Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+4x+7}{x+1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Chia đa thức: $y=x+3+\frac{4}{x+1}$. Khi đó $y^{\prime }=1-\frac{4}{(x+1{)}^2}=0\iff (x+1{)}^2=4\iff x=1$ hoặc $x=-3$. Tại $x=1$: $y=1+3+\frac{4}{2}=6$ (cực đại, vì $y^{\prime }>0$ khi $x<-3$, $y^{\prime }<0$ khi $-3<x<1$... kiểm tra: với $x<-3$, $(x+1{)}^2>4$ nên $y^{\prime }>0$; với $-3<x<-1$, $y^{\prime }<0$; với $-1<x<1$, $y^{\prime }<0$; với $x>1$, $y^{\prime }>0$). Vậy cực đại $y_{CĐ}=6$ tại $x=1$, cực tiểu $y_{CT}=-2$ tại $x=-3$ (nhánh trái). Tổng $=6+(-2)=4$, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)=0\Rightarrow x=0$ hoặc $x=2$. Xét dấu $y^{\prime }$: trên $(-\infty ;0)$ $y^{\prime }>0$, trên $(0;2)$ $y^{\prime }<0$, trên $(2;+\infty )$ $y^{\prime }>0$. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$, $y(2)=8-12+2=-2$. Điểm cực tiểu là $(2;-2)$, trùng đáp án B của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=x^3+3x^2-9x+2$. a) Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3+3x^2-9x+2=-9x+6\iff x^3+3x^2-4=0\iff (x-1)(x+2{)}^2=0$, chỉ có 2 nghiệm phân biệt $x=1,x=-2$ nên đường thẳng cắt đồ thị tại 2 điểm → Sai. b) $y^{\prime }=3x^2+6x-9\ne 3x^2+6x+9$ → Sai. c) $y^{\prime }=0\iff x=-3$ hoặc $x=1$; $y^{\prime \prime }=6x+6$, tại $x=-3$ có $y^{\prime \prime }=-12<0$ nên cực đại tại $x=-3$, $y(-3)=-27+27+27+2=29$, điểm cực đại là $(-3;29)$ chứ không phải $M(-3;0)$ → Sai. d) Tại $x=1$, $y^{\prime \prime }=12>0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$ → Đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (1a:S, 1b:S, 1c:S, 1d:D).
a) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3+3x^2-4=0\iff (x-1)(x+2{)}^2=0$ chỉ có 2 nghiệm phân biệt, nên đường thẳng cắt đồ thị tại 2 điểm, không phải 3 điểm.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm đúng là $y^{\prime }=3x^2+6x-9$, không phải $3x^2+6x+9$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đạt cực đại tại $x=-3$ với $y(-3)=29$, nên điểm cực đại là $(-3;29)$, không phải $M(-3;0)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2+6x-9=0\iff x=-3$ hoặc $x=1$; $y^{\prime \prime }=6x+6$, tại $x=1$ có $y^{\prime \prime }=12>0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$.

(AI giải đề cho tôi)
**Câu 2.1.** Cho $y=x^4-8m{x}^2+16m^2+m-1$, có $y^{\prime }=4x^3-16mx=4x(x^2-4m)$.

Hàm số có ba điểm cực trị $\iff m>0$. Khi đó:
- Điểm cực đại $T(0;16m^2+m-1)$ (vì $y^{\prime \prime }(0)=-16m<0$).
- Hai điểm cực tiểu $A(2\sqrt{m};m-1)$, $B(-2\sqrt{m};m-1)$ (tại $x=\pm 2\sqrt{m}$: $y=16m^2-32m^2+16m^2+m-1=m-1$).

Tam giác $TAB$ cân qua trục $Oy$ nên trực tâm nằm trên trục $Oy$; để $O(0;0)$ là trực tâm thì $OA\perp TB$.

$k_{TB}=\frac{16m^2+m-1-(m-1)}{0-(-2\sqrt{m})}=\frac{16m^2}{2\sqrt{m}}=\frac{8m^2}{\sqrt{m}}$; $k_{OA}=\frac{m-1}{2\sqrt{m}}$.

Điều kiện $k_{OA}\cdot k_{TB}=-1$: $\frac{m-1}{2\sqrt{m}}\cdot \frac{8m^2}{\sqrt{m}}=-1\iff 4m(m-1)=-1\iff 4m^2-4m+1=0\iff (2m-1{)}^2=0\iff m=\frac{1}{2}$.

Thử lại với $m=\frac{1}{2}$: $T(0;3,5)$, $A(\sqrt{2};-0,5)$, $B(-\sqrt{2};-0,5)$; tam giác có các góc đều nhọn ($\overrightarrow{TA}\cdot \overrightarrow{TB}=-2+16=14>0$) nên $O$ nằm trong tam giác và là trực tâm. Vậy $m=\frac{1}{2}$.

**Câu 2.2.** Bể rộng $8$ m; khu vực I dài $10$ m, sâu $2$ m; khu vực trung gian dài $26-10-8=8$ m, đáy nghiêng đều từ sâu $2$ m lên cao $0,8$ m so với đáy khu vực I (tức độ sâu giảm từ $2$ m xuống $1,2$ m); khu vực II dài $8$ m, đáy cao $0,8$ m so với đáy khu vực I.

Gọi $h$ là chiều cao cột nước tại khu vực I. Khi $h=0,3$ m: tại vị trí cách khu vực I một đoạn $x$ ($0\le x\le 8$) trong khu vực trung gian, đáy cao $0,1x$ so với đáy khu vực I, chiều cao cột nước là $0,3-0,1x$, chỉ dương khi $x<3$. Vùng II chưa có nước vì $0,3<0,8$.

Thể tích nước:
$$V=8\cdot 10\cdot 0,3+8{\int }_0^3(0,3-0,1x)dx=24+8(0,9-0,45)=24+3,6=27,6{\text{m}}^3.$$

Diện tích bề mặt nước: $S=8\times (10+3)=104{\text{m}}^2$.

Vì $\frac{dV}{dt}=S\cdot \frac{dh}{dt}$ với $\frac{dV}{dt}=2{\text{m}}^3/\text{phuˊt}$:
$$\frac{dh}{dt}=\frac{2}{104}=\frac{1}{52}\approx 0,0192\text{m/phuˊt}.$$

Vậy tốc độ dâng của mực nước tại thời điểm đó là $\frac{1}{52}$ m/phút $\approx 1,92$ cm/phút.

Đáp án: 6076. Ta có $y^{\prime }=3x^2-12x+9=0\iff \left[\begin{array}{c}x=1\\ x=3\end{array}\right]$

Bảng biến thiên



Vậy $S=2a+b=6076$

Từ hình vẽ, ta thấy hàm số đạt cực đại tại $x=1$

Đáp án theo bảng đáp án mã đề 1925: 4.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=x^3-3x+1$, có $y^{\prime }=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$.
a) Trên $[0;2]$: $y(0)=1$, $y(1)=-1$, $y(2)=8-6+1=3$. Vậy GTLN trên $[0;2]$ là $3$ → Đúng.
b) Điểm cực đại $A(1;-1)$, điểm cực tiểu $B(-1;3)$. Với $C(-1;2)$: $\overrightarrow{AB}=(-2;4)$, $\overrightarrow{AC}=(-2;3)$, diện tích $=\frac{1}{2}|(-2)(3)-(4)(-2)|=\frac{1}{2}|-6+8|=1\ne 12$ → Sai.
c) Trên $(-1;1)$ ta có $y^{\prime }<0$ nên hàm số nghịch biến, không đồng biến → Sai.
d) Hai điểm cực trị $x_1,x_2$ là nghiệm của $3x^2-3=0$, theo Viète $x_1{x}_2=\frac{-3}{3}=-1$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
So sánh $y(0)=1$, $y(1)=-1$, $y(2)=3$ nên GTLN trên $[0;2]$ bằng 3.
b) (AI giải đề cho tôi)
$A(1;-1)$, $B(-1;3)$, $C(-1;2)$: diện tích tam giác $ABC=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|=\frac{1}{2}|(-2)(3)-(4)(-2)|=1\ne 12$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-3<0$ với mọi $x\in (-1;1)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.
d) (AI giải đề cho tôi)
$x_1,x_2$ là nghiệm của $3x^2-3=0$, theo Viète $x_1{x}_2=\frac{-3}{3}=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ $x=1$ và giá trị cực đại $f(1)=3$ (đỉnh cao nhất của đồ thị có tung độ 3). Vậy giá trị cực đại của hàm số bằng 3.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)=(x+1)(2x-5{)}^2(x-1)$. Nghiệm: $x=-1$, $x=1$, $x=\frac{5}{2}$ (nghiệm kép do $(2x-5{)}^2\ge 0$). Với $x<-1$: $(x+1)<0$, $(x-1)<0$ nên $f^{\prime }(x)>0$. Với $-1<x<1$: $(x+1)>0$, $(x-1)<0$ nên $f^{\prime }(x)<0$. Với $1<x<\frac{5}{2}$: $(x+1)>0$, $(x-1)>0$ nên $f^{\prime }(x)>0$. Với $x>\frac{5}{2}$: $f^{\prime }(x)>0$. Vậy $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=-1$ (cực đại) và từ $-$ sang $+$ tại $x=1$ (cực tiểu); tại $x=\frac{5}{2}$, $f^{\prime }$ không đổi dấu nên không phải cực trị. Hàm số có đúng $2$ điểm cực trị. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=f(x)=x^3-3x+1$, $f^{\prime }(x)=3x^2-3$.
a) $f(0)=1$ nên đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;1)$, không phải $M(1;0)$ → Sai.
b) Trên $(-1;1)$ có $f^{\prime }(x)=3x^2-3<0$ nên hàm số nghịch biến → Đúng.
c) $f^{\prime }(x)=0\iff x=\pm 1$; tại $x=-1$ hàm đạt cực đại với giá trị $f(-1)=-1+3+1=3\ne -1$ → Sai.
d) Phương trình $x^3-3x+2=3m-2\iff x^3-3x+4=3m$. Đặt $g(x)=x^3-3x+4$, có $g(-1)=6$ (cực đại), $g(1)=2$ (cực tiểu). Phương trình có hai nghiệm phân biệt (khi có nghiệm kép tại cực trị hoặc ba nghiệm phân biệt) khi $2\le 3m\le 6$, tức $\frac{2}{3}\le m\le 2$. Các giá trị nguyên $m\in \{1;2\}$: có 2 giá trị → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=1$ nên đồ thị cắt trục tung tại $(0;1)$, không phải $M(1;0)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x^2-3<0$ với mọi $x\in (-1;1)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cực đại tại $x=-1$ có giá trị $f(-1)=3$, không bằng $-1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$x^3-3x+4=3m$ có hai nghiệm phân biệt khi $2\le 3m\le 6\iff \frac{2}{3}\le m\le 2$, nên $m\in \{1;2\}$: có 2 giá trị nguyên.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị của $y=f^{\prime }(x)$ (hàm bậc ba): đồ thị chạm trục hoành tại $x=-2$ (điểm cực đại của $f^{\prime }$ có giá trị $0$, nghiệm kép) và cắt trục hoành tại $x=1$ (đi từ âm lên dương). Tại $x=-2$, $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu (luôn $\le 0$ quanh $x=-2$) nên không tạo cực trị cho $f$. Tại $x=1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương nên $f$ có một điểm cực tiểu tại $x=1$. Vậy $y=f(x)$ có đúng 1 điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=x^3-8x^2+13x+5$ là đa thức nên tập xác định là $\mathbb{R}$, không phải $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ → a sai. $f^{\prime }(x)=3x^2-16x+13$ → b đúng. $f^{\prime }(x)=0\iff x=1$ hoặc $x=\frac{13}{3}$; vì hệ số $a=3>0$ nên $f^{\prime }(x)<0$ trên $(1;\frac{13}{3})$, hàm số nghịch biến trên khoảng này → c sai. Trên $(-\infty ;1)$: $f^{\prime }>0$ (đồng biến), trên $(1;\frac{13}{3})$: $f^{\prime }<0$ (nghịch biến), trên $(\frac{13}{3};+\infty )$: $f^{\prime }>0$ (đồng biến). Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=1$ và cực tiểu tại $x=\frac{13}{3}$ → d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đa thức nên tập xác định là $\mathbb{R}$, không phải $\mathbb{R}\setminus \{0\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x^2-16x+13$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)<0$ trên $(1;\frac{13}{3})$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số đạt cực đại tại $x=1$ và cực tiểu tại $x=\frac{13}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $h(t)=t^3-3t^2+2$, khi đó $g(x)=h(f(x))$ và $g^{\prime }(x)=h^{\prime }(f(x))\cdot f^{\prime }(x)$ với $h^{\prime }(t)=3t(t-2)$. Hàm $h$ tăng trên $(-\infty ,0)$, giảm trên $(0,2)$, tăng trên $(2,+\infty )$.

Xét các điểm ứng viên:
- $x=1$ ($f=3$): $h^{\prime }(3)>0$, $f^{\prime }$ đổi dấu $+\to -$ nên $g^{\prime }$ đổi dấu $+\to -$: cực đại.
- $x=2$ ($f=1$): $h^{\prime }(1)<0$, $f^{\prime }$ đổi dấu $-\to +$ nên $g^{\prime }$ đổi dấu $+\to -$: cực đại.
- $x=3$ ($f=2$): $h^{\prime }(2)=0$; trước $x=3$ có $f<2,f^{\prime }>0$ nên $g^{\prime }<0$; sau $x=3$ có $f>2,f^{\prime }<0$ nên $g^{\prime }<0$: không đổi dấu, không phải cực trị.
- $x=4$ ($f=0$): trước $x=4$: $f\in (0,2),f^{\prime }<0,h^{\prime }<0$ nên $g^{\prime }>0$; sau $x=4$: $f^{\prime }>0,h^{\prime }<0$ nên $g^{\prime }<0$: đổi dấu, cực đại.

Ngoài ra, do $f$ liên tục và đơn điệu trên từng khoảng, phương trình $f(x)=0$ có thêm nghiệm trong $(-\infty ,1)$ (f tăng qua 0, $g^{\prime }$ đổi dấu $+\to -$: cực trị); phương trình $f(x)=2$ có thêm một nghiệm trong $(-\infty ,1)$ (f tăng qua 2, $g^{\prime }$ đổi dấu $-\to +$: cực trị) và một nghiệm trong $(1,2)$ (f giảm qua 2, $g^{\prime }$ đổi dấu $+\to -$: cực trị).

Vậy tổng số điểm cực trị của $g(x)$ là $4+3=6$.

(AI giải đề cho tôi)
f'(x)=3x^2-6x-9=0 cho x=-1 và x=3. f(-1)=-1-3+9+1=6, f(3)=27-27-27+1=-26. Vậy A(-1;6), B(3;-26). AB=√((3+1)^2+(-26-6)^2)=√(16+1024)=√1040=4√65≈32,249...≈32,2.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-6x^2+24x-18=-6(x-1)(x-3)$, nên hàm số có hai điểm cực trị $x=1$ và $x=3$. Tại $x=1$: $y(1)=-2+12-18+4=-4$; tại $x=3$: $y(3)=-54+108-54+4=4$. Tổng các giá trị cực trị: $-4+4=0$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $L(x)=\frac{1}{10}{x}^3+6x^2+500$ với $x\ge 0$. Ta có $L^{\prime }(x)=\frac{3}{10}{x}^2+12x=x\left(\frac{3}{10}x+12\right)$. Trên miền $x\ge 0$ thì $L^{\prime }(x)\ge 0$ (đẳng thức chỉ tại $x=0$), nên hàm số đồng biến trên $[0;+\infty )$.
a) Sai: $L^{\prime }(x)=0$ có nghiệm $x=0$ và $x=-40$, nhưng $x=-40$ không thuộc tập xác định; $x=0$ là điểm biên nên không phải điểm cực trị. Hàm số không có điểm cực trị nào (nói riêng không có hai điểm cực trị).
b) Đúng: vì $L^{\prime }(x)>0$ với mọi $x>0$, hàm số đồng biến, tức lợi nhuận tăng khi số tiền chi cho quảng cáo tăng.
c) Sai: hàm số đồng biến và $L(x)\to +\infty$ khi $x\to +\infty$, nên lợi nhuận không có giá trị lớn nhất (không thể kết luận tối đa là 3,7 tỷ đồng).
d) Sai: giải $L(x)=800\iff \frac{1}{10}{x}^3+6x^2=300\iff x^3+60x^2=3000$. Với $x\ge 0$, hàm $g(x)=x^3+60x^2$ đồng biến từ 0 đến $+\infty$ nên phương trình có đúng một nghiệm dương (khoảng $x\approx 6,5$). Vậy chỉ có một phương án, không phải hai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$L^{\prime }(x)=x(0,3x+12)$; trên $x\ge 0$ chỉ có nghiệm $x=0$ là điểm biên, không phải cực trị. Hàm không có hai điểm cực trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
$L^{\prime }(x)>0$ với mọi $x>0$ nên $L$ đồng biến trên $[0;+\infty )$: lợi nhuận tăng khi chi phí quảng cáo tăng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$L$ đồng biến và $L(x)\to +\infty$ khi $x\to +\infty$ nên không có giá trị lớn nhất; không thể là 3,7 tỷ đồng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình $x^3+60x^2=3000$ có đúng một nghiệm dương (vì $x^3+60x^2$ đồng biến với $x\ge 0$), nên chỉ có một phương án đạt lợi nhuận 800 triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3a{x}^2+2bx$. Vì $A(2;-2)$ là điểm cực trị nên $y^{\prime }(2)=0\Rightarrow 12a+4b=0\Rightarrow b=-3a$. Điểm $A$ thuộc đồ thị: $8a+4b+2=-2\Rightarrow 8a-12a=-4\Rightarrow a=1$, suy ra $b=-3$. Vậy $y=x^3-3x^2+2$. Tâm đối xứng của đồ thị hàm bậc ba là điểm uốn, với $y^{\prime \prime }=6x-6=0\Rightarrow x_0=1$, $y_0=1-3+2=0$. Do đó $2x_0-y_0=2\cdot 1-0=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$: hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ $x=1$ với tung độ $y=3$, và đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ $x=-1$ với tung độ $y=-1$. Câu hỏi yêu cầu 'điểm cực tiểu của đồ thị hàm số', tức là điểm $M(-1;-1)$ chứ không phải hoành độ điểm cực tiểu. Do đó đáp án là C. (Nếu hỏi hoành độ điểm cực tiểu thì đáp án là B.)