Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=(x-1{)}^2(x^2-5x+6)=(x-1{)}^2(x-2)(x-3)$. $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=1,2,3$. Xét dấu: $(x-1{)}^2\ge 0$ nên dấu của $f^{\prime }$ do $(x-2)(x-3)$ quyết định: $f^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;2)$, $f^{\prime }<0$ trên $(2;3)$, $f^{\prime }>0$ trên $(3;+\infty )$. Tại $x=1$, $f^{\prime }$ không đổi dấu nên không phải điểm cực trị. Tại $x=2$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm nên $x=2$ là điểm cực đại; tại $x=3$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương nên $x=3$ là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị, đáp án C (khớp với đáp án của đề mã 0119).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+x+9}{x+1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x+1)(x+1)-(x^2+x+9)}{(x+1{)}^2}=\frac{2x^2+3x+1-x^2-x-9}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-8}{(x+1{)}^2}$. Hàm số có hai điểm cực trị khi $y^{\prime }=0$ có hai nghiệm phân biệt khác $-1$: $x^2+2x-8=0\iff x=2$ hoặc $x=-4$ (đều khác $-1$, thỏa mãn). Theo Vi-ét, $x_1{x}_2=\frac{-8}{1}=-8$. Kết quả trùng với đáp án nguồn $-8$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu: $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-1)$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-1;4)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(4;+\infty )$. Tại $x=-2$ và $x=2$, $f^{\prime }$ đổi dấu không xảy ra (dấu giữ nguyên qua các điểm đó: + sang + và - sang -), nên không phải cực trị. Tại $x=-1$: $f^{\prime }$ đổi dấu từ + thành - nên là điểm cực đại. Tại $x=4$: $f^{\prime }$ đổi dấu từ - thành + nên là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị. Khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)=(3-x{)}^3(x-2{)}^{2}x$ với các nghiệm $x=0,2,3$. Với $x<0$: $(3-x{)}^3>0,(x-2{)}^2>0,x<0$ nên $f^{\prime }<0$. Với $0<x<2$: $f^{\prime }>0$. Với $2<x<3$: $f^{\prime }>0$ (do $(x-2{)}^2>0$). Với $x>3$: $f^{\prime }<0$. Vậy $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=0$ (cực tiểu), không đổi dấu tại $x=2$, đổi từ $+$ sang $-$ tại $x=3$ (cực đại). Hàm số có đúng 1 điểm cực tiểu, khớp đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=1$, hàm số đạt giá trị $f(1)=5$ nên điểm cực đại là $x=1$ (tại $x=2$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên đó là điểm cực tiểu). Vậy đáp án D, khớp với mã đề 1061.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+x+4}{x+1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x+1)(x+1)-(x^2+x+4)}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-3}{(x+1{)}^2}$. Cho $y^{\prime }=0\iff x^2+2x-3=0\iff x=1$ hoặc $x=-3$ (đều thuộc tập xác định). Theo Vi-ét, $x_1+x_2=-2$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (-2).

Đáp án chính thức theo bảng đáp án mã đề 312: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng (SDDS).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ trong hình có dạng đi lên rồi đi xuống (nhánh trái đi lên, nhánh phải đi xuống, $a<0$) và có hai điểm gãy khúc (một điểm cực đại và một điểm cực tiểu). Đạo hàm $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c$ có hai nghiệm phân biệt tương ứng với hai điểm cực trị này. Vậy số điểm cực trị của hàm số là $2$. Điều này khớp với đáp án nguồn A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=-x^3+x^2+5x-5$, có $y^{\prime }=-3x^2+2x+5$. Giải $y^{\prime }=0$: $-3x^2+2x+5=0\iff x=-1$ hoặc $x=\frac{5}{3}$. Vì $a=-3<0$, hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ nhỏ hơn, tức $x=-1$. Tính $y(-1)=-(-1{)}^3+(-1{)}^2+5(-1)-5=1+1-5-5=-8$. Vậy điểm cực tiểu là $(-1;-8)$, trùng với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=-3x^2+3=-3(x-1)(x+1)$. $y^{\prime }=0\iff x=\pm 1$. Với $x<-1$: $y^{\prime }<0$; với $-1<x<1$: $y^{\prime }>0$; với $x>1$: $y^{\prime }<0$. Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=1$, $y(1)=-1+3+1=3$. Điểm cực đại là $(1;3)$, trùng với đáp án D của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3-2x^2+x+1$ là hàm đa thức bậc 3, xác định trên $\mathbb{R}$, nên đồ thị không có tiệm cận ngang → a) Sai. $y^{\prime }=3x^2-4x+1=(3x-1)(x-1)$; $y^{\prime }=0\iff x=\frac{1}{3}$ hoặc $x=1$. Với $x<\frac{1}{3}$: $y^{\prime }>0$ (đồng biến); $\frac{1}{3}<x<1$: $y^{\prime }<0$ (nghịch biến); $x>1$: $y^{\prime }>0$ (đồng biến). Vậy hàm đạt cực đại tại $x=\frac{1}{3}$ (d đúng) và nghịch biến trên $\left(\frac{1}{3};1\right)$, đồng biến trên $(1;+\infty )$ (c đúng). Giá trị cực tiểu: $y(1)=1-2+1+1=1$ (b đúng). Kết quả SDDD khớp bảng đáp án mã đề 311.
a) Hàm đa thức bậc 3 xác định trên $\mathbb{R}$ nên đồ thị không có tiệm cận ngang.
b) Hàm đạt cực tiểu tại $x=1$, giá trị cực tiểu $y(1)=1-2+1+1=1$.
c) $y^{\prime }=(3x-1)(x-1)<0$ trên $\left(\frac{1}{3};1\right)$ và $y^{\prime }>0$ trên $(1;+\infty )$.
d) $y^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua $x=\frac{1}{3}$ nên hàm đạt cực đại tại $x=\frac{1}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=e^{3x}(2x-1)+3(x^2-x-1)e^{3x}=e^{3x}(3x^2-x-4)$. Cho $y^{\prime }=0$: $3x^2-x-4=0\Rightarrow x=-1$ hoặc $x=\frac{4}{3}$. Vì $e^{3x}>0$, xét dấu của $3x^2-x-4$: âm trên $(-1;\frac{4}{3})$, dương ngoài khoảng. Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ với $y_{CĐ}=(1+1-1)e^{-3}=e^{-3}\approx 0,0498\approx 0,05$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 0,05.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị ở Câu 4, hàm số có dạng W: hai điểm cực đại (hai đỉnh cao) và một điểm cực tiểu ở giữa (điểm lõm giữa hai đỉnh). Vậy số điểm cực trị là $2+1=3$. Khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-2)$, nghịch biến trên $(-2;0)$ và đồng biến trên $(0;+\infty )$. Tại $x=-2$, hàm số đổi từ đồng biến sang nghịch biến nên $x=-2$ là điểm cực đại, giá trị cực đại là $f(-2)=6$. Tại $x=0$, hàm đổi từ nghịch biến sang đồng biến nên $x=0$ là điểm cực tiểu với giá trị cực tiểu $f(0)=2$. Vậy giá trị cực đại của hàm số bằng $6$, khớp với đáp án C (đáp án của đề cho mã 1002 là C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$. Vì tháng thứ ba ($x=3$) đạt mức thấp nhất 3 điểm nên $f(3)=3$ và $f^{\prime }(3)=0$. Tháng đầu tiên ($x=1$) đạt 19 điểm nên $f(1)=19$.

Từ $f^{\prime }(3)=0$: $27+6a+b=0\Rightarrow 6a+b=-27$.
Từ $f(3)-f(1)=3-19=-16$: $(27+9a+3b+c)-(1+a+b+c)=26+8a+2b=-16\Rightarrow 4a+b=-21$.
Suy ra $2a=-6\Rightarrow a=-3$, $b=-9$, và $c=19-1-a-b=19-1+3+9=30$.

Kiểm tra: $f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)$, hàm giảm trên $(-1;3)$ và tăng từ $x=3$ trở đi, phù hợp đề bài; $f(1)=1-3-9+30=19$, $f(3)=27-27-27+30=3$.

Điểm tháng thứ sáu: $f(6)=216+36(-3)+(-9)(6)+30=216-108-54+30=84$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu: tại $x=-3$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên là điểm cực đại; tại $x=0$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên là điểm cực tiểu; tại $x=3$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên là điểm cực đại. Vậy hàm số có đúng $1$ điểm cực tiểu (tại $x=0$). Đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$, $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$. Theo đề: $f(1)=19$; $f(3)=3$ là mức thấp nhất nên $x=3$ là điểm cực tiểu, tức $f^{\prime }(3)=0$; hàm giảm trước $x=3$ và tăng sau $x=3$. Vì $f^{\prime }$ là tam thức bậc hai có nghiệm $x=3$ và đổi dấu từ âm sang dương qua $x=3$, nghiệm còn lại phải nhỏ hơn 3; kết hợp điều kiện hàm giảm tại tháng thứ hai (khoảng $x=2$) và tăng từ $x=3$, ta thử $f^{\prime }(x)=3(x-3)(x+1)=3x^2-6x-9$, tức $a=-3$, $b=-9$. Khi đó từ $f(1)=1-3-9+c=19$ suy ra $c=30$. Vậy $f(x)=x^3-3x^2-9x+30$. Kiểm tra: $f(1)=19$; $f(3)=27-27-27+30=3$; $f^{\prime }(x)=3(x-3)(x+1)<0$ với $x\in (-1;3)$ nên hàm giảm qua tháng thứ hai, đạt cực tiểu tại $x=3$ rồi tăng — khớp hoàn toàn dữ kiện. Do đó $f(6)=216-108-54+30=84$. Điểm ở tháng thứ sáu là 84, khớp với bảng đáp án trang 9 (Câu 18, Mã đề 1001: 84).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-2)$, nghịch biến trên $(-2;0)$, đồng biến trên $(0;+\infty )$. Tại $x=-2$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ thành $-$ nên hàm số đạt cực đại tại $x=-2$ với giá trị cực đại $f(-2)=6$. Tại $x=0$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ thành $+$ nên hàm đạt cực tiểu bằng $2$. Vậy giá trị cực đại của hàm số bằng $6$, khớp với đáp án B (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu: tại $x=-3$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=-3$ là điểm cực đại. Tại $x=0$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=0$ là điểm cực tiểu. Tại $x=3$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=3$ là điểm cực đại. Vậy hàm số có đúng $1$ điểm cực tiểu, khớp với đáp án D (mã đề 1001).