Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
a) $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$: đúng. b) $f^{\prime }(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$; xét dấu $f^{\prime }$: $f^{\prime }$ dương trên $(-\infty ;0)$, âm trên $(0;2)$, dương trên $(2;+\infty )$ nên hàm đạt cực đại tại $x=0$, cực tiểu tại $x=2$. Do đó khẳng định đạt cực tiểu tại $x=0$ là sai. c) Trên $[0;4]$: $f(0)=0$, $f(2)=-4$, $f(4)=64-48=16$ nên GTLN bằng 16: đúng. d) $y=\frac{x^2(x-3)}{(x-1)(x-3{)}^2}=\frac{x^2}{(x-1)(x-3)}$ với $x\ne 3$. Tại $x=1$: tử khác 0 nên $x=1$ là tiệm cận đứng; tại $x=3$: sau khi rút gọn mẫu vẫn triệt tiêu tại $x=3$ và tử $9\ne 0$ nên $x=3$ cũng là tiệm cận đứng. Vậy có 2 tiệm cận đứng, khẳng định 'là 1' sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: a Đúng, b Sai, c Đúng, d Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x^2-6x$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$; $f^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm qua $x=0$ nên $x=0$ là điểm cực đại (cực tiểu tại $x=2$).
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=0,f(2)=-4,f(4)=16$ nên GTLN trên $[0;4]$ bằng 16.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y=\frac{x^2}{(x-1)(x-3)}$ ($x\ne 3$) có 2 tiệm cận đứng $x=1$ và $x=3$, không phải 1.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2+48}{x-1}$, $y^{\prime }=\frac{(2x)(x-1)-(x^2+48)}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x-48}{(x-1{)}^2}$. Cho $y^{\prime }=0$: $x^2-2x-48=0\Rightarrow x=-6$ hoặc $x=8$. Tọa độ cực trị: $A(8;y(8))$ với $y(8)=\frac{64+48}{7}=16$; $B(-6;y(-6))$ với $y(-6)=\frac{36+48}{-7}=-12$. Hình chữ nhật tô đậm có các cạnh theo phương ngang bằng $|8-(-6)|=14$ và theo phương dọc bằng $|16-(-12)|=28$. Diện tích $=14\times 28=392$, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm có hoành độ $x=1$ và tung độ $y=-4$ (điểm thấp nhất của đồ thị, được đánh dấu bằng đường gián đoạn tại $x=1$ và $y=-4$). Vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $(1;-4)$. Điều này khớp với đáp án nguồn C.

a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=\frac{2x(x-1)-(x^2+48)}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x-48}{(x-1{)}^2}$. Hai điểm cực trị có hoành độ $x^2-2x-48=0\iff x=-6$ hoặc $x=8$. Tại $x=8$: $y=\frac{64+48}{7}=16$ (điểm $A$). Tại $x=-6$: $y=\frac{36+48}{-7}=-12$ (điểm $B$). Hình chữ nhật tô đậm có chiều ngang $8-(-6)=14$ và chiều cao $16-(-12)=28$, nên diện tích $=14\times 28=392$. Kết quả trùng với đáp án nguồn 392.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm có hoành độ $x=1$ và tung độ $y=-4$ (điểm thấp nhất của đồ thị, được đánh dấu bằng đường gián đoạn tại $y=-4$). Vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $(1;-4)$. Khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm số, hàm nghịch biến trên khoảng chứa $x=1$ và đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=1$ với $f(1)=-4$ (đường cong đi xuống rồi đi lên, đáy tại điểm có tung độ $-4$). Vậy điểm cực tiểu của đồ thị là $(1;-4)$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
a) $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$: đúng. b) $f^{\prime }(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$; $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương tại $x=2$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$, không phải $x=0$ (tại $x=0$ là cực đại) → sai. c) Trên $[0;4]$: $f(0)=0,f(2)=-4,f(4)=16$ nên GTLN bằng 16 → đúng. d) $y=\frac{x^2(x-3)}{(x-1)(x-3{)}^2}=\frac{x^2}{(x-1)(x-3)}$ (với $x\ne 3$), mẫu triệt tiêu tại $x=1$ và $x=3$ nên có 2 tiệm cận đứng $x=1,x=3$, không phải 1 → sai. Khớp đáp án nguồn: a Đ, b S, c Đ, d S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$; $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=2$ nên cực tiểu tại $x=2$ (còn $x=0$ là cực đại).
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=0,f(2)=-4,f(4)=16$ nên GTLN trên $[0;4]$ là 16.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y=\frac{x^2(x-3)}{(x-1)(x-3{)}^2}=\frac{x^2}{(x-1)(x-3)}$ có 2 tiệm cận đứng $x=1$ và $x=3$.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{x^2-2x-48}{(x-1{)}^2}=0\iff x=-6$ hoặc $x=8$. Tại $x=8$: $y=\frac{64+48}{7}=16$ (điểm cực tiểu $A(8;16)$); tại $x=-6$: $y=\frac{36+48}{-7}=-12$ (điểm cực đại $B(-6;-12)$). Hình chữ nhật tô đậm có các cạnh song song trục, đỉnh đối diện là $A$ và $B$: chiều rộng $8-(-6)=14$, chiều cao $16-(-12)=28$. Diện tích $=14\times 28=392$, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=x^3-3x^2$.
a) $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$ — Đúng.
b) $f^{\prime }(x)=3x(x-2)$; $f^{\prime }(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Bảng biến thiên: $f$ tăng trên $(-\infty ;0)$, giảm trên $(0;2)$, tăng trên $(2;+\infty )$ nên cực tiểu tại $x=2$, không phải $x=0$ (tại $x=0$ là cực đại) — Sai.
c) Trên $[0;4]$: $f(0)=0$, $f(2)=-4$, $f(4)=64-48=16$. Giá trị lớn nhất bằng 16 — Đúng.
d) $y=\frac{x^2(x-3)}{(x-1)(x-3{)}^2}=\frac{x^2}{(x-1)(x-3)}$ với $x\ne 3$. Tại $x=1$ và $x=3$ mẫu số về 0 trong khi tử số khác 0 (tại $x=3$, tỉ số ~ $\frac{9}{2(x-3)}\to \infty$), nên đồ thị có 2 tiệm cận đứng $x=1$ và $x=3$, không phải 1 — Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x(x-2)=0\iff x=0,x=2$; hàm đạt cực tiểu tại $x=2$ (cực đại tại $x=0$).
c) (AI giải đề cho tôi)
So sánh $f(0)=0,f(2)=-4,f(4)=16$ nên max trên $[0;4]$ bằng 16.
d) (AI giải đề cho tôi)
Rút gọn $y=\frac{x^2}{(x-1)(x-3)}$ ($x\ne 3$); tiệm cận đứng là $x=1$ và $x=3$, tức có 2 đường.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2+48}{x-1}$, $y^{\prime }=\frac{(2x)(x-1)-(x^2+48)}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x-48}{(x-1{)}^2}$. Cho $y^{\prime }=0\Rightarrow x^2-2x-48=0\Rightarrow x=8$ hoặc $x=-6$. Vậy $A(8;y(8))$ với $y(8)=\frac{64+48}{7}=16$ và $B(-6;y(-6))$ với $y(-6)=\frac{36+48}{-7}=-12$. Hình chữ nhật tô đậm có các cạnh song song trục tọa độ đi qua $A$ và $B$: chiều rộng $=8-(-6)=14$, chiều cao $=16-(-12)=28$. Diện tích $=14\times 28=392$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 4, Phần III: 392).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm có hoành độ $x=1$ và tung độ $y=-4$ (đáy của đường cong, được đánh dấu bằng đường gián đoạn tại $x=1$, $y=-4$). Vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $(1;-4)$. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (Câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3-3x+2$, $y^{\prime }=3x^2-3$. a) Tại $x=0$ thì $y=2$, đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ 2 → đúng. b) $y^{\prime }=0\iff x=\pm 1$; cực đại $(-1;4)$, cực tiểu $(1;0)$. Đường thẳng qua hai điểm này có hệ số góc $\frac{4-0}{-1-1}=-2$, phương trình $y=-2x+2$ → đúng. c) $y^{\prime }>0\iff |x|>1$, nên trên $(0;1)$ hàm nghịch biến, do đó không đồng biến trên toàn khoảng $(0;+\infty )$ → sai. d) Trên $[-3;0]$: $f(-3)=-16$, $f(-1)=4$ (cực đại), $f(0)=2$, nên GTLN bằng 4 chứ không phải 5 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=0$, $y=0^3-3\cdot 0+2=2$, nên đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ 2.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$. Hai điểm cực trị là $(-1;4)$ và $(1;0)$; đường thẳng qua chúng: $y=-2x+2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }>0\iff |x|>1$; trên $(0;1)$ hàm số nghịch biến nên không đồng biến trên toàn khoảng $(0;+\infty )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-3;0]$: $f(-3)=-16$, $f(-1)=4$, $f(0)=2$. GTLN bằng 4, không phải 5.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^3-3x^2-9x-1$. Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x-3)(x+1)$. Cho $y^{\prime }=0$ được $x=-1$ hoặc $x=3$. Vì hệ số $a=3>0$, hàm số đạt cực tiểu tại $x=3$. Giá trị cực tiểu: $y(3)=27-27-27-1=-28$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số có điểm cực đại tại $x=1$ với giá trị $y=3$ (điểm cực tiểu tại $x=-1$, $y=-1$). Vậy giá trị cực đại của hàm số bằng $3$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=-1$ và $x=1$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$ và $x=1$; $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=0$ nên hàm số đạt cực đại tại $x=0$ (giá trị cực đại $f(0)=-3$). Các phương án A, C, D sai vì $-3$ và $-4$ là giá trị của $f(x)$ chứ không phải điểm cực trị. Vậy khẳng định đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ $x=0$ với giá trị $f(0)=-1$. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là điểm $(0;-1)$, tương ứng với đáp án D. Lưu ý: $x=0$ là hoành độ điểm cực tiểu nhưng 'điểm cực tiểu' là cặp tọa độ $(0;-1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=0$ nên hàm số đạt cực đại tại $x=0$ (giá trị cực đại $f(0)=3$); $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=2$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$ (giá trị $f(2)=1$). Do đó A sai (cực đại tại $x=3$ là nhầm giá trị với hoành độ), B sai (cực tiểu tại $x=2$ chứ không phải $x=1$), C sai. Mệnh đề đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3-12x^2+45x-2$. a) Đạo hàm $y^{\prime }=3x^2-24x+45$ (không phải $+50$) → sai. b) $y^{\prime }=0\iff x=3$ hoặc $x=5$. Trên $(3;+\infty )$, hàm nghịch biến trên $(3;5)$ và đồng biến trên $(5;+\infty )$ nên GTNN tại $x=5$: $y(5)=125-300+225-2=48$ → đúng. c) Cực đại tại $x=3$: $y(3)=27-108+135-2=52\ne 48$ → sai. d) Hàm nghịch biến trên $(3;5)$, còn trên $(-\infty ;3)$ hàm đồng biến vì $y^{\prime }>0$ khi $x<3$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-24x+45$, không phải $3x^2-24x+50$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(3;+\infty )$ hàm đạt GTNN tại $x=5$ với $y(5)=48$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị cực đại là $y(3)=52$, không phải 48.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đồng biến trên $(-\infty ;3)$ vì $y^{\prime }>0$ khi $x<3$; hàm nghịch biến trên $(3;5)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3+9x^2-12$ có $y^{\prime }=3x^2+18x=3x(x+6)$. Cho $y^{\prime }=0$ ta được $x=0$ hoặc $x=-6$. Xét dấu $y^{\prime }$: trên $(-\infty ;-6)$, $y^{\prime }>0$; trên $(-6;0)$, $y^{\prime }<0$; trên $(0;+\infty )$, $y^{\prime }>0$. Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=-6$ (đạt cực tiểu tại $x=0$), tức $a=-6$, và $b=(-6{)}^3+9\cdot (-6{)}^2-12=-216+324-12=96$. Do đó $a-b=-6-96=-102$.