Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M(x₀, y₀) trên đồ thị (C) là k = y'(x₀) = -3x₀² + 6x₀ + 9 = -3(x₀ - 1)² + 12 ≤ 12. Dấu bằng xảy ra khi x₀ = 1. Vậy hệ số góc lớn nhất của tiếp tuyến là 12.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=3x^2+6x+m$. Phương trình $y^{\prime }=0$ có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $\Delta >0$: $\Delta =6^2-4\cdot 3\cdot m=36-12m>0\iff m<3$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M(x₀, y₀) là k = y'(x₀) = -3x₀² + 6x₀ + 9. Đây là hàm bậc hai với a = -3 < 0, đạt giá trị lớn nhất tại x₀ = -b/(2a) = 6/6 = 1. Khi đó k_max = -3(1)² + 6(1) + 9 = 12. Vậy hệ số góc lớn nhất của tiếp tuyến là 12, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M(x₀, y₀) trên đồ thị (C) là k = y'(x₀) = 3x₀² − 6x₀ + 4 = 3(x₀ − 1)² + 1 ≥ 1. Giá trị nhỏ nhất đạt được khi x₀ = 1, khi đó k_min = 1. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: trên nhánh bên trái ($x<1$), hàm số đạt cực đại tại $x=0$ (đỉnh cao $y=2$), nên A sai. Có tiệm cận đứng tại $x=1$. Trên nhánh phải ($x>1$), đồ thị có điểm thấp nhất tại $x=2$ với $y=6$, tức hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$, nên B đúng, C sai. Tại $x=6$ hàm số không đạt cực đại (đang tăng dần), nên D sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số có tiệm cận đứng $x=1$, nhánh bên trái đi xuống, nhánh bên phải có điểm thấp nhất tại $x=2$ với $f(2)=6$, sau đó tăng dần. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$ (đáp án B). Tại $x=0$ và $x=6$ không phải điểm cực trị; tại $x=2$ không phải cực đại. Khớp với đáp án nguồn B.

a) Sai. Ta có $f^{\prime }(x)=(x-1{)}^2\left(x^2-3x+2\right)=(x-1{)}^3(x-2)$. $f^{\prime }(x)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=1\\ x=2\end{array}\right]$. Vậy phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có hai nghiệm.
b) Đúng. Bảng biến thiên $y=f(x)$: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y=f(x)$ ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;1),(2;+\infty )$. Ta có $(-3;0)\subset (-\infty ;1)$ nên hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng $(-3;0)$.
c) Đúng. Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y=f(x)$ ta thấy hàm số có hai điểm cực trị.
d) Sai. Ta có $y=f\left(x^2-6x+1\right)\Rightarrow y^{\prime }={\left(x^2-6x+1\right)}^{\prime }{f}^{\prime }\left(x^2-6x+1\right)=(2x-6)f^{\prime }\left(x^2-6x+1\right)$. $$y^{\prime }=0\iff (2x-6)f^{\prime }\left(x^2-6x+1\right)=0\iff \{\begin{array}{l}2x-6=0\\ x^2-6x+1=1\\ x^2-6x+1=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=3\\ x=0\\ x=6\\ x=-3+\sqrt{10}\\ x=-3-\sqrt{10}\end{array}.$$ Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y=f\left(x^2-6x+1\right)$ ta thấy hàm số có hai điểm cực đại.
a) a) Sai. Ta có $f^{\prime }(x)=(x-1{)}^2\left(x^2-3x+2\right)=(x-1{)}^3(x-2)$. $f^{\prime }(x)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=1\\ x=2\end{array}\right]$. Vậy phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có hai nghiệm.
b) b) Đúng. Bảng biến thiên $y=f(x)$: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y=f(x)$ ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;1),(2;+\infty )$. Ta có $(-3;0)\subset (-\infty ;1)$ nên hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng $(-3;0)$.
c) c) Đúng. Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y=f(x)$ ta thấy hàm số có hai điểm cực trị.
d) d) Sai. Ta có $y=f\left(x^2-6x+1\right)\Rightarrow y^{\prime }={\left(x^2-6x+1\right)}^{\prime }{f}^{\prime }\left(x^2-6x+1\right)=(2x-6)f^{\prime }\left(x^2-6x+1\right)$. $$y^{\prime }=0\iff (2x-6)f^{\prime }\left(x^2-6x+1\right)=0\iff \{\begin{array}{l}2x-6=0\\ x^2-6x+1=1\\ x^2-6x+1=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=3\\ x=0\\ x=6\\ x=-3+\sqrt{10}\\ x=-3-\sqrt{10}\end{array}.$$ Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y=f\left(x^2-6x+1\right)$ ta thấy hàm số có hai điểm cực đại.

Đặt $g^{\prime }(x)=\left(\frac{x^2-1}{x^2}\right)f^{\prime }\left(\frac{x^2+1}{x}\right)$ $$g^{\prime }(x)=0\iff \left[\begin{array}{c}\left(\frac{x^2-1}{x^2}\right)=0\\ f^{\prime }\left(\frac{x^2+1}{x}\right)=0\end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}x=\pm 1\\ \frac{x^2+1}{x}=a(a<-2)\\ \frac{x^2+1}{x}=b(-2<b<2)\\ \frac{x^2+1}{x}=c(c>2)\end{array}\right]$$ Xét hàm số $h(x)=\frac{x^2+1}{x},h^{\prime }(x)=\frac{x^2-1}{x^2},h^{\prime }(x)=0\iff x=\pm 1$. Bảng biến thiên của hàm số $h(x)=\frac{x^2+1}{x}$:

Dựa vào bảng biến thiên trên ta thấy phương trình $h(x)=a,h(x)=c$, mỗi phương trình có hai nghiệm phân biệt khác $\pm 1$, mà $a\ne c\Rightarrow f^{\prime }\left(\frac{x^2+1}{x}\right)=0$ có 4 nghiệm đơn phân biệt $x_1,x_2,x_3,x_4$ khác $\pm 1$ và phương trình $h(x)=b$ vô nghiệm. Do đó phương trình $g^{\prime }(x)=0$ có 6 nghiệm đơn phân biệt lần lượt theo thứ tự từ nhỏ đến lớn là $x_1,-1,x_2,x_3,1,x_4$. Vậy hàm số $g(x)=f\left(\frac{x^2+1}{x}\right)$ có 6 cực trị. Đáp án: 6

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+3}{x+1}$ có tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{2(x+1)-(2x+3)}{(x+1{)}^2}=\frac{-1}{(x+1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne -1$. Vì đạo hàm không bao giờ bằng 0 và hàm số đơn điệu trên từng khoảng xác định, hàm số không có điểm cực trị. Vậy hàm số có 0 điểm cực trị, khớp với đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=f(x)=-x^3+3x^2+2$, có $f^{\prime }(x)=-3x^2+6x=-3x(x-2)$. a) Trên đoạn $[-2;1]$: $f(-2)=22$, $f(0)=2$, $f(1)=4$; trên $[-2;0]$ hàm nghịch biến, trên $[0;1]$ đồng biến nên GTNN bằng $f(0)=2$ → đúng. b) $f^{\prime }(x)>0$ khi $0<x<2$ nên hàm đồng biến trên $(0;2)$ → đúng. c) $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương qua $x=0$ nên $x=0$ là điểm cực tiểu → đúng. d) Điểm cực trị: cực tiểu $(0;2)$, cực đại $(2;6)$ (vì $f(2)=6$). Khoảng cách $=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\ne 5\sqrt{2}$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-2;1]$, so sánh $f(-2)=22$, $f(0)=2$, $f(1)=4$; hàm nghịch biến trên $[-2;0]$ và đồng biến trên $[0;1]$ nên GTNN $=f(0)=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=-3x(x-2)>0$ khi $x\in (0;2)$ nên hàm đồng biến trên $(0;2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=0$, nên $x=0$ là điểm cực tiểu ($f(0)=2$).
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai điểm cực trị là $(0;2)$ và $(2;6)$, khoảng cách $=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}\ne 5\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2+3x+3}{x+2}$, $y^{\prime }=\frac{(2x+3)(x+2)-(x^2+3x+3)}{(x+2{)}^2}=\frac{x^2+4x+3}{(x+2{)}^2}=\frac{(x+1)(x+3)}{(x+2{)}^2}$. $y^{\prime }=0\iff x=-3$ hoặc $x=-1$ (đều khác $x=-2$ nên hợp lệ). Xét dấu của $y^{\prime }$: trên $(-\infty ;-3)$ có $y^{\prime }>0$; trên $(-3;-1)$ có $y^{\prime }<0$; trên $(-1;+\infty )$ có $y^{\prime }>0$. Vậy hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-3)$ và $(-1;+\infty )$, nghịch biến trên $(-3;-1)$; do đó $x=-3$ là hoành độ điểm cực đại và $x=-1$ là hoành độ điểm cực tiểu, tức $a=-3$, $b=-1$. Suy ra $A=2a+b=2(-3)+(-1)=-7$. Kết quả khớp với đáp án $-7$ ở trang đáp án.

(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=-3x^2+6x=-3x(x-2)$. a) $f^{\prime }(x)>0$ khi $0<x<2$ nên hàm số đồng biến trên $(0;2)$ → đúng. b) Trên đoạn $[-2;1]$: $f(-2)=22$, $f(0)=2$, $f(1)=4$; so sánh với giá trị tại hai đầu và điểm tới hạn, GTNN bằng $2$ → đúng. c) $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=0$ nên $x=0$ là điểm cực tiểu → đúng. d) Hai điểm cực trị là $(0;2)$ và $(2;6)$, khoảng cách $=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\ne 5\sqrt{2}$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=-3x(x-2)>0$ trên $(0;2)$ nên hàm số đồng biến trên khoảng này.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(-2)=22$, $f(0)=2$, $f(1)=4$ nên GTNN trên $[-2;1]$ bằng $2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=0$ nên $x=0$ là điểm cực tiểu.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai điểm cực trị $(0;2)$ và $(2;6)$ có khoảng cách $\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}\ne 5\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=3$, nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=3$ với $f(3)=-4$. Vậy điểm cực tiểu là $(3;-4)$. Tại $x=0$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên đó là điểm cực đại $(0;2)$, không phải cực tiểu. Các phương án C, D chỉ nêu hoành độ hoặc tung độ, không phải điểm cực tiểu.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=\frac{x^2+mx+1}{x+m}$, $x\ne -m$. Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{(2x+m)(x+m)-(x^2+mx+1)}{(x+m{)}^2}=\frac{x^2+2mx+m^2-1}{(x+m{)}^2}=\frac{(x+m{)}^2-1}{(x+m{)}^2}$.

a) Khi $m=0$: $y=x+\frac{1}{x}$ trên $(0;+\infty )$, theo AM–GM $y\ge 2$ với min $=2$ tại $x=1$, không phải $-2$ → Sai.

b) $f^{\prime }(x)=0\iff x=-m\pm 1$, hai nghiệm phân biệt và đều khác $-m$ (điểm không xác định), nên hàm số luôn có 2 cực trị → Đúng.

c) Trên $(-m;+\infty )$: $f^{\prime }<0$ khi $-m<x<-m+1$, $f^{\prime }>0$ khi $x>-m+1$ nên min tại $x=-m+1$: $f(-m+1)=\frac{(-m+1{)}^2+m(-m+1)+1}{1}=2-m$. Trên $(-\infty ;-m)$: max tại $x=-m-1$: $f(-m-1)=\frac{(m+1{)}^2-m(m+1)+1}{-1}$... tính lại: mẫu $=(m+1{)}^2-m(m+1)+1=m+2$, mẫu số $=-1$, vậy $f(-m-1)=-(m+2)=-m-2$. Khi đó $\min -\max =(2-m)-(-m-2)=4-2m$, chỉ bằng $4$ khi $m=0$, không phải với mọi $m$ → Sai.

d) Với $m=-3$: $f(x)=\frac{x^2-3x+1}{x-3}$, $f^{\prime }(x)=\frac{(x-3{)}^2-1}{(x-3{)}^2}$; trên $[-1;2]$ (nội suy $(2;4)$) có $f^{\prime }>0$ nên hàm đồng biến, max tại $x=2$: $f(2)=\frac{4-6+1}{-1}=-1\ne 1$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=0$, $y=x+1/x\ge 2$ trên $(0;+\infty )$, min $=2$ chứ không phải $-2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{(x+m{)}^2-1}{(x+m{)}^2}=0$ có hai nghiệm $x=-m\pm 1$ phân biệt, đều khác $-m$, nên luôn có 2 cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\min }_{(-m;+\infty )}y=2-m$ (tại $x=-m+1$), ${\max }_{(-\infty ;-m)}y=-m-2$ (tại $x=-m-1$), hiệu bằng $4-2m$, chỉ bằng 4 khi $m=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=-3$, hàm đồng biến trên $[-1;2]$ nên max $=f(2)=-1\ne 1$.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)$, $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Dấu $y^{\prime }$: âm trên $(-\infty ;0)$, dương trên $(0;2)$, âm trên $(2;+\infty )$. Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=0$ (cực tiểu tại $x=2$). Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số đạt cực đại tại $x=0$ với giá trị cực đại $y=2$, và đạt cực tiểu tại $x=2$ với giá trị cực tiểu $y=-2$. Xét các mệnh đề: A sai vì giá trị cực tiểu bằng $-2$ chứ không phải $2$; B sai vì hàm số chỉ có hai điểm cực trị ($x=0$ và $x=2$); C sai vì giá trị cực đại bằng $2$ chứ không phải $0$; D đúng vì hàm số đạt cực đại tại $x=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+x+4}{x+1}$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x+1)(x+1)-(x^2+x+4)}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-3}{(x+1{)}^2}=\frac{(x-1)(x+3)}{(x+1{)}^2}$. $y^{\prime }=0$ khi $x=1$ hoặc $x=-3$. Xét dấu: trên $(-\infty ;-3)$, $y^{\prime }>0$; trên $(-3;-1)$, $y^{\prime }<0$; trên $(-1;1)$, $y^{\prime }<0$; trên $(1;+\infty )$, $y^{\prime }>0$. Vậy $x=-3$ là điểm cực đại với $y_{CĐ}=\frac{9-3+4}{-2}=-5$, còn $x=1$ là điểm cực tiểu với $y_{CT}=\frac{1+1+4}{2}=3$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=x(x-1)(x+4)$ với các nghiệm $x=-4,x=0,x=1$. Xét dấu $f^{\prime }$: trên $(-\infty ;-4)$, $f^{\prime }<0$; trên $(-4;0)$, $f^{\prime }>0$; trên $(0;1)$, $f^{\prime }<0$; trên $(1;+\infty )$, $f^{\prime }>0$. Do đó $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=-4$ (cực đại) và từ $-$ sang $+$ tại $x=0$ và $x=1$ (cực tiểu). Vậy hàm số có $2$ điểm cực tiểu, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định trên $(0;+\infty )$. Ta có $y^{\prime }=2x\ln x+x=x(2\ln x+1)$. Với $x>0$, $y^{\prime }=0\iff \ln x=-\frac{1}{2}\iff x=e^{-1/2}$. Trên $(0;e^{-1/2})$ thì $2\ln x+1<0$ nên $y^{\prime }<0$; trên $(e^{-1/2};+\infty )$ thì $y^{\prime }>0$. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x=e^{-1/2}$, giá trị cực tiểu là $y=e^{-1}\cdot \ln e^{-1/2}=\frac{1}{e}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2e}$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f^{\prime }(x)=x(x-2{)}^3$. Dấu của $f^{\prime }$: với $x<0$: $x<0$ và $(x-2{)}^3<0$ nên $f^{\prime }(x)>0$; với $0<x<2$: $x>0$ và $(x-2{)}^3<0$ nên $f^{\prime }(x)<0$; với $x>2$: $f^{\prime }(x)>0$. Vậy hàm số đồng biến trên $(-\infty ;0)$, nghịch biến trên $(0;2)$, đồng biến trên $(2;+\infty )$. a) Hàm có 2 điểm cực trị: $x=0$ (cực đại) và $x=2$ (cực tiểu) → Đúng. b) Sai vì có 2 điểm cực trị. c) Trên $(-\infty ;1)$, hàm đồng biến trên $(-\infty ;0)$ và nghịch biến trên $(0;1)$, nên không nghịch biến trên toàn khoảng → Sai. d) Trên $(2;+\infty )$ hàm đồng biến nên $f(2025)>f(2024)$, tức $f(2024)<f(2025)$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
f' đổi dấu từ + sang − tại x=0 và từ − sang + tại x=2, nên hàm có 2 điểm cực trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm có 2 điểm cực trị (x=0 và x=2), không phải 1.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên (-∞;0) hàm đồng biến (f'>0), nên không nghịch biến trên toàn khoảng (-∞;1).
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên (2;+∞) hàm đồng biến nên f(2025)>f(2024).