Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=-1$ nên hàm đạt cực đại tại $x=-1$ với giá trị cực đại $f(-1)=3$; $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=1$ nên hàm đạt cực tiểu tại $x=1$ với giá trị cực tiểu $f(1)=-1$.
a) Hai điểm cực trị là $(-1;3)$ và $(1;-1)$, khoảng cách $=\sqrt{(1-(-1){)}^2+(-1-3{)}^2}=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}\ne 3\sqrt{5}$ → Sai.
b) Hàm đạt cực đại tại $x=-1$, không phải $x=1$ → Sai.
c) Tổng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu: $3+(-1)=2$ → Đúng.
d) Trên $(-1;1)$ hàm nghịch biến ($f^{\prime }<0$), nên hàm không đồng biến trên $(-1;+\infty )$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách giữa hai điểm cực trị $(-1;3)$ và $(1;-1)$ là $\sqrt{2^2+(-4{)}^2}=2\sqrt{5}\ne 3\sqrt{5}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đạt cực đại tại $x=-1$ (f' đổi dấu từ + sang −); tại $x=1$ hàm đạt cực tiểu.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị cực đại $3$, giá trị cực tiểu $-1$, tổng $3+(-1)=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên $(-1;1)$ vì $f^{\prime }(x)<0$ trên khoảng đó, nên không đồng biến trên $(-1;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^3-3x^2+m-1$, có $y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)$. $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Vì hệ số $a=1>0$, hàm số đạt cực đại tại $x=0$, nên $a=0$, $b=y(0)=m-1$. Theo đề $a+b=5\Rightarrow 0+(m-1)=5\Rightarrow m=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Vi phân: $y=\frac{x^2-x+7}{x+1}=x-2+\frac{9}{x+1}$, TXĐ $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. $y^{\prime }=1-\frac{9}{(x+1{)}^2}$, $y^{\prime }=0\iff x=-4$ hoặc $x=2$. Tại $x=-4$: $y=-9$ (cực đại, trên khoảng $(-\infty ;-1)$); tại $x=2$: $y=3$ (cực tiểu). a) Tổng GTCD + GTCT $=-9+3=-6\ne 3$ → Sai. b) Phép chia đa thức cho tiệm cận xiên $y=x-2$, vậy $a=1$ → Đúng. c) Đồ thị chỉ có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận xiên $y=x-2$, không có tiệm cận ngang (vì bậc tử cao hơn bậc mẫu) → Sai. d) Trên khoảng $(-\infty ;-1)$, hàm số đạt GTCD $=-9$ tại $x=-4$, đồng thời đây là GTLN trên khoảng này → Đúng. Khớp với đáp án nguồn: a) S, b) D, c) S, d) D.
a) (AI giải đề cho tôi)
GTCD $y(-4)=-9$, GTCT $y(2)=3$, tổng $=-6\ne 3$ → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y=x-2+\frac{9}{x+1}$ nên TCX là $y=x-2$, $a=1$ → Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chỉ có TCĐ $x=-1$ và TCX $y=x-2$; không có TCN → Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-\infty ;-1)$, $y^{\prime }=1-\frac{9}{(x+1{)}^2}\ge 0$ với $x\le -4$ và $\le 0$ với $x\ge -4$, hàm đạt max $y(-4)=-9$ → Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
TXĐ: $\mathbb{R}$. Ta có $y^{\prime }=x^2+4x+3=(x+1)(x+3)$. $y^{\prime }=0\iff x=-1$ hoặc $x=-3$. Xét dấu: $y^{\prime }>0$ khi $x<-3$ hoặc $x>-1$; $y^{\prime }<0$ khi $-3<x<-1$. Vậy hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-3)$ và $(-1;+\infty )$, nghịch biến trên $(-3;-1)$. Cực đại tại $x=-3$ với $y_{CĐ}=y(-3)=\frac{-27}{3}+2\cdot 9-9-4=-9+18-9-4=-4$. Cực tiểu tại $x=-1$ với $y_{CT}=y(-1)=-\frac{1}{3}+2-3-4=-\frac{16}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=0$ (trước $x=0$ thì $f^{\prime }>0$, sau $x=0$ thì $f^{\prime }<0$), nên hàm số đạt cực đại tại $x=0$ với $f(0)=3$. Tại $x=-2$ và $x=2$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên hàm đạt cực tiểu (giá trị $1$). Đáp án khớp với mã đề 0212, câu 2: B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm bậc ba có điểm cực đại tại $y=3$ và điểm cực tiểu tại $y=-1$ (đường nét đứt ở mức $-1$ ứng với đáy của nhánh dưới). Vậy giá trị cực tiểu của hàm số là $-1$, khớp với đáp án B (đáp án đề 0212 câu 5 là B).

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định: $\mathbb{R}$. Ta có $y^{\prime }=x^2+4x+3$. Cho $y^{\prime }=0\iff x=-3$ hoặc $x=-1$. Xét dấu: $y^{\prime }>0$ khi $x<-3$ hoặc $x>-1$; $y^{\prime }<0$ khi $-3<x<-1$. Vậy hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-3)$ và $(-1;+\infty )$, nghịch biến trên $(-3;-1)$. Hàm số đạt cực đại tại $x=-3$ với $y_{CĐ}=y(-3)=\frac{-27}{3}+2\cdot 9+3\cdot (-3)-4=-9+18-9-4=-4$, tức điểm cực đại $(-3;-4)$. Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$ với $y_{CT}=y(-1)=\frac{-1}{3}+2-3-4=-\frac{16}{3}$, tức điểm cực tiểu $\left(-1;-\frac{16}{3}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số bậc ba có điểm cực đại tại $y=3$ (khi $x=0$) và điểm cực tiểu tại $y=-1$ (khi $x=2$, thể hiện bằng đường nét đứt tới trục tung tại $-1$). Vậy giá trị cực tiểu của hàm số là $-1$. Khớp với đáp án B và bảng đáp án mã đề 0211 (câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=0$, nên hàm số đạt cực đại tại $x=0$ (tại $x=-2$ và $x=2$ hàm đạt cực tiểu vì $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$). Đáp án khớp với mã đề 0211: câu 9 là B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm bậc ba: điểm cực tiểu là $(1;1)$, điểm cực đại là $(3;5)$. Hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;1)$ và $(3;+\infty )$, đồng biến trên $(1;3)$.
a) Đúng: với $x\in (1;3)$, $f^{\prime }(x)>0$ nên hàm số đồng biến trên $(1;3)$.
b) Sai: giá trị cực đại là $f(3)=5$, không phải $3$.
c) Sai: trên $(3;+\infty )$ hàm số nghịch biến nên với $3<4<5$ ta có $f(4)>f(5)$, do đó khẳng định $f(4)<f(5)$ là sai.
d) Đúng: đường thẳng qua hai điểm cực trị $(1;1)$ và $(3;5)$ có hệ số góc $k=\frac{5-1}{3-1}=2$, phương trình $y=2(x-1)+1=2x-1$. Kết quả khớp đáp án mã đề 102 (Câu 2: Đ, S, S, Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có cực tiểu tại $x=1$ và cực đại tại $x=3$, nên $f^{\prime }(x)>0$ trên $(1;3)$, hàm số đồng biến trên khoảng này.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị cực đại của hàm số là $f(3)=5$ (theo đồ thị), không phải $3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(3;+\infty )$ hàm số nghịch biến nên $f(4)>f(5)$, do đó khẳng định $f(4)<f(5)$ sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai điểm cực trị là $(1;1)$ và $(3;5)$. Đường thẳng qua chúng có hệ số góc $k=\frac{5-1}{3-1}=2$, phương trình $y=2x-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm cực tiểu xảy ra khi $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$. Theo bảng: tại $x=-2$, $f^{\prime }$ đổi từ $-$ sang $+$ (cực tiểu); tại $x=-1$ đổi từ $+$ sang $-$ (cực đại); tại $x=1$ đổi từ $-$ sang $+$ (cực tiểu); tại $x=4$ đổi từ $+$ sang $-$ (cực đại). Vậy hàm số có 2 điểm cực tiểu, đáp án D. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 2: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$: $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=2$, $x=4$, $x=6$. Qua $x=2$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $f$ đạt cực tiểu tại $x=2$. Qua $x=4$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $f$ đạt cực đại tại $x=4$. Qua $x=6$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $f$ đạt cực tiểu tại $x=6$. Tại $x=3$ thì $f^{\prime }(3)\ne 0$ nên không phải điểm cực trị. Vậy phát biểu đúng là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm bậc ba: hàm đạt cực tiểu tại điểm có tọa độ $(0;-2)$ và cực đại tại $(2;2)$. Giá trị cực tiểu của hàm số là tung độ của điểm cực tiểu, tức $f(0)=-2$. (Lưu ý: hoành độ cực tiểu là $x=0$, không phải giá trị cực tiểu.) Vậy đáp án là $-2$, khớp với đáp án nguồn (mã 102, câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=-2$ và $x=1$, nên hàm số đạt cực tiểu tại đúng 2 điểm này. Tại $x=-1$ và $x=4$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên là điểm cực đại. Vậy hàm số có 2 điểm cực tiểu, khớp với đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm số bậc ba: hàm số đạt cực tiểu tại điểm có tung độ $y=-2$ (điểm cực tiểu nằm gần gốc tọa độ, phía dưới trục hoành) và đạt cực đại tại điểm có tung độ $y=2$ (ứng với $x=2$). Giá trị cực tiểu của hàm số là $f(x_{CT})=-2$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$: $f^{\prime }(x)<0$ trên $(0;2)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(2;4)$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(4;6)$, $f^{\prime }(x)>0$ với $x>6$. Tại $x=4$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số $f(x)$ đạt cực đại tại $x=4$. Tại $x=2$ và $x=6$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương nên là điểm cực tiểu; $x=3$ không phải điểm $f^{\prime }=0$. Đáp án D, trùng với đáp án ma đề 101.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số $y=f(x)$ đi lên khi $x<0$, đạt giá trị nhỏ nhất $y=-2$ tại $x=0$, sau đó đi lên đạt cực đại $y=2$ tại $x=2$ rồi đi xuống. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;0)$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(0;3)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(3;+\infty )$; hàm số đi từ $-\infty$ lên $f(0)=2$, xuống $f(3)=-5$, rồi lên $+\infty$.
a) Sai: vì $f(x)\to -\infty$ khi $x\to -\infty$ nên hàm số không có giá trị nhỏ nhất là $-5$ (đây chỉ là giá trị cực tiểu).
b) Đúng: $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=3$ nên hàm đạt cực tiểu tại $x=3$.
c) Sai: hàm số nghịch biến trên $(0;3)$, không đồng biến trên $(-\infty ;3)$.
d) Đúng: $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=0$ nên hàm đạt cực đại, giá trị cực đại $f(0)=2$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f(x)\to -\infty$ khi $x\to -\infty$, hàm số không có giá trị nhỏ nhất là $-5$; $-5$ chỉ là giá trị cực tiểu.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương qua $x=3$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số nghịch biến trên $(0;3)$ nên không đồng biến trên $(-\infty ;3)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm qua $x=0$ nên hàm đạt cực đại với giá trị $f(0)=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, hàm số không xác định tại $x=1$ và $x=4$ (giá trị tiến tới $-\infty$ nên đây là hai tiệm cận đứng, không phải điểm cực trị). Tại $x=2$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên hàm số đạt cực đại tại $x=2$ với $f(2)=-2$. Vậy hàm số có đúng 1 cực trị, khớp với đáp án nguồn (đề 102, câu 17 = 1).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số đồng biến trên $(-2;-1)$, nghịch biến trên $(-1;1)$, đồng biến trên $(1;2)$. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$ với $f(1)=-2$, tức điểm cực tiểu là $M(1;-2)$. Khớp với đáp án A.