Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(t)=-\frac{3t^2}{1000}+2bt+c$. Vì hồ đạt lượng nước lớn nhất tại ngày thứ 80 (điểm trong khoảng $(0;120)$) nên $f^{\prime }(80)=0\Rightarrow -19,2+160b+c=0$. again $f(80)=5120$: $-512+6400b+80c+1200=5120\Rightarrow 6400b+80c=4432$. Thế $c=19,2-160b$ vào: $6400b+1536-12800b=4432\Rightarrow -6400b=2896\Rightarrow b=-0,4525$, $c=19,2-160(-0,4525)=91,6$.

a) $f(0)=1200$ m³ → đúng.

b) $b=-0,4525\ne -0,5$ → sai. (Kiểm tra: nếu $b=-0,5$ thì $f(80)=5424\ne 5120$.)

c) $f^{\prime }(t)=-0,003t^2-0,905t+91,6$ là parabol hướng xuống, nghiệm $t=80$ và $t\approx -381,7$, nên $f^{\prime }(t)>0$ trên $(0;80)$: hàm số tăng trên $(0;80)$, do đó trong 40 ngày đầu lượng nước luôn tăng → đúng.

d) $f(120)=-1728+14400(-0,4525)+120(91,6)+1200=-1728-6516+10992+1200=3948$ m³ $<4000$ m³ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=1200$ m³.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ $f^{\prime }(80)=0$, $f(80)=5120$ được $b=-0,4525\ne -0,5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(t)>0$ trên $(0;80)$ nên hàm số tăng, đặc biệt tăng trong 40 ngày đầu.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(120)=3948$ m³ $<4000$ m³.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm bậc ba có điểm cực đại tại $(-1;0)$ (tiếp xúc trục hoành) và điểm cực tiểu $(1;-4)$. Suy ra $f(x)=a(x+1{)}^2(x-2)$; vì $f(1)=-4$ nên $a\cdot 4\cdot (-1)=-4\Rightarrow a=1$, tức $f(x)=(x+1{)}^2(x-2)$.

a) Sai: hàm nghịch biến trên $(-1;1)$ và đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, nên trên $(1;+\infty )$ hàm đồng biến.

b) Đúng: $f(-5)=16\cdot (-7)=-112$, $f(-3)=4\cdot (-5)=-20$, nên $f(-5)<f(-3)$.

c) Sai: giá trị cực đại bằng $f(-1)=0$, không phải $-1$.

d) Sai: hai điểm cực trị là $(-1;0)$ và $(1;-4)$, diện tích tam giác $=\frac{1}{2}|(-1)(-4)-0\cdot 1|=2\ne 4$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đồng biến trên $(1;+\infty )$ vì $x=1$ là điểm cực tiểu.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $f(x)=(x+1{)}^2(x-2)$: $f(-5)=-112<-20=f(-3)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị cực đại là $f(-1)=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác $O(-1;0)(1;-4)$ bằng $2$, không phải $4$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên của $f^{\prime }(x)$: $f^{\prime }$ tăng từ $-\infty$ đến $1$ tại $x=-1$, rồi giảm đến $-1$ tại $x=1$, rồi tăng đến $+\infty$. Do đó $f^{\prime }(x)$ có đúng 3 nghiệm: $x_1<-1$, $x_2\in (-1;1)$, $x_3>1$. Dấu của $f^{\prime }$: âm trên $(-\infty ;x_1)$, dương trên $(x_1;x_2)$, âm trên $(x_2;x_3)$, dương trên $(x_3;+\infty )$. Vậy $f$ đạt cực đại tại $x_1$, cực tiểu tại $x_2$ và $x_3$. Hàm số $y=f(x)$ có 2 điểm cực tiểu.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=-2$, nên hàm số đạt cực đại tại $x_0=-2$. Tại $x=1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên đó là điểm cực tiểu.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu f'(x): tại x=-1, f' đổi dấu từ - sang + nên x=-1 là điểm cực tiểu. Tại x=0, f' đổi dấu từ + sang - nên x=0 là điểm cực đại. Tại x=1, f' không xác định (||) nhưng f liên tục trên R và f' đổi dấu từ - sang + qua x=1, nên x=1 vẫn là điểm cực tiểu (điểm cực trị của hàm liên tục có thể là điểm mà đạo hàm không tồn tại). Tại x=2, f' bằng 0 nhưng không đổi dấu (+ trước và + sau) nên x=2 không phải điểm cực trị. Vậy hàm số có 3 điểm cực trị: x=-1, x=0, x=1. Đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1203, câu 2: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$: trên $(-\infty ;-1)$ thì $f^{\prime }<0$, trên $(-1;0)$ thì $f^{\prime }>0$, trên $(0;1)$ thì $f^{\prime }<0$, trên $(1;2)$ thì $f^{\prime }>0$, trên $(2;+\infty )$ thì $f^{\prime }>0$. Xét từng điểm: tại $x=-1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=-1$ là điểm cực tiểu. Tại $x=0$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=0$ là điểm cực đại. Tại $x=1$, $f^{\prime }$ không xác định (ký hiệu $\Vert$) nhưng $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=1$, nên $x=1$ là điểm cực tiểu. Tại $x=2$, $f^{\prime }=0$ nhưng dấu $f^{\prime }$ không đổi (dương cả hai bên) nên $x=2$ không phải điểm cực trị. Vậy hàm số có $3$ điểm cực trị: $x=-1$, $x=0$, $x=1$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1201, câu 5: A).

Đáp án chính thức (bảng Hướng dẫn chấm, Đề 2): a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f^{\prime }(x)=x(x-1)(x+2{)}^2(x-3{)}^5$. Các nghiệm của $f^{\prime }(x)=0$ là $x=-2,0,1,3$. Xét dấu $f^{\prime }$:
- Tại $x=-2$: nhân tử $(x+2{)}^2$ có số mũ chẵn nên $f^{\prime }$ không đổi dấu qua $x=-2$ → không phải cực trị.
- Tại $x=0$: nhân tử $x$ có số mũ lẻ (bậc 1), $f^{\prime }$ đổi dấu (dương sang âm) → cực đại.
- Tại $x=1$: nhân tử $(x-1)$ bậc 1, $f^{\prime }$ đổi dấu (âm sang dương) → cực tiểu.
- Tại $x=3$: nhân tử $(x-3{)}^5$ có số mũ lẻ, $f^{\prime }$ đổi dấu (dương sang âm) → cực đại.

Vậy hàm số có 3 điểm cực trị (tại $x=0,1,3$), khớp với đáp số 3 của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số có hai nhánh với tiệm cận đứng $x=0$. Trên nhánh bên phải $(0;+\infty )$, hàm số giảm rồi tăng, đạt cực tiểu tại điểm có tọa độ $(1;2)$, nên giá trị cực tiểu là $y=2$. Trên nhánh bên trái $(-\infty ;0)$, hàm số đạt cực đại tại $(-1;-2)$ (không phải cực tiểu). Vậy giá trị cực tiểu của hàm số là $2$, khớp với đáp án D trong đề.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$: tại $x=-2$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=-2$ là điểm cực đại. Tại $x=0$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên là điểm cực tiểu. Tại $x=2$, $f^{\prime }$ không đổi dấu (vẫn $+$) nên không phải điểm cực trị. Vậy hàm số có đúng 1 điểm cực đại, chọn đáp án D (khớp với đáp án nguồn: đề 2, câu 4 là D).

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)=x(x-1)(x+2{)}^2(x-3{)}^5$. Nghiệm $x=-2$ có bậc chẵn nên $f^{\prime }$ không đổi dấu qua $-2$ (không phải cực trị). Trên $(-\infty ;-2)$ và $(-2;0)$: $f^{\prime }<0$; trên $(0;1)$: $f^{\prime }>0$; trên $(1;3)$: $f^{\prime }<0$; trên $(3;+\infty )$: $f^{\prime }>0$. Vậy $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=0$ và tại $x=3$: hai điểm cực tiểu; đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=1$: một điểm cực đại. Hàm số có 2 điểm cực tiểu, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi) Quan sát đồ thị hàm số $y=f(x)$ (hàm phân thức có tiệm cận đứng $x=0$ và tiệm cận xiên): nhánh bên trái ($x<0$) đạt đỉnh (điểm cao nhất cục bộ) tại điểm có hoành độ $x=-1$, tung độ $y=-2$; nhánh bên phải đạt cực tiểu tại điểm $(1;2)$. Điểm cực đại của đồ thị là điểm thuộc đồ thị nên phải ghi dưới dạng tọa độ $M(-1;-2)$, không phải $x=-1$ (đây chỉ là hoành độ điểm cực đại). Vậy đáp án đúng là A, trùng với đáp án của đề (bảng hướng dẫn chấm: Câu 3 - Đề 1 - A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$: tại $x=-2$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=-2$ là điểm cực đại; tại $x=0$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=0$ là điểm cực tiểu; tại $x=2$, $f^{\prime }(x)=0$ nhưng $f^{\prime }$ không đổi dấu (vẫn $+$) nên $x=2$ không phải điểm cực trị. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị. Đáp án C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị (hình p8_f2): đồ thị cắt trục hoành tại $x=-2$ nên $f(-2)=0$; hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ với $f(-1)=-1$; $f(0)=-3$; đạt cực tiểu tại $x=1$ với $f(1)=-5$.

a) Trên đoạn $[-2;0]$: hàm tăng từ $f(-2)=0$ đến $f(-1)=-1$ rồi giảm đến $f(0)=-3$. Giá trị nhỏ nhất là $f(0)=-3\ne -1$ → sai.

b) Hàm số tăng trên $(-\infty ;-1)$, giảm trên $(-1;1)$, tăng trên $(1;+\infty )$ → nghịch biến trên $(-1;1)$ → đúng.

c) Hai điểm cực trị là $x=-1$ (cực đại, $f(-1)=-1$) và $x=1$ (cực tiểu, $f(1)=-5$); cả hai giá trị cùng âm nên không trái dấu → sai.

d) Điểm cực tiểu của hàm số là $x=1$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Từ đồ thị, $f(-2)=0$ (đồ thị cắt trục hoành tại $x=-2$), hàm số tăng đến cực đại $f(-1)=-1$ rồi giảm đến $f(0)=-3$. Trên đoạn $[-2;0]$, giá trị nhỏ nhất là $f(0)=-3\ne -1$ nên khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Từ đồ thị, hàm số tăng trên $(-\infty ;-1)$, giảm trên $(-1;1)$ và tăng trên $(1;+\infty )$. Vậy hàm số nghịch biến trên $(-1;1)$, khẳng định đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Hàm số có hai điểm cực trị: cực đại $f(-1)=-1$ và cực tiểu $f(1)=-5$. Cả hai giá trị cùng âm nên không trái dấu, khẳng định sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Đồ thị đạt điểm thấp nhất (cực tiểu) tại $x=1$ với $f(1)=-5$, khẳng định đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ với $y=-1$, đạt cực tiểu tại $x=1$ với $y=-5$.
a) Trên đoạn $[-2;0]$, giá trị lớn nhất của hàm số là $f(-1)=-1$ → đúng.
b) Trên khoảng $(-1;1)$ đồ thị đi xuống nên hàm số nghịch biến → đúng.
c) Hàm số có hai điểm cực trị $x=-1$ và $x=1$ trái dấu → đúng.
d) Giá trị cực tiểu của hàm số là $-5$, không phải $1$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[-2;0]$, max $f(x)=f(-1)=-1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi xuống trên khoảng $(-1;1)$ nên hàm số nghịch biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm có hai điểm cực trị $x=-1$ và $x=1$ trái dấu.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị cực tiểu của hàm số là $-5$, không phải $1$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)=x(x-1)(x-2{)}^2$. Vì $(x-2{)}^2\ge 0$ nên dấu của $f^{\prime }$ chỉ phụ thuộc $x(x-1)$. Bảng dấu: $f^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;0)$, $f^{\prime }<0$ trên $(0;1)$, $f^{\prime }>0$ trên $(1;+\infty )$. Tại $x=0$: $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên hàm đạt cực đại; tại $x=1$: $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên hàm đạt cực tiểu. Tại $x=2$: $f^{\prime }$ không đổi dấu (nghiệm bội 2) nên không phải điểm cực trị. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị, khớp đáp án A (bảng đáp án mã đề 1020, câu 1).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm số: nhánh bên trái ($x<-2$) đi lên rồi đi xuống, đạt đỉnh tại điểm có hoành độ $x=-3$ và tung độ $y=-3$ (được đánh dấu bằng đường chấm chỉ tới $-3$ trên trục tung), tức điểm cực đại là $M(-3;-3)$. Nhánh bên phải có điểm cực tiểu tại $N(-1;1)$. Vì 'điểm cực đại' là một điểm trên đồ thị nên phải viết dưới dạng tọa độ $(x_0;y_0)$, không phải chỉ $x=-3$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (đề 1020, câu 10: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm nghịch biến trên $(-\infty ;0)$, đồng biến trên $(0;2)$, nghịch biến trên $(2;+\infty )$, với $f(0)=1$, $f(2)=5$, và $y\to -\infty$ khi $x\to +\infty$ nên $a<0$.
a) Sai: vì $y\to -\infty$ khi $x\to +\infty$ nên $a<0$, do đó khẳng định $a>0$ là sai.
b) Đúng: trên $(-\infty ;0)$ hàm giảm liên tục từ $+\infty$ xuống $f(0)=1$, nên $2f(x)$ nhận mọi giá trị trong $(2;+\infty )$. Vì $2<e\approx 2,718$, phương trình $2f(x)-e=0$ luôn có đúng một nghiệm âm.
c) Đúng: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi đi qua $x=2$, nên hàm đạt cực đại tại $x=2$ với $f(2)=5$.
d) Sai: trên $(1;5)$, hàm đồng biến trên $(1;2)$ và nghịch biến trên $(2;5)$, nên không đồng biến trên toàn khoảng $(1;5)$.
Kết quả S-Đ-Đ-S khớp đáp án mã 1020 (SDDS).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Vì $y\to -\infty$ khi $x\to +\infty$ nên $a<0$, do đó $a>0$ là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Trên $(-\infty ;0)$ hàm giảm từ $+\infty$ đến $1$, nên $2f(x)$ nhận mọi giá trị trong $(2;+\infty )$; vì $2<e$ nên phương trình $2f(x)-e=0$ luôn có một nghiệm âm.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua $x=2$, nên hàm đạt cực đại tại $x=2$ với $f(2)=5$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Trên $(1;5)$, hàm đồng biến trên $(1;2)$ và nghịch biến trên $(2;5)$, nên không đồng biến trên toàn khoảng $(1;5)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: điểm $(0;1)$ là điểm cực tiểu, đồ thị đi qua $(-1;2)$ và $(-2;1)$. Suy ra $d=f(0)=1$, $f^{\prime }(0)=0\Rightarrow c=0$. Với $f(-1)=-a+b+1=2\Rightarrow -a+b=1$ và $f(-2)=-8a+4b+1=1\Rightarrow b=2a$, giải được $a=1,b=2$, tức $f(x)=x^3+2x^2+1$. Kiểm tra: $f^{\prime }(x)=3x^2+4x=x(3x+4)$, cực đại tại $x=-\frac{4}{3}$ với $f\left(-\frac{4}{3}\right)=\frac{59}{27}\approx 2,19$ (khớp đỉnh hơi lệch trái so với điểm $(-1;2)$ đánh dấu), cực tiểu tại $x=0$.
a) Sai — hàm số đồng biến trên $\left(-\infty ;-\frac{4}{3}\right)$ và $(0;+\infty )$, nghịch biến trên $\left(-\frac{4}{3};0\right)$, nên không đồng biến trên toàn khoảng $(-\infty ;-1)$.
b) Đúng — $a=1>0,b=2>0,c=0,d=1>0$: có ba số dương là $a,b,d$.
c) Sai — hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$, không phải $x=1$.
d) Đúng — $f(0)=d=1$, đồ thị cắt $Oy$ tại $(0;1)$.
Kết quả a) S, b) D, c) S, d) D khớp với đáp án mã đề 1020 (SDSD).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f(x)=x^3+2x^2+1$, $f^{\prime }(x)=3x^2+4x=x(3x+4)$. Hàm số đồng biến trên $\left(-\infty ;-\frac{4}{3}\right)$, nghịch biến trên $\left(-\frac{4}{3};0\right)$. Vì $-\frac{4}{3}<-1$ nên trên khoảng $(-\infty ;-1)$ hàm số không đồng biến toàn phần (đoạn $\left(-\frac{4}{3};-1\right)$ nghịch biến).
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $d=f(0)=1$, $f^{\prime }(0)=0\Rightarrow c=0$; qua $(-1;2)$ và $(-2;1)$ giải được $a=1,b=2$. Vậy $a>0,b>0,d>0,c=0$: có ba số dương.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=x(3x+4)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=0$, nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$, không phải tại $x=1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f(0)=d=1$, nên đồ thị cắt trục $Oy$ tại điểm $(0;1)$ (đúng là điểm cực tiểu trên hình vẽ).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=m{x}^2-2(m-1)x+3(m-2)$. Hàm số đạt cực trị khi $m\ne 0$ và phương trình $y^{\prime }=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ ($\Delta >0$). Theo Vi-ét: $S=x_1+x_2=\frac{2(m-1)}{m}$, $P=x_1{x}_2=\frac{3(m-2)}{m}$. Điều kiện $x_1+2x_2=1$ cho $x_2=1-S$. Vì $x_2$ là nghiệm của $y^{\prime }=0$: $(1-S{)}^2-S(1-S)+P=0\iff 2S^2-3S+1+P=0$. Thay $S,P$ và nhân với $m^2$: $8(m-1{)}^2-6m(m-1)+m^2+3m(m-2)=0\iff 6m^2-16m+8=0\iff 3m^2-8m+4=0\Rightarrow m=2$ hoặc $m=\frac{2}{3}$. Kiểm tra: với $m=2$, $y^{\prime }=2x(x-1)$ có hai nghiệm $0;1$ thỏa $x_1+2x_2=1$ (lấy $x_1=1,x_2=0$); với $m=\frac{2}{3}$, $y^{\prime }=\frac{2}{3}(x^2+x-6)$ có hai nghiệm $-3;2$ thỏa $x_1+2x_2=1$ (lấy $x_1=-3,x_2=2$). Cả hai giá trị hợp lệ, vậy $a+b=2+\frac{2}{3}=\frac{8}{3}\approx 2,7$, khớp đáp án nguồn.