Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu của $y^{\prime }$: tại $x=-2$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=-2$ là điểm cực tiểu. Tại $x=0$, $y^{\prime }=0$ nhưng dấu của $y^{\prime }$ không đổi (vẫn $+$) nên $x=0$ không phải điểm cực trị. Tại $x=3$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=3$ là điểm cực đại. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị, đáp án C. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 002, câu 11: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $g(x)=f(x)+x$ nên $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+1$, do đó $g^{\prime }(x)=0\iff f^{\prime }(x)=-1$. Từ đồ thị của $f^{\prime }(x)$: trên khoảng $(-\infty ;0)$, $f^{\prime }(x)\ge 0$ (đồ thị chạm trục hoành tại $x=-3$ rồi đạt cực đại bằng 2), nên không có nghiệm của $f^{\prime }(x)=-1$ ở đó. Trên khoảng $(0;3)$, đồ thị $f^{\prime }(x)$ đi xuống dưới trục (có giá trị nhỏ hơn $-1$) rồi đi lên cắt trục tại $x=3$, nên phương trình $f^{\prime }(x)=-1$ có đúng 2 nghiệm trong khoảng này. Tại hai nghiệm đó, $g^{\prime }(x)$ đổi dấu (vì $f^{\prime }$ đơn điệu qua các mức $-1$), nên $g$ có 2 điểm cực trị. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 002, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo bảng biến thiên: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=0$ nên hàm đạt cực đại tại $x=0$; đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=1$ nên đạt cực tiểu tại $x=1$. a) Sai: hàm chỉ đồng biến trên $(-\infty ;0)$ và $(1;+\infty )$, nghịch biến trên $(0;1)$, nên không đồng biến trên $(-1;+\infty )$. b) Đúng như trên. c) Sai: hàm chỉ có hai điểm cực trị là $x=0$ và $x=1$. d) Đúng: trên $(-\infty ;0)$ hàm tăng từ $-2$ đến $0$ nên cắt ngang $y=-\frac{1}{2}$ tại một nghiệm; trên $(0;1)$ hàm giảm từ $0$ đến $-1$ nên có thêm một nghiệm; trên $(1;+\infty )$ hàm tăng từ $-1$ đến $+\infty$ nên có thêm một nghiệm. Vậy $f(x)=-\frac{1}{2}$ có ba nghiệm phân biệt. Kết quả a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng khớp với đáp án chính thức SDSD của mã đề 002.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên $(0;1)$ nên không đồng biến trên $(-1;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ qua $x=0$ (cực đại) và từ $-$ sang $+$ qua $x=1$ (cực tiểu).
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm chỉ có hai điểm cực trị $x=0$ và $x=1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên mỗi khoảng $(-\infty ;0)$, $(0;1)$, $(1;+\infty )$ giá trị $f(x)$ đều đi qua $-\frac{1}{2}$ nên phương trình có ba nghiệm phân biệt.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $g(x)=f(x)+x$ nên $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+1$, do đó $g^{\prime }(x)=0\iff f^{\prime }(x)=-1$. Dựa vào đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$: đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm (khoảng $x=-3$, $x=0$, $x=3$), có điểm cực đại với giá trị $2$ và điểm cực tiểu với giá trị nhỏ hơn $-1$. Vậy đường thẳng $y=-1$ cắt đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ tại đúng $2$ điểm phân biệt, và tại cả hai điểm này $f^{\prime }(x)$ đổi dấu (một điểm $f^{\prime }$ đi từ $+$ xuống $-$, một điểm đi từ $-$ lên $+$). Do đó $g^{\prime }(x)$ đổi dấu qua đúng $2$ điểm, tức hàm $g(x)$ có $2$ điểm cực trị. Kết quả khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số đồng biến trên $(-\infty ;0)$ và $(1;+\infty )$, nghịch biến trên $(0;1)$.
a) Sai: Trên $(-1;+\infty )$ hàm số không đồng biến hoàn toàn vì nghịch biến trên $(0;1)$.
b) Đúng: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=0$ nên hàm đạt cực đại tại $x=0$; đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=1$ nên đạt cực tiểu tại $x=1$.
c) Sai: Hàm số chỉ có 2 điểm cực trị ($x=0$ và $x=1$).
d) Sai: Trên $(-\infty ;0)$ hàm tăng từ $-2$ đến $0$, trên $(0;1)$ giảm từ $0$ đến $-1$, trên $(1;+\infty )$ tăng từ $-1$ đến $+\infty$. Giá trị $\frac{1}{2}$ chỉ thuộc khoảng giá trị $(-1;+\infty )$ trên nhánh cuối, nên phương trình $f(x)=\frac{1}{2}$ chỉ có 1 nghiệm. (Khớp đáp án chính thức mã đề 001: SDSS.)
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên $(0;1)$ nên không đồng biến trên $(-1;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }$ đổi dấu $+\to -$ tại $x=0$ (cực đại) và $-\to +$ tại $x=1$ (cực tiểu).
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm chỉ có 2 điểm cực trị.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị $\frac{1}{2}$ chỉ nằm trong khoảng giá trị của nhánh $(1;+\infty )$, nên phương trình chỉ có 1 nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=1$, nên hàm số đạt cực đại tại $x=1$ (đạt giá trị $f(1)=2$). Tại $x=-3$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên đó là điểm cực tiểu. Vậy điểm cực đại là $x=1$, khớp đáp án A trong bảng đáp án (đề 001, câu 2).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2-2x+1}{x+1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x-2)(x+1)-(x^2-2x+1)}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-3}{(x+1{)}^2}=\frac{(x-1)(x+3)}{(x+1{)}^2}$. $y^{\prime }=0$ khi $x=1$ hoặc $x=-3$. Xét dấu: trên $(-\infty ;-3)$ thì $y^{\prime }>0$, trên $(-3;-1)$ thì $y^{\prime }<0$, nên hàm số đạt cực đại tại $x=-3$. Khi đó $y(-3)=\frac{(-3{)}^2-2(-3)+1}{-3+1}=\frac{16}{-2}=-8$. Vậy điểm cực đại là $(-3;-8)$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 3102, Câu 10: C).

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=0\Rightarrow x=-1$ hoặc $x=3$. Hai điểm cực trị là $x_1=-1,x_2=3$. Khi đó $x_1^2+x_2^2=1+9=10$. Kết quả khớp với đáp án B trong bảng mã đề 3102.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=\frac{x^3}{3}-2x^2+3x+\frac{2}{3}$, ta có $y^{\prime }=x^2-4x+3$; $y^{\prime }=0\iff x=1$ hoặc $x=3$, và $y^{\prime }$ đổi dấu qua mỗi nghiệm (dương ngoài khoảng $(1;3)$, âm trong khoảng $(1;3)$). a) $x=1$ là hoành độ điểm cực đại (vì $y^{\prime }$ đổi dấu từ + sang −), nhưng điểm cực đại của đồ thị là điểm $(1;2)$ chứ không phải $x=1$, nên khẳng định a) Sai (khớp bảng đáp án chính thức mã đề 3102: S). b) $x=3$ là hoành độ điểm cực tiểu; giá trị cực tiểu là $y(3)=\frac{27}{3}-18+9+\frac{2}{3}=\frac{8}{3}\ne 3$, nên khẳng định b) Sai. c) $y^{\prime }$ có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu qua mỗi nghiệm nên hàm số có hai điểm cực trị: điểm cực đại $(1;2)$ và điểm cực tiểu $(3;\frac{8}{3})$; khẳng định c) Đúng. d) Khoảng cách giữa hai điểm cực trị $\sqrt{(3-1{)}^2+{\left(\frac{8}{3}-2\right)}^2}=\sqrt{4+\frac{4}{9}}=\frac{2\sqrt{10}}{3}\ne \frac{\sqrt{13}}{13}$; khẳng định d) Sai. Kết luận: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Sai — khớp bảng đáp án nguồn (mã đề 3102, hàng 4: SSĐS).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $y^{\prime }=x^2-4x+3=0\iff x=1$ hoặc $x=3$; $y^{\prime }$ đổi dấu từ + sang − qua $x=1$ nên $x=1$ là hoành độ điểm cực đại. Tuy nhiên điểm cực đại của đồ thị là điểm $(1;2)$ chứ không phải $x=1$, nên khẳng định a) Sai (khớp đáp án chính thức mã đề 3102: S).
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $x=3$ là hoành độ điểm cực tiểu; giá trị cực tiểu là $y(3)=\frac{27}{3}-18+9+\frac{2}{3}=\frac{8}{3}\ne 3$. Khẳng định b) Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $y^{\prime }=x^2-4x+3$ có hai nghiệm phân biệt $x=1,x=3$ và đổi dấu qua mỗi nghiệm, nên hàm số có hai điểm cực trị: $(1;2)$ và $(3;\frac{8}{3})$. Khẳng định c) Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Hai điểm cực trị là $(1;2)$ và $(3;\frac{8}{3})$; khoảng cách $=\sqrt{4+\frac{4}{9}}=\frac{2\sqrt{10}}{3}\ne \frac{\sqrt{13}}{13}$. Khẳng định d) Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi qua $(1;0)$: $1+a+b+c=0$. Điểm cực trị $(-2;0)$: $y^{\prime }=3x^2+2ax+b$ nên $y^{\prime }(-2)=12-4a+b=0$, và $y(-2)=-8+4a-2b+c=0$. Trừ phương trình $y(-2)=0$ cho $y(1)=0$: $-9+3a-3b=0\Rightarrow a-b=3$. Kết hợp $b=4a-12$: $a-4a+12=3\Rightarrow a=3$, $b=0$, $c=-4$. Khi đó $T=a^2+b^2+c^2=9+0+16=25$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 3102, Câu 1 = 25).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $N(t)=1000+\frac{100t}{100+t^2}$ với $t\ge 0$. Ta có $N^{\prime }(t)=100\cdot \frac{(100+t^2)-t\cdot 2t}{(100+t^2{)}^2}=\frac{100(100-t^2)}{(100+t^2{)}^2}$. Cho $N^{\prime }(t)=0$ thì $t^2=100$, với $t\ge 0$ nên $t=10$. Với $0\le t<10$ thì $N^{\prime }(t)>0$, với $t>10$ thì $N^{\prime }(t)<0$, nên $N(t)$ đạt cực đại tại $t=10$ giây. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 3102, câu 2 Phần III: 10).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên (đồ thị hàm bậc ba): hàm số đồng biến trên $(-\infty ;0)$, nghịch biến trên $(0;1)$, đồng biến trên $(1;+\infty )$. Tại $x=0$, hàm số đổi từ đi lên sang đi xuống nên đạt cực đại tại $x=0$ (điểm cực đại là $(0;0)$). Tại $x=1$ hàm đạt cực tiểu với giá trị $f(1)=-1$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 3102, câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;0)$ và $(0;1)$, $y^{\prime }<0$ trên $(1;2)$, $y^{\prime }>0$ trên $(2;+\infty )$; tại $x=0$ đạo hàm không xác định nhưng dấu $y^{\prime }$ không đổi (+ sang +) nên $x=0$ không phải cực trị. a) Đúng: hàm số có đúng hai cực trị là $x=1$ (cực đại) và $x=2$ (cực tiểu). b) Sai: giá trị cực đại bằng $f(1)=1$, không phải $0$ (giá trị $0$ tại $x=0$ không phải cực đại vì $y^{\prime }$ không đổi dấu qua $x=0$). c) Sai: hàm chỉ đạt cực đại tại $x=1$ (không đạt cực đại tại $x=0$) và cực tiểu tại $x=2$; cách phát biểu gộp sai. d) Sai: hàm không đạt cực tiểu tại $x=-1$; điểm cực tiểu là $x=2$ với giá trị $f(2)=-1$. Kết quả Đúng–Sai–Sai–Sai khớp với đáp án nguồn (ĐSSS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm có đúng hai cực trị: cực đại tại $x=1$ và cực tiểu tại $x=2$ (tại $x=0$, $y^{\prime }$ không đổi dấu nên không phải cực trị).
b) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị cực đại bằng $f(1)=1$, không phải $0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đạt cực đại tại $x=1$ (không phải $x=0$ vì $y^{\prime }$ không đổi dấu qua $x=0$) và cực tiểu tại $x=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm không đạt cực tiểu tại $x=-1$; cực tiểu tại $x=2$ với giá trị $-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét bảng dấu của $f^{\prime }(x)$: tại $x=-1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=-1$ là điểm cực đại. Tại $x=0$, $f^{\prime }$ không xác định (dấu $\Vert$) nhưng $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=0$ là điểm cực tiểu. Tại $x=1$ và $x=2$, $f^{\prime }(x)=0$ nhưng không đổi dấu ($+$ rồi $+$) nên không phải cực trị. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=-1$, nên hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ (đạt cực tiểu tại $x=2$). Đáp án B, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=x^2-4x+3$. Cho $y^{\prime }=0\Rightarrow x=1$ hoặc $x=3$. Vì hệ số $a=1>0$, $y^{\prime }$ âm trên $(1;3)$ và dương ngoài khoảng đó, nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=3$. Tọa độ điểm cực tiểu: $y(3)=\frac{27}{3}-18+9+1=9-18+9+1=1$, tức điểm cực tiểu là $(3;1)$. Khớp với đáp án D (mã đề 3101, Câu 5 = D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=8$, nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=8$ với giá trị $f(8)=-4$. (Tại $x=3$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên đó là cực đại $f(3)=4$; tại $x=4$ hàm số không xác định.) Vậy giá trị cực tiểu bằng $-4$, khớp đáp án D trong bảng đáp án mã đề 1002.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=8$, nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=8$ với $f(8)=-4$. Tại $x=3$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên đó là điểm cực đại với $f(3)=4$. Vậy giá trị cực tiểu bằng $-4$, khớp đáp án B (đáp án nguồn cũng là B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=1$, nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$ với $f(1)=-5$. Vậy giá trị cực tiểu của hàm số là $-5$, khớp với đáp án nguồn (đề 1002, câu 1: D).

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=\frac{x^2+3x+5}{x-1}$, TXD $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x+3)(x-1)-(x^2+3x+5)}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x-8}{(x-1{)}^2}$. Cho $y^{\prime }=0\iff x=-2$ hoặc $x=4$. Vì $y^{\prime }>0$ khi $x<-2$, $y^{\prime }<0$ khi $-2<x<1$ và $1<x<4$, $y^{\prime }>0$ khi $x>4$, nên hàm số đạt cực đại tại $x_1=-2$ và cực tiểu tại $x_2=4$. Tính $y_1=y(-2)=\frac{4-6+5}{-2-1}=\frac{3}{-3}=-1$. Vậy $3x_2+2y_1=3\cdot 4+2\cdot (-1)=10$, khớp với đáp án nguồn.