Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ đi lên từ $-\infty$, có một điểm cực đại rồi đi xuống đến một điểm cực tiểu rồi đi lên khi $x\to +\infty$, nên $a>0$ và hàm số có hai điểm cực trị (nghiệm phân biệt của $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c$). Do đó khẳng định A đúng. Vì $a>0$ nên C sai; B sai vì $d<0$ không đúng (đồ thị cắt trục tung tại điểm có hoành độ dương theo hình vẽ); hàm số có cực trị nên không đồng biến trên $(-\infty ;+\infty )$, D sai. Khớp với đáp án nguồn: A.

Đáp án: 1. Tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=x^3-3x$ là $(-1;2);(1;-2)$. Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị $2x+y=0(d)$. Hai điểm A, B nằm cùng phía đối với d. Gọi $A^{\prime }$ là điểm đối xứng với A qua d. Khi đó $MA+MB=M{A}^{\prime }+MB\ge A^{\prime }B$. Do đó $MA+MB$ ngắn nhất thì $M,A^{\prime },B$ thẳng hàng hay $M=A^{\prime }B\cap d$. $\Delta$ là đường thẳng đi qua A và vuông góc d. PT $\Delta (x-1)-2(y-2)=0\iff x-2y+3=0$. Gọi I là giao điểm của d và $\Delta \Rightarrow I\left(-\frac{3}{5};\frac{6}{5}\right)\Rightarrow A^{\prime }\left(-\frac{11}{5};\frac{2}{5}\right)$. $\overrightarrow{A^{\prime }B}=\left(\frac{21}{5};\frac{3}{5}\right)\Rightarrow$ VTPT của $A^{\prime }B$ là $\vec{n}(3;-21)$. PT $A^{\prime }B:3(x-2)-21(y-1)=0\iff 3x-21y+15=0$. $M=A^{\prime }B\cap d\Rightarrow M\left(-\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right)$ nên $a=-\frac{1}{3};b=\frac{2}{3}$. Khi đó $b-a=\frac{2}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=(e^x-1)(x^2-x)$. Nghiệm của $f^{\prime }(x)=0$: $e^x-1=0\Rightarrow x=0$; $x^2-x=0\Rightarrow x=0$ hoặc $x=1$. Xét dấu $f^{\prime }$: với $x<0$: $e^x-1<0$ và $x^2-x>0$ nên $f^{\prime }(x)<0$; với $0<x<1$: $e^x-1>0$ và $x^2-x<0$ nên $f^{\prime }(x)<0$; với $x>1$: cả hai nhân tử dương nên $f^{\prime }(x)>0$. Tại $x=0$, $f^{\prime }$ không đổi dấu (âm trên cả hai bên) nên không phải điểm cực trị. Tại $x=1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương nên $x=1$ là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có đúng 1 điểm cực trị, đáp án B (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=(x-3)(x^2-5)(x^4-25)$. Phân tích $x^4-25=(x^2-5)(x^2+5)$, do đó $f^{\prime }(x)=(x-3)(x^2-5{)}^2(x^2+5)$. Nghiệm của $f^{\prime }(x)$: $x=3$ (nghiệm đơn), $x=\pm \sqrt{5}$ (nghiệm kép), còn $x^2+5>0$ với mọi $x$. Vì $x^2+5>0$ và $(x^2-5{)}^2\ge 0$ (chỉ triệt tiêu tại $\pm \sqrt{5}$ mà không đổi dấu), dấu của $f^{\prime }(x)$ chỉ thay đổi tại $x=3$: với $x<3$ (x≠−√5) thì $f^{\prime }(x)<0$, với $x>3$ thì $f^{\prime }(x)>0$. Tại $x=\pm \sqrt{5}$, $f^{\prime }$ không đổi dấu nên không phải cực trị. Vậy hàm số có đúng 1 điểm cực trị (tại $x=3$, cực tiểu). Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1114, câu 17 = 1).

(AI giải đề cho tôi)
$y=x^3-3x^2+2$, $y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)=0\Rightarrow x=0$ hoặc $x=2$.
Hai điểm cực trị: $A(0;2)$ (cực đại) và $B(2;-2)$ (cực tiểu).
Diện tích tam giác $OAB$: $S=\frac{1}{2}|x_A{y}_B-x_B{y}_A|=\frac{1}{2}|0\cdot (-2)-2\cdot 2|=\frac{1}{2}\cdot 4=2$.
Kết quả khớp với đáp án nguồn (2).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình là một đường cong dạng chữ W (hàm bậc bốn trùng phương): có hai đỉnh cực đại (hai ngọn cao) và một điểm cực tiểu ở giữa (đáy giữa). Vậy hàm số có 3 điểm cực trị. Điều này khớp với đáp án đã cho là D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số bậc ba có điểm cực đại tại $x=2$ với giá trị cực đại $f(2)=3$ (đường nét đứt chỉ điểm cao nhất của đồ thị tại $(2;3)$). Giá trị cực đại của hàm số là $y=3$, còn $x=2$ là tọa độ hoành độ điểm cực đại. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$: tại $x=-3$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=-3$ là điểm cực đại; tại $x=0$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=0$ là điểm cực tiểu; tại $x=2$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=2$ là điểm cực đại. Cả ba điểm đều là điểm cực trị vì $f^{\prime }$ đổi dấu qua mỗi điểm và $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Vậy hàm số có 3 điểm cực trị, khớp với đáp án nguồn (Câu 1 Phần 3: 3).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=x^2(x-3)$. Xét dấu: $x^2\ge 0$ với mọi $x$, nên dấu của $f^{\prime }(x)$ chỉ phụ thuộc $(x-3)$. Với $x<3$ (và $x\ne 0$): $f^{\prime }(x)<0$; với $x>3$: $f^{\prime }(x)>0$. Tại $x=0$, $f^{\prime }(0)=0$ nhưng $f^{\prime }$ không đổi dấu qua $x=0$ nên $x=0$ không phải điểm cực trị. Tại $x=3$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=3$ là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có đúng 1 điểm cực trị, khớp với đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $f(x)=\frac{2x(x+13)+18}{x+13}=2x+\frac{18}{x+13}$ với $x\ne -13$. Khi đó $f^{\prime }(x)=2-\frac{18}{(x+13{)}^2}$. Cho $f^{\prime }(x)=0\Rightarrow (x+13{)}^2=9\Rightarrow x=-10$ hoặc $x=-16$. Xét dấu $f^{\prime }$: trên $(-\infty ;-16)$ và $(-10;+\infty )$ thì $f^{\prime }>0$; trên $(-16;-10)$ thì $f^{\prime }<0$ (loại điểm $x=-13$ vì hàm không xác định). Vậy hàm đạt cực tiểu tại $x_1=-10$ và cực đại tại $x_2=-16$. Suy ra $P=-2x_1+x_2=-2(-10)+(-16)=20-16=4$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tính đạo hàm: $y^{\prime }=\frac{(-8x+8)(2x-1)-2(-4x^2+8x-7)}{(2x-1{)}^2}=\frac{-8x^2+8x+6}{(2x-1{)}^2}$. Cho $y^{\prime }=0\Rightarrow 4x^2-4x-3=0\Rightarrow x=\frac{3}{2}$ hoặc $x=-\frac{1}{2}$. Tại $x=\frac{3}{2}$: $y=\frac{-9+12-7}{2}=-2$; tại $x=-\frac{1}{2}$: $y=\frac{-1-4-7}{-2}=6$. Vậy $A\left(\frac{3}{2};-2\right)$, $B\left(-\frac{1}{2};6\right)$. Khoảng cách $AB=\sqrt{(2{)}^2+(-8{)}^2}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}$. Đáp án B, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=6x^2+2(m+1)x-12$, hai điểm cực trị có hoành độ $x_1,x_2$ với $x_1+x_2=-\frac{m+1}{3}$, $x_1{x}_2=-2$ (hàm có hai điểm cực trị vì $\Delta >0$ luôn với $a=6>0$, $c=-12<0$). Hệ số góc của đường thẳng qua hai điểm cực trị: $k=\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}=2(x_1^2+x_1{x}_2+x_2^2)+(m+1)(x_1+x_2)-12$. Với $x_1^2+x_1{x}_2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-x_1{x}_2=\frac{(m+1{)}^2}{9}+2$, ta được $k=\frac{2(m+1{)}^2}{9}+4-\frac{(m+1{)}^2}{3}-12=-\frac{(m+1{)}^2}{9}-8$. Đường thẳng $x-9y=0$ có hệ số góc $\frac{1}{9}$, nên cần $k=-9$: $-\frac{(m+1{)}^2}{9}-8=-9\iff (m+1{)}^2=9\iff m=2$ hoặc $m=-4$. Vậy tập hợp là $\{-4;2\}$, khớp đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $f(0)=\frac{k}{1+14}=1$ suy ra $k=15$ (không phải 2), nên ý a) sai. Vì $0<f(t)<15$ với mọi $t$ và ${\lim }_{t\to +\infty }f(t)=15$, diện tích không vượt quá 15 hecta, ý b) đúng. Khi $f(t)=5$: $5(1+14e^{-0.3t})=15\Rightarrow e^{-0.3t}=\frac{1}{7}$. Ta có $f^{\prime }(t)=\frac{15\cdot 14\cdot 0,3e^{-0.3t}}{(1+14e^{-0.3t}{)}^2}=\frac{63e^{-0.3t}}{(1+14e^{-0.3t}{)}^2}$. Thay $e^{-0.3t}=\frac{1}{7}$: $f^{\prime }=\frac{63/7}{25}=\frac{9}{25}=0,36\ne 1$, ý c) sai. $f^{\prime }(t)$ lớn nhất khi $1+14e^{-0.3t}=2$ (điểm uốn), tức $e^{-0.3t}=\frac{1}{14}\Rightarrow t=\frac{\ln 14}{0,3}\approx 8,77$ năm, tức khoảng năm 2032 (cuối 2032/đầu 2033), không phải năm 2035, ý d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=\frac{k}{15}=1\Rightarrow k=15\ne 2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $k=15$, $f(t)=\frac{15}{1+14e^{-0.3t}}<15$ với mọi $t$ và tiến tới 15 khi $t\to +\infty$, nên diện tích không vượt quá 15 hecta.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khi $f=5$ thì $e^{-0.3t}=1/7$; $f^{\prime }(t)=\frac{63e^{-0.3t}}{(1+14e^{-0.3t}{)}^2}=\frac{9}{25}=0,36$ hecta/năm $\ne 1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }$ lớn nhất tại điểm uốn $1+14e^{-0.3t}=2\Rightarrow t=\frac{\ln 14}{0,3}\approx 8,77$, tức khoảng năm 2032–2033, không phải 2035.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=6x^2-18x-24=6(x-4)(x+1)$. $f^{\prime }(x)=0\iff x=-1$ hoặc $x=4$. Vì hệ số $a=2>0$, hàm số đạt cực đại tại điểm mà đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm, tức $x=-1$. Giá trị cực đại: $f(-1)=2(-1{)}^3-9(-1{)}^2-24(-1)+1=-2-9+24+1=14$. Vậy chọn B, khớp với đáp án nguồn (MD0911, Câu 2: B).

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-6x=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Hai điểm cực trị: $(0;2)$ và $(2;-2)$. Đường thẳng qua hai điểm này có hệ số góc $a=\frac{-2-2}{2-0}=-2$, và $b=2$. Vậy $4a+5b=4(-2)+5(2)=2$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)$, $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Xét dấu: $y^{\prime }>0$ khi $x<0$, $y^{\prime }<0$ khi $0<x<2$, $y^{\prime }>0$ khi $x>2$. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$, $y(2)=8-12+2=-2$. Điểm cực tiểu là $(2;-2)$, trùng với đáp án B của đề.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)$, $y^{\prime }=0$ khi $x=0$ hoặc $x=2$. Xét dấu: $y^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;0)$, $y^{\prime }<0$ trên $(0;2)$, $y^{\prime }>0$ trên $(2;+\infty )$. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$, $y(2)=8-12+2=-2$. Điểm cực tiểu là $(2;-2)$, trùng đáp án B của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Viết $y=\frac{x^2-x-1}{x-2}=x+1+\frac{1}{x-2}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$. Có $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-2{)}^2}=0\iff (x-2{)}^2=1\iff x=1$ hoặc $x=3$. Tại $x=1$: $y(1)=\frac{1-1-1}{-1}=1$ (cực đại vì $y^{\prime }<0$ khi $x<1$, $y^{\prime }>0$ khi $1<x<2$). Tại $x=3$: $y(3)=\frac{9-3-1}{1}=5$ (cực tiểu). Tổng $y_{CĐ}+y_{CT}=1+5=6$, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-6x=0$ cho $x=0$ và $x=2$. Hai điểm cực trị: $(0;1)$ và $(2;-3)$. Đường thẳng qua hai điểm này có hệ số góc $a=\frac{-3-1}{2-0}=-2$, $b=1$, tức $y=-2x+1$. Vậy $2a+b=2(-2)+1=-3$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)$. $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Với $x=2$: $y=8-12+2=-2$. Hàm số nghịch biến trên $(0;2)$ nên $x=2$ là điểm cực tiểu. Vậy điểm cực tiểu là $(2;-2)$, khớp đáp án B.