Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=-1$, nên hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ với $f(-1)=4$. Điểm cực đại là $(-1;4)$. Đáp án B (khớp đáp án nguồn, đề 1002 câu 9 là B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=3$, và $f(3)=-4$. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x=3$ với $y_{CT}=-4$, tức điểm cực tiểu của đồ thị là $(3;-4)$. Đáp án A khớp với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 1: A). Lưu ý: B chỉ nêu hoành độ, D chỉ nêu tung độ, C là điểm cực đại $(0;2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2-3x+5}{x+1}$, TXD $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x-3)(x+1)-(x^2-3x+5)}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-8}{(x+1{)}^2}$. Cho $y^{\prime }=0\iff x=2$ hoặc $x=-4$. Xét dấu: trên $(-\infty ;-4)$ và $(2;+\infty )$ thì $y^{\prime }>0$, trên $(-4;-1)$ và $(-1;2)$ thì $y^{\prime }<0$. Vậy điểm cực đại $A$ có hoành độ $x_1=-4$, $y_1=\frac{16+12+5}{-3}=-11$; điểm cực tiểu $B$ có $x_2=2$, $y_2=\frac{4-6+5}{3}=1$. Do đó $2x_1+3y_2=2(-4)+3(1)=-8+3=-5$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: $-5$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên của Câu 4 (mã đề 1001): $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi đi qua $x=-1$, nên hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ với $f(-1)=4$. Tại $x=1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên đó là điểm cực tiểu với $f(1)=0$. Vậy giá trị cực đại của hàm số bằng $4$, khớp đáp án A và với đáp án chính thức của đề (Câu 4: A).

Đáp án theo bảng HD chấm (đề 102, Phần II Câu 2): a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^6-12x^5+1$ có $y^{\prime }=6x^5-60x^4=6x^4(x-10)$. Với $x\ne 0$, $6x^4>0$ nên dấu của $y^{\prime }$ theo dấu của $(x-10)$: $y^{\prime }<0$ khi $x<10$ và $y^{\prime }>0$ khi $x>10$; tại $x=0$ hàm số không đổi dấu (vì $y^{\prime }=0$ chỉ do nhân tử $x^4$). Vậy hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;10)$ và đồng biến trên $(10;+\infty )$, hàm số đạt cực tiểu tại $x=a=10$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (đề 102, Câu 1: 10).

$y^{\prime }=3x^2-12x+9$
$y^{\prime }=0\iff \{\begin{array}{l}x=1\\ x=3\end{array}$
Bảng xét dấu

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(5;+\infty )$
Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;5)$
$x_{CD}=-1,y_{CD}=2033$
$x_{CT}=5,y_{CT}=1925$

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=-2$, nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=-2$ (giá trị cực tiểu $f(-2)=-2$). Tại $x=1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên đó là điểm cực đại. Vậy điểm cực tiểu là $x=-2$, đáp án A (khớp đáp án nguồn: đề 102, Câu 3 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$ (Câu 4, Mã đề 102): hàm số có điểm cực tiểu tại $x=0$ với $y=-4$ và điểm cực đại tại $x=2$ với $y=0$ (đồ thị đi lên qua $x=-1$, xuống cực tiểu $-4$ tại $x=0$, lên đạt cực đại tại điểm $(2;0)$ rồi đi xuống). Giá trị cực đại của hàm số là $f(2)=0$. Vậy đáp án đúng là C, trùng với đáp án trong bảng HD chấm (Câu 4, Mã 102: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^6-6x^5+1$ xác định trên $\mathbb{R}$. Ta có $y^{\prime }=6x^5-30x^4=6x^4(x-5)$. Cho $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=5$. Xét dấu $y^{\prime }$: với $x<0$, $y^{\prime }<0$; với $0<x<5$, $y^{\prime }<0$ (do $x^4>0$, $x-5<0$); với $x>5$, $y^{\prime }>0$. Vậy hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;5)$ và đồng biến trên $(5;+\infty )$, nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=5$ (điểm $x=0$ không phải cực trị vì $y^{\prime }$ không đổi dấu qua $x=0$). Do đó $a=5$, khớp với đáp án nguồn (đề 101, Phần III Câu 1: 5).

$y^{\prime }=3x^2-12x+9$
$y^{\prime }=0\iff \{\begin{array}{l}x=1\\ x=3\end{array}$
Bảng xét dấu

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;1)$ và $(3;+\infty )$
Hàm số nghịch biến trên khoảng $(1;3)$
$x_{CD}=1,y_{CD}=2029$
$x_{CT}=3,y_{CT}=2025$

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=0$ (trước $0$ hàm đồng biến, sau $0$ hàm nghịch biến), nên hàm số đạt cực đại tại $x=0$ (với $f(0)=3$). Tại $x=\pm 1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên đó là các điểm cực tiểu. Vậy điểm cực đại là $x=0$, khớp đáp án B (đáp án C $M(0;3)$ là tọa độ điểm cực đại nhưng theo đáp án của đề thì chọn B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị ở Câu 4, hàm số có điểm cực tiểu tại $x=0$ với giá trị $f(0)=-4$ (đáy thấp của đồ thị nằm tại $-4$ trên trục tung). Vậy cực tiểu của hàm số bằng $-4$, chọn đáp án B. Kết quả này trùng với đáp án của đề (Câu 4 - mã đề 101: B).

Đáp án: S S Đ S.
a) Sai: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.
b) Đúng.
c) Sai: Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ;x_0)$ với $-2<x_0<-1$.
d) Sai: Đồ thị đi qua ba điểm $(-2;1);(-1;2);(0;1)$ và đạt cực trị tại $x=1$ nên ta được hệ:
$$\{\begin{array}{l}-8a+4b-2c+d=1\\ -a+b-c+d=2\\ d=1\\ c=0\end{array}\iff a=1;b=2;c=0;d=1\Rightarrow 2a+3b+c=8$$
a) Sai: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.
b) Đúng.
c) Sai: Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ;x_0)$ với $-2<x_0<-1$.
d) Sai: Đồ thị đi qua ba điểm $(-2;1);(-1;2);(0;1)$ và đạt cực trị tại $x=1$ nên ta được hệ:
$$\{\begin{array}{l}-8a+4b-2c+d=1\\ -a+b-c+d=2\\ d=1\\ c=0\end{array}\iff a=1;b=2;c=0;d=1\Rightarrow 2a+3b+c=8$$

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=(x^2-4)(x+2)(x-3)=(x-2)(x+2{)}^2(x-3)$. Nghiệm của $f^{\prime }(x)=0$: $x=-2$ (nghiệm kép), $x=2$, $x=3$. Xét dấu của $f^{\prime }(x)$: với $x<-2$: $(x-2)<0$, $(x+2{)}^2>0$, $(x-3)<0$ nên $f^{\prime }(x)>0$; với $-2<x<2$: $(x-2)<0$, $(x+2{)}^2>0$, $(x-3)<0$ nên $f^{\prime }(x)>0$ — dấu không đổi khi qua $x=-2$ nên $x=-2$ không phải điểm cực trị. Qua $x=2$: $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$, là điểm cực đại. Qua $x=3$: $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$, là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số có điểm cực tiểu tại $x=0$ với $f(0)=-1$ và điểm cực đại tại $x=2$ với $f(2)=3$. a) Trên khoảng $(2;+\infty )$ hàm nghịch biến nên $f(3)<f(2)=3$, mệnh đề đúng. b) Trên đoạn $[0;2]$ hàm đồng biến từ $f(0)=-1$ đến $f(2)=3$ nên GTLN bằng 3, đúng. c) Đồ thị có 1 điểm cực tiểu ($x=0$) và 1 điểm cực đại ($x=2$) nên có 2 điểm cực trị, đúng. d) Trên khoảng $(-1;0)$ hàm nghịch biến (đang đi xuống từ phía trái về điểm cực tiểu tại $x=0$), nên hàm không đồng biến trên toàn khoảng $(-1;2)$, sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên $(2;+\infty )$ nên $f(3)<f(2)=3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;2]$ hàm đồng biến, GTLN $=f(2)=3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có 1 điểm cực tiểu tại $x=0$ và 1 điểm cực đại tại $x=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-1;0)$ hàm nghịch biến nên không đồng biến trên toàn khoảng $(-1;2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm số bậc ba, hàm đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ $x=1$ và tung độ $y=-4$ (đường nét đứt chỉ điểm thấp nhất của đồ thị tại $(1;-4)$). Điểm cực tiểu là điểm trên đồ thị, nên đáp án là $(1;-4)$. Các phương án $-1$ và $1$ chỉ là hoành độ, còn $(2;0)$ không phải điểm cực tiểu.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+x-1}{x-1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x+1)(x-1)-(x^2+x-1)}{(x-1{)}^2}=\frac{2x^2-x-1-x^2-x+1}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}$. Cho $y^{\prime }=0\iff x^2-2x=0\iff x=0$ hoặc $x=2$ (đều khác 1, thỏa mãn). Theo Vi-ét, $x_1+x_2=2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 102: 2).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=x^2-4x+3$. Cho $y^{\prime }=0\iff x=1$ hoặc $x=3$. Vì hệ số của $x^2$ trong $y^{\prime }$ dương, hàm số đạt cực tiểu tại $x=3$ (đạo hàm đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=3$). Tính $y(3)=\frac{1}{3}\cdot 27-2\cdot 9+9+1=9-18+9+1=1$. Vậy điểm cực tiểu là $(3;1)$, tương ứng phương án A. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 2: A).

Cách 1: Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{x^2+2x-3}{(x+1{)}^2}$ (0,25 điểm).

$f^{\prime }(x)=0\iff x^2+2x-3=0\iff \{\begin{array}{l}x=1,y=-1\\ x=-3;y=-9\end{array}$ (0,5 điểm).

Vậy trung điểm của hai điểm cực trị $A,B$ là $I(-1;-5)$ (0,25 điểm).

Cách 2: Tìm tiệm cận đứng (0,25 điểm). Tìm tiệm cận xiên (0,5 điểm). Vậy trung điểm của hai điểm cực trị $A,B$ là giao điểm của hai tiệm cận $I(-1;-5)$ (0,25 điểm).