Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số đồng biến rồi nghịch biến rồi đồng biến; điểm cực tiểu là điểm thấp nhất trong lòng đồ thị tại $x=1$ với $f(1)=-2$. Điểm cực đại là $(-1;2)$, hai đầu mút $(-2;-4)$ và $(2;4)$ không phải điểm cực trị. Vậy điểm cực tiểu là $M(1;-2)$, khớp đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: f'(x) đổi dấu + → − tại x=0 nên f đạt cực đại tại x=0 với giá trị cực đại f(0)=2; f'(x) đổi dấu − → + tại x=3 nên f đạt cực tiểu tại x=3 với giá trị cực tiểu f(3)=−5. a) Sai: hàm số tăng lên +∞ khi x→+∞ nên không có giá trị nhỏ nhất (−5 chỉ là giá trị cực tiểu). b) Đúng: f' đổi dấu từ âm sang dương tại x=3, hàm đạt cực tiểu tại x=3. c) Sai: hàm chỉ đồng biến trên (−∞;0) và (3;+∞), trên (0;3) hàm nghịch biến nên không đồng biến trên (−∞;3). d) Đúng: giá trị cực đại bằng f(0)=2. Đáp án đúng: b và d, khớp với đáp án nguồn (bd).
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số tăng lên +∞ khi x→+∞ nên không có giá trị nhỏ nhất; −5 chỉ là giá trị cực tiểu tại x=3.
b) (AI giải đề cho tôi)
f'(x) đổi dấu từ − sang + khi qua x=3 nên hàm số đạt cực tiểu tại x=3.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên (0;3) nên không thể đồng biến trên khoảng (−∞;3); hàm chỉ đồng biến trên (−∞;0) và (3;+∞).
d) (AI giải đề cho tôi)
f'(x) đổi dấu từ + sang − khi qua x=0 nên hàm đạt cực đại tại x=0 với giá trị cực đại f(0)=2.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, hàm số không xác định tại $x=1$ và $x=4$ (tại đó $y\to -\infty$, đây là hai tiệm cận đứng), nên hai điểm này không phải cực trị. Tại $x=2$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=2$ là điểm cực đại. Vậy hàm số có đúng 1 cực trị, khớp với đáp án nguồn (đề 101, câu 19 = 1).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$: hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;0)$, đạt giá trị nhỏ nhất $f(0)=-2$ tại $x=0$, sau đó tăng dần trên $(0;2)$, đạt cực đại $f(2)=2$ tại $x=2$, rồi nghịch biến trên $(2;+\infty )$. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi đi qua $x=-1$, nên hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ (đạt cực tiểu tại $x=2$).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=-x+2-\frac{1}{x+1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.

$y^{\prime }=-1+\frac{1}{(x+1{)}^2}$; $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=-2$.

a) $y^{\prime }<0\iff (x+1{)}^2<1\iff -2<x<0$ (loại $x=-1$), nên hàm nghịch biến trên $(-2;-1)$ và $(-1;0)$. → Đúng.

b) $y^{\prime \prime }=-\frac{2}{(x+1{)}^3}$: tại $x=0$, $y^{\prime \prime }=-2<0$ nên $x=0$ là điểm cực đại; tại $x=-2$, $y^{\prime \prime }=2>0$ nên $x=-2$ là điểm cực tiểu với $y_{CT}=2+2+1=5$. Đề nói $y_{CT}=5$ nhưng giá trị cực tiểu đạt tại $x=-2$ là $5$ — kiểm tra lại: $y(-2)=-(-2)+2-\frac{1}{-1}=2+2+1=5$. Vậy $y_{CT}=5$ đúng. → Đúng.

Lưu ý: tại $x=0$, $y(0)=2-1=1$ là giá trị cực đại.

c) Hàm số có giá trị cực đại bằng $1$ (tại $x=0$), nhưng trên từng nhánh hàm số không có giá trị lớn nhất (khi $x\to +\infty$, $y\to -\infty$; khi $x\to -\infty$, $y\to +\infty$). Do đó khẳng định 'giá trị lớn nhất của hàm số là 1' sai. → Sai.

d) Tâm đối xứng của đồ thị $y=ax+b+\frac{c}{x+d}$ là giao điểm hai tiệm cận: $x=-1$, $y=-x+2=3$, tức $I(-1;3)$, nên $a=-1,b=3$, $b-2a=3+2=5$. → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-1+\frac{1}{(x+1{)}^2}<0$ khi $-2<x<0$, $x\ne -1$, nên hàm nghịch biến trên $(-2;-1)$ và $(-1;0)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=0$ tại $x=-2,0$; $y^{\prime \prime }(-2)=2>0$ nên cực tiểu tại $x=-2$, $y_{CT}=y(-2)=2+2+1=5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y(0)=1$ chỉ là giá trị cực đại; hàm số không có giá trị lớn nhất trên tập xác định vì $y\to +\infty$ khi $x\to -\infty$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng là giao hai tiệm cận $x=-1$ và $y=-x+2=3$, tức $I(-1;3)$; $b-2a=3-2(-1)=5$.

Đs: 10

ĐS: $y=x^3-3x^2-9x+2$ , 17

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)$: trên $(-\infty ;-2)$ dương, $(-2;0)$ âm, $(0;2)$ dương, $(2;4)$ âm, $(4;+\infty )$ dương. Điểm cực tiểu xảy ra khi $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương: tại $x=0$ (dù $f^{\prime }$ không xác định tại $x=0$, hàm liên tục nên vẫn có thể cực tiểu, dấu đổi từ $-$ sang $+$) và tại $x=4$ (đổi từ $-$ sang $+$). Tại $x=-2$ và $x=2$, $f^{\prime }$ đổi từ $+$ sang $-$ nên là cực đại. Vậy hàm số có 2 điểm cực tiểu.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: f'(x)<0 trên (-∞;0) và (2;+∞), f'(x)>0 trên (0;2); hàm đạt cực tiểu tại x=0 với giá trị -4, cực đại tại x=2 với giá trị 0.
a) Sai: trên (0;2) hàm đồng biến (f'>0), nên hàm không nghịch biến trên toàn (0;+∞).
b) Sai: hàm bậc ba chỉ có 2 điểm cực trị (x=0 và x=2).
c) Đúng: giá trị cực đại 0, giá trị cực tiểu -4, tổng bằng -4.
d) Đúng: A(0;-4), B(2;0), O(0;0). OA=4 (trên trục Oy), OB=2 (trên Ox), tam giác OAB vuông tại O nên S = (1/2)·4·2 = 4.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên (0;2) có f'(x)>0 nên hàm đồng biến, không nghịch biến trên toàn khoảng (0;+∞).
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm bậc ba có f' đổi dấu tại x=0 và x=2, tức chỉ có 2 điểm cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị cực đại bằng 0 (tại x=2), giá trị cực tiểu bằng -4 (tại x=0), tổng bằng -4.
d) (AI giải đề cho tôi)
OA=4, OB=2, tam giác vuông tại O nên S = 1/2·4·2 = 4.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu tại $x=0$ (từ $+$ sang $-$) nên $x=0$ là điểm cực đại, và tại $x=3$ (từ $-$ sang $+$) nên $x=3$ là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có $2$ điểm cực trị, chọn đáp án D. Kết quả này trùng với đáp án D được gạch chân trong đề.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$: tại $x=-3$ đạo hàm đổi dấu từ $-$ sang $+$ (cực tiểu), tại $x=-2$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ (cực đại), tại $x=3$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ (cực tiểu), tại $x=5$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ (cực đại). Cả 4 điểm đều là điểm cực trị vì $f^{\prime }$ đổi dấu qua mỗi điểm. Vậy hàm số có $4$ điểm cực trị, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{x^2+3x+3}{x+1}=x+2+\frac{1}{x+1}$, xác định trên từng khoảng $x\ne -1$. Ta có $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}=\frac{x(x+2)}{(x+1{)}^2}$. $y^{\prime }=0$ tại $x=0$ và $x=-2$. Xét dấu: trên $(-\infty ,-1)$, $y^{\prime }>0$ khi $x<-2$ và $y^{\prime }<0$ khi $-2<x<-1$, nên $x=-2$ là điểm cực đại với $y(-2)=0+\frac{1}{-1}=-1$, tức $a=-1$. Trên $(-1,+\infty )$, $y^{\prime }<0$ khi $-1<x<0$ và $y^{\prime }>0$ khi $x>0$, nên $x=0$ là điểm cực tiểu với $y(0)=2+1=3$, tức $b=3$. Vậy $a+7b=-1+7\cdot 3=20$, khớp với đáp án của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số có tiệm cận đứng $x=-1$ và hai nhánh. Trên nhánh phải, hàm số giảm rồi tăng, đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm có hoành độ $x=-1$ và tung độ $y=1$ (đường nét đứt chỉ giá trị $1$ trên trục $Oy$ ứng với điểm thấp nhất của nhánh phải). Vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $(-1;1)$. Các điểm $(-2;-3)$, $(-3;-7)$ chỉ là các điểm trên nhánh trái (nhánh trái đơn điệu, không có cực trị), và $(-7;-3)$ không phải điểm đặc biệt của đồ thị. Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=-3$ nên hàm số đạt cực đại $f(-3)=-5$; $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=1$ nên hàm số đạt cực tiểu $f(1)=3$. Vậy giá trị cực tiểu của hàm số là $3$, chọn đáp án A. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }=0$ tại $x=-3$ (đi từ $-$ sang $+$, cực tiểu $y=5$) và tại $x=1$ (đi từ $+$ sang $-$, cực đại). Tại $x=1$, hàm số đạt giá trị $y=0$, nên giá trị cực đại của hàm số là $f(1)=0$. Đáp án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 1: C).

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{x^2-x+1}{x-1}=x+\frac{1}{x-1}$ với $x\ne 1$. Ta có $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}$. $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Xét dấu: trên $(-\infty ;0)$: $y^{\prime }>0$; trên $(0;1)$: $y^{\prime }<0$; trên $(1;2)$: $y^{\prime }<0$; trên $(2;+\infty )$: $y^{\prime }>0$. Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=0$ với $a=y(0)=-1$, đạt cực tiểu tại $x=2$ với $b=y(2)=3$. Suy ra $a+5b=-1+15=14$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, Phần III Câu 1 = 14).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị ở trang 2: hàm số có hai nhánh, tiệm cận đứng tại $x=0$. Nhánh bên trái ($x<0$) đi lên rồi đi xuống, đạt đỉnh tại điểm $(-1;-2)$ — đây là điểm cực đại. Nhánh bên phải ($x>0$) đi xuống rồi đi lên, đạt đáy tại $(1;2)$ — đây là điểm cực tiểu. Vậy điểm cực đại của đồ thị là $(-1;-2)$, trùng với đáp án nguồn C (mã đề 101, câu 4: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2+6x-9=3(x+3)(x-1)$, nên $f$ đồng biến trên $(-\infty ;-3)$ và $(1;+\infty )$, nghịch biến trên $(-3;1)$. Các điểm cực trị: $A(-3;29)$ vì $f(-3)=-27+27+27+2=29$, và $B(1;-3)$ vì $f(1)=1+3-9+2=-3$.

a) Trên đoạn $[-3;5]$: $f(-3)=29$, $f(1)=-3$, $f(5)=125+75-45+2=157$. Vậy GTLN bằng $157$ → Đúng.

b) $AB=\sqrt{(1-(-3){)}^2+(-3-29{)}^2}=\sqrt{16+1024}=\sqrt{1040}=4\sqrt{65}\ne 2\sqrt{65}$ → Sai.

c) Theo dấu của $f^{\prime }(x)$, hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-3)$ và $(1;+\infty )$ → Đúng.

d) $f(x)=0$ có 3 nghiệm phân biệt ($f(-5)=-3<0$, $f(-4)=22>0$ nên một nghiệm trong $(-5;-4)$; $f(0)=2>0$, $f(1)=-3<0$ nên một nghiệm trong $(0;1)$; $f(1)=-3<0$, $f(2)=4>0$ nên một nghiệm trong $(1;2)$), tất cả đều là nghiệm đơn. Do đó $g(x)=|f(x)|$ có các điểm cực trị tại $x=-3$, $x=1$ (cực trị của $f$) và tại 3 nghiệm đơn của $f$, tổng cộng 5 điểm cực trị → Đúng.

Kết quả: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng, khớp với bảng đáp án mã đề 0119 (DSDD).
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-3;5]$, so sánh $f(-3)=29$, $f(1)=-3$, $f(5)=157$, GTLN bằng $157$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$A(-3;29)$, $B(1;-3)$ nên $AB=\sqrt{16+1024}=4\sqrt{65}$, không phải $2\sqrt{65}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3(x+3)(x-1)>0$ trên $(-\infty ;-3)$ và $(1;+\infty )$, nên $f$ đồng biến trên hai khoảng đó.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=0$ có 3 nghiệm đơn (mỗi nghiệm thuộc một khoảng $(-5;-4)$, $(0;1)$, $(1;2)$); $g(x)=|f(x)|$ có cực trị tại $x=-3$, $x=1$ và tại 3 nghiệm đó, tổng 5 điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(t)=\frac{5000}{1+5e^{-t}}$. Tốc độ bán hàng $f^{\prime }(t)=\frac{25000e^{-t}}{(1+5e^{-t}{)}^2}$. Đặt $u=e^{-t}>0$, xét $g(u)=\frac{25000u}{(1+5u{)}^2}$. $g^{\prime }(u)=\frac{25000(1-5u)}{(1+5u{)}^3}=0\iff u=\frac{1}{5}$, tức $e^{-t}=\frac{1}{5}\iff t=\ln 5$. Tại đó $f(\ln 5)=\frac{5000}{1+5\cdot \frac{1}{5}}=\frac{5000}{2}=2500$. Vậy tại thời điểm tốc độ bán hàng lớn nhất, doanh số là 2500 sản phẩm, khớp với đáp án nguồn (mã đề 0119, câu 5 = 2500).