Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Giả sử hàm số vận tốc có dạng: $v(t)=a{t}^3+b{t}^2+ct+d,t>0$. Ta có: $v^{\prime }(t)=3a{t}^2+2bt+c$ (0,25 điểm).

Dựa vào đồ thị hàm số, tại các thời điểm $t_1,t_2$ đồ thị hàm vận tốc đi qua các điểm cực trị $A(1;4)$, $B(2;1)$. Khi đó: $\{\begin{array}{l}v(1)=4\\ v^{\prime }(1)=0\\ v(2)=1\\ v^{\prime }(2)=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a+b+c+d=4\\ 3a+2b+c=0\\ 8a+4b+2c+d=1\\ 12a+4b+c=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=6\\ b=-27\\ c=36\\ d=-11\end{array}$ (0,5 điểm).

Suy ra: $v(t)=6t^3-27t^2+36t-11(\text{km/h})$. Vậy vận tốc của vật tại thời điểm $t=3h$ là: $v(3)=6\cdot 3^3-27\cdot 3^2+36\cdot 3-11=16\text{km/h}$ (0,25 điểm).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=x(x-1)(x+2{)}^3$ với $\forall x\in \mathbb{R}$. Các nghiệm của $f^{\prime }(x)=0$ là $x=-2$, $x=0$, $x=1$. Xét dấu $f^{\prime }$: với $x<-2$, $f^{\prime }(x)<0$; với $-2<x<0$, $f^{\prime }(x)>0$; với $0<x<1$, $f^{\prime }(x)<0$; với $x>1$, $f^{\prime }(x)>0$. Đạo hàm đổi dấu tại cả ba nghiệm $x=-2$, $x=0$, $x=1$ (lưu ý $(x+2{)}^3$ đổi dấu khi qua $x=-2$ vì lũy thừa lẻ), nên hàm số có 3 điểm cực trị. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, Câu 9 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định D = ℝ\{1}. Ta có y' = [((2x+1)(x-1) - (x²+x-1))]/(x-1)² = (x² - 2x)/(x-1)². y' = 0 ⟺ x² - 2x = 0 ⟺ x = 0 hoặc x = 2 (đều khác 1, và đổi dấu qua mỗi nghiệm nên là hai điểm cực trị). Vậy x₁ + x₂ = 0 + 2 = 2, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, Phần III Câu 2 = 2).

Cách 1: Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{x^2+2x-3}{(x+1{)}^2}$ (0,25 điểm).

$f^{\prime }(x)=0\iff x^2+2x-3=0\iff \{\begin{array}{l}x=1,y=-1\\ x=-3;y=-9\end{array}$ (0,5 điểm).

Vậy trung điểm của hai điểm cực trị $A,B$ là $I(-1;-5)$ (0,25 điểm).

Cách 2: Tìm tiệm cận đứng (0,25 điểm). Tìm tiệm cận xiên (0,5 điểm). Vậy trung điểm của hai điểm cực trị $A,B$ là giao điểm của hai tiệm cận $I(-1;-5)$ (0,25 điểm).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f^{\prime }(x)=x(x-1)(x+2{)}^3$. Nghiệm của $f^{\prime }(x)$: $x=-2$ (bội lẻ 3), $x=0$, $x=1$. Xét dấu: trên $(-\infty ;-2)$: $f^{\prime }<0$; trên $(-2;0)$: $f^{\prime }>0$; trên $(0;1)$: $f^{\prime }<0$; trên $(1;+\infty )$: $f^{\prime }>0$. Dấu của $f^{\prime }$ đổi tại cả ba điểm $x=-2$, $x=0$, $x=1$ (do các bội đều lẻ), nên hàm số có 3 điểm cực trị. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 4: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=x^2-4x+3$. Cho $y^{\prime }=0\iff x=1$ hoặc $x=3$. Vì hệ số $a=1>0$, hàm số đạt cực tiểu tại $x=3$ (đổi dấu từ âm sang dương qua $x=3$). Tính $y(3)=\frac{27}{3}-18+9+1=9-18+9+1=1$. Vậy điểm cực tiểu là $(3;1)$, khớp với đáp án D của đề.

1) Hàm số xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$. $y^{\prime }=6x^2-6x$. $y^{\prime }=0\iff \{\begin{array}{l}x=0;y=m-1\\ x=1;y=m-2\end{array}$

Bảng biến thiên:



Vậy $B(0;m-1)$, $C(1;m-2)$.

Phương trình đường thẳng $BC$: $x+y-m+1=0$.
$d(O;BC)=\frac{|1-m|}{\sqrt{2}}$.
$S_{OBC}=\frac{1}{2}d(O;BC).BC=\frac{1}{2}.\frac{|1-m|}{\sqrt{2}}.\sqrt{2}=2\iff |1-m|=4\iff \{\begin{array}{l}1-m=4\\ 1-m=-4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m=-3\\ m=5\end{array}$

2) Đổi $400m=0,4km$ và $500m=0,5km$. Dựng hình chữ nhật $DCBH$.



Khi đó $DC=HB=\sqrt{A{B}^2-A{H}^2}=\sqrt{1^2-(1-0,4{)}^2}=0,8$.
Đặt $DE=x$ và $FC=y$.
Khi đó $x+y=DE+FC=DC-EF=0,8-0,5=0,3$.
Ta có đoạn đường anh Hùng sẽ đi là
$$T=AE+EF+FB+BA=\sqrt{x^2+1^2}+\sqrt{y^2+0,4^2}+1,5.$$
Lập luận được $T$ nhỏ nhất khi $x=\frac{3}{14};y=\frac{3}{35}$.
Khi đó $T=\sqrt{1+\frac{9}{196}}+\sqrt{\frac{9}{1225}+0,16}+1,5=\frac{\sqrt{205}}{14}+\frac{\sqrt{205}}{35}+1,5=\frac{\sqrt{205}}{10}+1,5\approx 2,9318km$.
Vậy quãng đường ngắn nhất anh Hùng đi trong buổi sáng là $2932m$ (đáp án in trong tài liệu gốc là $1932m$, đây là lỗi đánh máy; theo lập luận của chính lời giải thì $T=\frac{\sqrt{205}}{10}+1,5\approx 2932m$).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3-2x^2+ax+b$ có $y^{\prime }=3x^2-4x+a$. Vì $A(1;3)$ là điểm cực trị nên $y^{\prime }(1)=3-4+a=0\Rightarrow a=1$. Điểm $A(1;3)$ thuộc đồ thị nên $y(1)=1-2+a+b=3\Rightarrow a+b=4\Rightarrow b=3$. Vậy $4a-b=4-3=1$. Kết quả trùng với đáp án nguồn A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=0$, nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ với giá trị $f(0)=-1$. Giá trị cực tiểu là $y=-1$. (Tại $x=2$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên đó là cực đại với giá trị $y=3$.) Khớp với đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ $x=0$ và tung độ $y=-2$, tức điểm cực tiểu là $(0;-2)$. Lưu ý: điểm cực tiểu phải là một điểm $(x_0;y_0)$, không phải chỉ $x=0$ hay $y=-2$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Câu 3, Mã đề 132: D).

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }$ qua từng điểm: tại $x=-1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=-1$ là điểm cực đại. Tại $x=0$, $f^{\prime }$ không xác định (hàm liên tục trên $\mathbb{R}$) nhưng $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$, nên $x=0$ là điểm cực tiểu. Tại $x=2$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=2$ là điểm cực đại. Tại $x=4$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=4$ là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có 4 điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=2$, nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$ (tại $x=0$ hàm đạt cực đại). Vậy điểm cực tiểu là $x=2$, chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=(x^2-4)(1-x{)}^3(4-2x)$. Nghiệm của $f^{\prime }(x)$: $x=-2$, $x=2$ (từ $x^2-4$), $x=1$ (bậc 3, lẻ), và $x=2$ (từ $4-2x$). Vậy $x=2$ là nghiệm bội chẵn (của cả $x^2-4$ và $4-2x$), $f^{\prime }$ không đổi dấu qua $x=2$ nên không phải cực trị. Xét dấu: với $x<-2$: $(x^2-4)>0$, $(1-x{)}^3>0$, $(4-2x)>0$ nên $f^{\prime }>0$; với $-2<x<1$: $(x^2-4)<0$, còn lại dương nên $f^{\prime }<0$; với $1<x<2$: $(x^2-4)<0$, $(1-x{)}^3<0$, $(4-2x)>0$ nên $f^{\prime }>0$; với $x>2$: $f^{\prime }<0$. Vậy $f^{\prime }$ đổi dấu tại $x=-2$ (cực đại) và $x=1$ (cực tiểu): hàm số có 2 điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=3x^2-18x+15=3(x^2-6x+5)=3(x-1)(x-5)$. Cho $y^{\prime }=0$ được $x=1$ hoặc $x=5$. Xét dấu: $y^{\prime }>0$ khi $x<1$; $y^{\prime }<0$ khi $1<x<5$; $y^{\prime }>0$ khi $x>5$. Tại $x=5$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=5=\frac{15}{3}$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=-1$, nên hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ (giá trị cực đại $y=7$). Tại $x=0$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên đó là điểm cực tiểu. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: f'(x) tiếp xúc trục hoành tại x=-1 (nghiệm kép), cắt trục tại x=2, và đi qua điểm (-2;4) nên f'(x)=a(x+1)^2(x-2) với a(1)(-4)=4 => a=-1, tức f'(x)=(x+1)^2(2-x)≥0 với mọi x, chỉ bằng 0 tại x=-1.

a) f đồng biến trên ℝ nên f(sin²x)>f(3/2) ⟺ sin²x>3/2, vô lý vì sin²x≤1. Sai.

b) g'(x)=f'(x³+8x)(3x²+8), với 3x²+8>0. x³+8x đồng biến nên mỗi phương trình x³+8x=-1 và x³+8x=2 có đúng một nghiệm. Tại nghiệm của x³+8x=-1, f' có nghiệm kép nên không đổi dấu (không cực trị); tại nghiệm của x³+8x=2, f' đổi dấu từ + sang - (cực đại). Vậy g có đúng 1 điểm cực trị. Đúng.

c) h'(x)=2f'(2x-3)-2x/(1+x²)-2m>0 trên (1/2;2) ⟺ m<φ(x)=f'(2x-3)-x/(1+x²) với mọi x∈(1/2;2). Với f'(t)=(t+1)²(2-t), t=2x-3: φ(x)=4(x-1)²(5-2x)-x/(1+x²). Tính φ'(x)=24(x-1)(2-x)-(1-x²)/(1+x²)²; xét dấu cho thấy φ giảm trên (1/2;1) và tăng trên (1;2), min φ=φ(1)=-1/2. Vậy cần m<-1/2, tức m nguyên ≤ -1: có 99 giá trị m∈(-100;100) (từ -99 đến -1), không phải 100. Sai.

d) f'(x)≥0 trên ℝ và chỉ triệt tiêu tại x=-1 (nghiệm kép, không đổi dấu) nên f đồng biến trên ℝ, không có cực đại hay cực tiểu. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
f đồng biến trên ℝ nên cần sin²x>3/2, vô lý vì sin²x≤1.
b) (AI giải đề cho tôi)
g'(x)=f'(x³+8x)(3x²+8); chỉ nghiệm x³+8x=2 cho f' đổi dấu, nghiệm x³+8x=-1 là nghiệm kép của f' không đổi dấu, nên g có đúng 1 điểm cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cần m<min φ(x)=4(x-1)²(5-2x)-x/(1+x²) trên (1/2;2); min=φ(1)=-1/2 nên m nguyên ≤-1, cho 99 giá trị chứ không phải 100.
d) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=(x+1)²(2-x)≥0, chỉ bằng 0 tại x=-1 không đổi dấu, nên f đồng biến trên ℝ, không có cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3-3x$ có $y^{\prime }=3x^2-3$, cực đại tại $(-1;2)$, cực tiểu tại $(1;-2)$. Đường thẳng qua hai điểm cực trị: $y=-2x$ hay $2x+y=0$.

Để $MA+MB$ ngắn nhất, lấy $A^{\prime }$ đối xứng với $A(1;2)$ qua đường thẳng $2x+y=0$. Với $a=2,b=1,c=0$: $a{x}_0+b{y}_0+c=4$, nên $A^{\prime }=\left(1-\frac{2\cdot 2\cdot 4}{5};2-\frac{2\cdot 1\cdot 4}{5}\right)=\left(-\frac{11}{5};\frac{2}{5}\right)$.

Đường thẳng $A^{\prime }B$ với $B(2;1)$ có hệ số góc $\frac{1-2/5}{2+11/5}=\frac{3/5}{21/5}=\frac{1}{7}$, phương trình: $y=\frac{x}{7}+\frac{5}{7}$.

Giao với $y=-2x$: $-2x=\frac{x}{7}+\frac{5}{7}\Rightarrow -14x=x+5\Rightarrow x=-\frac{1}{3}$, $y=\frac{2}{3}$.

Vậy $M\left(-\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right)$, tức $a=-\frac{1}{3},b=\frac{2}{3}$, khi đó $b-4a=\frac{2}{3}+\frac{4}{3}=2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1702, Phần III Câu 2 = 2).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=(e^x-1)(x^2-x)$, với $f^{\prime }(x)=0$ khi $x=0$ hoặc $x=1$. Xét dấu: với $x<0$: $e^x-1<0$, $x^2-x>0$ nên $f^{\prime }(x)<0$; với $0<x<1$: $e^x-1>0$, $x^2-x<0$ nên $f^{\prime }(x)<0$; với $x>1$: cả hai nhân tử dương nên $f^{\prime }(x)>0$. Tại $x=0$, $f^{\prime }$ không đổi dấu (vẫn âm) nên không phải điểm cực trị. Tại $x=1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương nên $x=1$ là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có đúng $1$ điểm cực trị, đáp án A (khớp với đáp án nguồn).