Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Xét $P(I)=15I-1,5I^2$ trên $[0;10]$. Ta có $P^{\prime }(I)=15-3I$. $P^{\prime }(I)=0\iff I=5$. Với $0\le I<5$ thì $P^{\prime }(I)>0$ nên hàm số tăng; với $5<I\le 10$ thì $P^{\prime }(I)<0$ nên hàm số giảm. Vậy công suất tăng trên $[0;5]$ và giảm trên $[5;10]$, suy ra $I_M=5$ (A). Kết quả khớp với đáp án đề 1020, câu 3 Phần III: 5.

Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm số: $f^{\prime }(x)$ mang dấu $+$ trên $(-\infty ;-3)$, $-$ trên $(-3;-2)$ và $(-2;-1)$, $+$ trên $(-1;+\infty )$; $f(x)$ đi từ $-\infty$ lên $-3$ tại $x=-3$, giảm đến $-\infty$ bên trái $x=-2$, từ $+\infty$ giảm đến $1$ tại $x=-1$ rồi tăng đến $+\infty$. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy điểm $M(-3;-3)$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho.

Theo bảng biến thiên: hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$, đồng biến trên $(0;2)$, cực tiểu tại $x=0$ với $y=1$, cực đại tại $x=2$ với $y=5$.
a) Sai (vì hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;0)$ nên $a<0$).
b) Đúng (cực đại tại $x=2$).
c) Đúng (vì $f(x)\to -\infty$ khi $x\to -\infty$ và $f(x)\to +\infty$ khi $x\to +\infty$, phương trình $2f(x)-e=0$ luôn có nghiệm âm).
d) Sai (hàm số nghịch biến trên $(2;+\infty )$, không đồng biến trên $(1;5)$).
(Nguồn lời giải trang 18 liệt kê các ý theo thứ tự: a) đồng biến trên $(1;5)$ - Sai; b) cực đại tại $x=2$ - Đúng; c) $a>0$ - Sai; d) phương trình $2f(x)-e=0$ luôn có một nghiệm âm - Đúng. Khớp với đáp án nguồn trang 13: SDDS.)
a) Sai.
b) Đúng.
c) Đúng.
d) Sai.

Đáp án: 2,7. Có $y^{\prime }=m{x}^2-2(m-1)x+3(m-2)$. Hàm số đạt cực trị tại $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1+2x_2=1$ suy ra $x_2=\frac{2-m}{m}$. Do $x_2=\frac{2-m}{m}$ là nghiệm của phương trình $m{x}^2-2(m-1)x+3(m-2)=0$ nên $$m{\left(\frac{2-m}{m}\right)}^2-2(m-1)\left(\frac{2-m}{m}\right)+3(m-2)=0\iff \{\begin{array}{l}m=2\\ m=\frac{2}{3}\end{array}.$$ Thử lại thấy $\{\begin{array}{l}m=2\\ m=\frac{2}{3}\end{array}$ đều thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy $a+b=\frac{8}{3}\approx 2,7$.

Ta có $f^{\prime }(x)=0\iff x(x-1)(x-2{)}^2=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=1\\ x=2\end{array}\right]$. Lập bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$: trên các khoảng $(-\infty ;0)$, $(0;1)$, $(1;2)$, $(2;+\infty )$ dấu của $f^{\prime }(x)$ lần lượt là $+$, $-$, $+$, $+$. Ta thấy $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi đi qua các điểm $x=0$ và $x=1$, do đó hàm số $y=f(x)$ có hai điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)$ qua từng điểm: tại $x=-3$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=-3$ là điểm cực đại. Tại $x=0$, $f^{\prime }$ không đổi dấu (vẫn âm) nên không phải cực trị. Tại $x=2$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=2$ là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ đạt cực đại tại điểm $(0;1)$ và đạt cực tiểu tại điểm $(2;-3)$ (điểm thấp nhất của đồ thị, có hoành độ $x=2$ và tung độ $y=-3$ theo các đường chỉ dẫn trên hình). Vậy giá trị cực tiểu của hàm số là $-3$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=-1$, nên hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ (giá trị cực đại $f(-1)=5$). Tại $x=3$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên đó là điểm cực tiểu. Vậy điểm cực đại là $x=-1$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=0$, nên hàm số đạt cực đại tại $x=0$ với $f(0)=1$. Tại $x=-3$ và $x=3$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên hàm đạt cực tiểu $f(\pm 3)=-1$. Vậy giá trị cực đại bằng $1$, chọn đáp án D. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (mã đề 201, câu 12: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }=f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=1$, và tại đó $f(1)=4$. Vậy hàm số đạt giá trị cực tiểu bằng $4$ tại $x=1$. (Tại $x=-1$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm nên hàm đạt cực đại bằng $2$.) Đáp án khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=0$, nên hàm số đạt cực đại tại $x=0$ với giá trị $f(0)=3$, tức điểm cực đại là $M(0;3)$. Tại $x=-1$ và $x=1$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên đó là các điểm cực tiểu. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)=x^2(x-1)(x-2{)}^3$. Với $x<1$: $x^2>0$, $(x-1)<0$, $(x-2{)}^3<0$ nên $f^{\prime }(x)>0$. Với $1<x<2$: $(x-1)>0$, $(x-2{)}^3<0$ nên $f^{\prime }(x)<0$. Với $x>2$: cả ba nhân tử dương nên $f^{\prime }(x)>0$. Tại $x=0$, $f^{\prime }$ không đổi dấu (không phải cực trị). Tại $x=1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=1$ là điểm cực đại. Tại $x=2$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=2$ là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có đúng 1 điểm cực đại.

(AI giải đề cho tôi)
Viết $y=\frac{x^2+x+4}{x+1}=x+\frac{4}{x+1}$ với $x\ne -1$. Ta có $y^{\prime }=1-\frac{4}{(x+1{)}^2}=0\iff (x+1{)}^2=4\iff x=1$ hoặc $x=-3$. Xét dấu $y^{\prime }$: $y^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;-3)$ và $(1;+\infty )$; $y^{\prime }<0$ trên $(-3;-1)$ và $(-1;1)$. Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=-3$ với $m=y(-3)=\frac{9-3+4}{-2}=-5$, và đạt cực tiểu tại $x=1$ với $n=y(1)=\frac{1+1+4}{2}=3$. Do đó $P=m^2+n^2=(-5{)}^2+3^2=25+9=34$.

a) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$
Sự biến thiên: $y^{\prime }=3x^2-6x=0\iff \{\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}$ và ${\lim }_{x\to -\infty }y=-\infty$; ${\lim }_{x\to +\infty }y=+\infty$
Bảng biến thiên:
[Hình cần kiểm tra lại: p4_f1]
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$ và đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$.
Hàm số đạt cực đại tại $x=0;y_{CD}=1$ và đạt cực tiểu tại $x=2;y_{CT}=-3$.

b) Hàm số đã cho xác định trên $\mathbb{R}$.
Ta có: $f^{\prime }(x)=-4x^3+16x$.
Từ đó: $f^{\prime }(x)=0\iff \{\begin{array}{l}x=0\in [0;3]\\ x=-2\notin [0;3]\\ x=2\in [0;3]\end{array}$
Ta có: $f(0)=-7,f(2)=9,f(3)=-16$.
Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là $-16$ và $9$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$: hàm đạt cực tiểu $f(-2)=-4$, sau đó tăng lên đạt điểm cực đại tại $x=0$ với $f(0)=0$, rồi giảm xuống cực tiểu $f(1)=-1$, cuối cùng tăng trở lại. Vậy giá trị cực đại của hàm số là $f(0)=0$. Đáp án khớp với mã đề 1201 (Câu 2: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm bậc ba: hàm đạt cực đại tại $x=-1$ với $f(-1)=2$ và đạt cực tiểu tại $x=1$ với $f(1)=-2$. Giá trị cực tiểu của hàm số là $f(1)=-2$. Khớp với đáp án nguồn (mã 121, câu 11: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=2$, nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$ (với $f(2)=-4$). Tại $x=0$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên đó là điểm cực đại. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Câu 2, mã đề 121: A).

$$h(t)=24t+5t^2-\frac{t^3}{3}$$
$$h^{\prime }(t)=24+10t-t^2$$
$$h^{\prime }(t)=0\iff 24+10t-t^2=0\iff \{\begin{array}{l}t=-2\text{(loại)}\\ t=12\text{(t/m)}\end{array}$$

BBT:

[Hình cần kiểm tra lại: p7_f2]

Vậy để mực nước lên cao nhất thì phải mất 12 giờ. Vậy phải thông báo cho dân di dời vào 15 giờ chiều cùng ngày.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+3}{x+1}$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$, có $y^{\prime }=\frac{2(x+1)-(2x+3)}{(x+1{)}^2}=\frac{-1}{(x+1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne -1$. Vì đạo hàm không đổi dấu (luôn âm) trên mỗi khoảng xác định và không tồn tại điểm nào $y^{\prime }=0$, hàm số không có điểm cực trị. Vậy hàm số có 0 điểm cực trị, khớp với đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=-2$ nên $x=-2$ là điểm cực đại (cực trị thứ nhất). $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=0$ nên $x=0$ là điểm cực tiểu (cực trị thứ hai). Vậy hàm số có 2 điểm cực trị, khớp với đáp án B của đề.