{)}^3<0$ nên $f^{\prime }(x)<0$. Vậy $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=0$ (cực tiểu) và từ $+$ sang $-$ tại $x=2$ (cực đại); $x=1$ không phải cực trị. Điểm cực tiểu là $x=0$, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)=x(x^2-1)(x-2{)}^2$ với các nghiệm $x=-1,0,1,2$ (nghiệm $x=2$ có bậc chẵn nên không đổi dấu). Trên $(-\infty ;-1)$: $f^{\prime }<0$; trên $(-1;0)$: $f^{\prime }>0$; trên $(0;1)$: $f^{\prime }<0$; trên $(1;+\infty )$: $f^{\prime }>0$. Điểm cực tiểu là nơi $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$: đó là $x=-1$ và $x=0$. Vậy có 2 điểm cực tiểu, chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$. Xét dấu $y^{\prime }$ qua từng điểm: tại $x=-3$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=-3$ là điểm cực tiểu; tại $x=-2$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=-2$ là điểm cực đại; tại $x=3$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=3$ là điểm cực tiểu; tại $x=5$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=5$ là điểm cực đại. Cả bốn điểm đều là điểm cực trị, vậy hàm số có 4 điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=-x^3+4x^2-5x+1$, có $y^{\prime }=-3x^2+8x-5$. Giải $y^{\prime }=0$: $3x^2-8x+5=0\Rightarrow x=1$ hoặc $x=\frac{5}{3}$. Vì hệ số của $x^2$ trong $y^{\prime }$ là $-3<0$ nên $y^{\prime }>0$ trên $\left(1;\frac{5}{3}\right)$ và $y^{\prime }<0$ ngoài khoảng này. Do đó hàm số nghịch biến rồi đồng biến rồi nghịch biến: $x=1$ là điểm cực tiểu, $x=\frac{5}{3}$ là điểm cực đại. Vậy $a=\frac{5}{3}$. Giá trị cực tiểu $b=y(1)=-1+4-5+1=-1$. Suy ra $a-b=\frac{5}{3}-(-1)=\frac{8}{3}$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=(x^2-4)(3-x)(x+2)=(x-2)(x+2{)}^2(3-x)$. Nghiệm của $f^{\prime }(x)=0$: $x=-2$ (nghiệm kép), $x=2$, $x=3$. Tại $x=-2$, do là nghiệm bội chẵn nên $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu qua $x=-2$, không phải điểm cực trị. Tại $x=2$: $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ (cực đại). Tại $x=3$: $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ (cực tiểu). Vậy hàm số có 2 điểm cực trị, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=1$, nên hàm số đạt cực đại tại $x=1$ (giá trị cực đại $f(1)=5$). Tại $x=2$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên đó là điểm cực tiểu. Vậy điểm cực đại là $x=1$, chọn A.