Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)$. $y^{\prime }=0$ tại $x=-1$ và $x=3$. Vì hệ số $a=3>0$, hàm số đạt cực đại tại $x_1=-1$ và cực tiểu tại $x_2=3$. Do đó $2024x_1+2025x_2=2024(-1)+2025(3)=-2024+6075=4051$.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-6x=0\Rightarrow x=0$ hoặc $x=2$. Hai điểm cực trị: $(0;5)$ và $(2;1)$. Độ dài đoạn nối: $\sqrt{(2-0{)}^2+(1-5{)}^2}=\sqrt{20}\approx 4,47$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=-x^4+2x^2+3$, có $y^{\prime }=-4x^3+4x=-4x(x-1)(x+1)$. $y^{\prime }=0$ tại $x=0,x=\pm 1$. Xét dấu: $y^{\prime }>0$ khi $x\in (-\infty ;-1)\cup (0;1)$, $y^{\prime }<0$ khi $x\in (-1;0)\cup (1;+\infty )$. Vậy hàm đạt cực đại tại $x=\pm 1$ với $y_{CD}=y(\pm 1)=-1+2+3=4$, và cực tiểu tại $x=0$ với $y_{CT}=y(0)=3$. Do đó $2y_{CD}-y_{CT}=2\cdot 4-3=5$.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-3x^2+6x+9=-3(x-3)(x+1)=0\Rightarrow x=-1$ hoặc $x=3$. Tại $x=-1$: $y=1+3-9+1=-4$; tại $x=3$: $y=-27+27+27+1=28$. Đường thẳng qua $(-1;-4)$ và $(3;28)$ có hệ số góc $\frac{28+4}{3+1}=8$, phương trình $y=8x+4\iff 8x-y+4=0$. Vậy $a=8,b=-1$, do đó $a+2b=8+2(-1)=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Tốc độ bán hàng là $R^{\prime }(x)$. Ta có $R^{\prime }(x)=\frac{25000e^{-x}}{(1+5e^{-x}{)}^2}$. Xét $R^{\prime \prime }(x)$, tốc độ bán đạt cực đại khi $5e^{-x}=1$, tức $x=\ln 5\approx 1,61$ năm. Vậy tốc độ bán hàng đạt tối đa vào thời điểm năm thứ $2$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;-2)$, $y^{\prime }<0$ trên $(-2;2)$, $y^{\prime }>0$ trên $(2;+\infty )$; hàm số đạt cực đại tại $x=-2$ với $y=3$ và cực tiểu tại $x=2$ với $y=0$. a) Sai: trên $(0;2)$ hàm số nghịch biến nên không đồng biến trên toàn khoảng $(0;+\infty )$. b) Sai: hàm số chỉ có hai điểm cực trị (một cực đại, một cực tiểu). c) Đúng: $y_{CD}=3$, $y_{CT}=0$. d) Đúng: điểm cực tiểu là $(2;0)$ và $2\cdot 2+2\cdot 0-4=0$ nên thuộc đường thẳng $2x+2y-4=0$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;2)$ hàm số nghịch biến ($y^{\prime }<0$), nên hàm số không đồng biến trên toàn khoảng $(0;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số chỉ có hai điểm cực trị: cực đại tại $x=-2$ và cực tiểu tại $x=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Theo bảng biến thiên, giá trị cực đại $y_{CD}=3$ tại $x=-2$ và giá trị cực tiểu $y_{CT}=0$ tại $x=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Điểm cực tiểu là $(2;0)$; thay vào $2x+2y-4=0$: $2\cdot 2+2\cdot 0-4=0$, nên điểm này thuộc đường thẳng.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số đồng biến khi $x<-2$, nghịch biến trên $(-2;0)$ và đồng biến khi $x>0$. Điểm $x=-2$ là điểm đổi chiều từ đồng biến sang nghịch biến, tức là điểm cực đại (đỉnh đồ thị gần $(-2;0)$). Điểm $x=0$ (với $y=-4$) là điểm cực tiểu. Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=-2$.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)$, $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Trên $(-\infty ;0)$: $y^{\prime }>0$; trên $(0;2)$: $y^{\prime }<0$; trên $(2;+\infty )$: $y^{\prime }>0$. Hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$ (điểm cực tiểu $(2;-3)$). Đáp số: $x=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=3$, nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=3$ với $f(3)=-4$. Điểm cực tiểu của đồ thị là điểm $(3;-4)$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: điểm cực đại $(-1;3)$, điểm cực tiểu $(1;-1)$. a) Sai: hàm số nghịch biến trên $(-1;1)$ nên không đồng biến trên $(-\infty ;3)$. b) Đúng: $3+(-1)=2$. c) Đúng: hai điểm cực trị có tung độ $3$ và $-1$ trái dấu. d) Sai: đường thẳng qua $(-1;3)$ và $(1;-1)$ có hệ số góc $\frac{-1-3}{1-(-1)}=-2$, phương trình $y=-2x+1$, không phải $y=-3x$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị cho thấy hàm nghịch biến trên khoảng $(-1;1)$ (từ điểm cực đại $x=-1$ đến điểm cực tiểu $x=1$), nên hàm không đồng biến trên $(-\infty ;3)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị cực đại $y=3$ tại $x=-1$, giá trị cực tiểu $y=-1$ tại $x=1$; tổng $3+(-1)=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai điểm cực trị là $(-1;3)$ và $(1;-1)$ có tung độ trái dấu ($3$ và $-1$).
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $(-1;3)$ và $(1;-1)$: hệ số góc $k=\frac{-1-3}{1+1}=-2$, phương trình $y=-2x+1\ne -3x$.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-3x^2+6x+9=0\iff x=-1$ hoặc $x=3$. Tại $x=-1$: $y=-(-1{)}^3+3(-1{)}^2+9(-1)+1=1+3-9+1=-4$, điểm cực trị $(-1;-4)$. Tại $x=3$: $y=-27+27+27+1=28$, điểm cực trị $(3;28)$. Đường thẳng qua hai điểm này có hệ số góc $k=\frac{28-(-4)}{3-(-1)}=\frac{32}{4}=8$, phương trình $y=8x+4\iff 8x-y+4=0$. Vậy $a=8,b=-1$, do đó $a+2b=8+2(-1)=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=x^3-3x^2+2$. Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)$, nên $y^{\prime }=0$ khi $x=0$ hoặc $x=2$. Vì hệ số $a=3>0$, hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$. Giá trị cực tiểu: $y(2)=2^3-3\cdot 2^2+2=8-12+2=-2$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi đi qua $x=-2$, nên hàm số đạt cực đại tại $x=-2$ với giá trị $f(-2)=8$. Vậy giá trị cực đại của $f(x)$ là $8$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^4-x^2+1$ có $y^{\prime }=4x^3-2x=2x(2x^2-1)$. $y^{\prime }=0$ khi $x=0$ hoặc $x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$. Xét dấu $y^{\prime }$: qua $x=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ đạo hàm đổi dấu từ $-$ sang $+$ (cực tiểu), qua $x=0$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ (cực đại), qua $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ (cực tiểu). Giá trị cực đại: $y(0)=1$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$: $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=-2,-1,2,4$. Xét dấu qua từng điểm: tại $x=-2$, $f^{\prime }$ không đổi dấu $(+\to +)$ nên không phải cực trị; tại $x=-1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên là điểm cực đại; tại $x=2$, $f^{\prime }$ không đổi dấu $(-\to -)$ nên không phải cực trị; tại $x=4$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có $2$ điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{\ln x}{x}$ xác định trên $(0;+\infty )$. Ta có $y^{\prime }=\frac{1-\ln x}{x^2}$. Cho $y^{\prime }=0\Rightarrow \ln x=1\Rightarrow x=e$. Với $0<x<e$ thì $y^{\prime }>0$, với $x>e$ thì $y^{\prime }<0$, nên hàm số đạt cực đại tại $x=e$. Giá trị cực đại $y(e)=\frac{\ln e}{e}=\frac{1}{e}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M(1;5)$ thuộc đồ thị: $f(1)=1+a+b+1=5\Rightarrow a+b=3$. Vì $M$ là điểm cực trị: $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$, $f^{\prime }(1)=3+2a+b=0\Rightarrow 2a+b=-3$. Trừ hai phương trình: $a=-6$, suy ra $b=9$. Khi đó $f(2)=8+(-6)(4)+9\cdot 2+1=8-24+18+1=3$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^3-3x+3$, ta có $y^{\prime }=3x^2-3$. Cho $y^{\prime }=0$ suy ra $x=\pm 1$. Vì $y^{\prime }<0$ khi $-1<x<1$ và $y^{\prime }>0$ khi $x<-1$ hoặc $x>1$, hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$, với $y(1)=1-3+3=1$. Vậy điểm cực tiểu là $C(1;1)$, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^3-3x+3$, có $y^{\prime }=3x^2-3$. Cho $y^{\prime }=0$ suy ra $x=\pm 1$. Vì $y^{\prime \prime }=6x$, tại $x=1$ có $y^{\prime \prime }=6>0$ nên $x=1$ là điểm cực tiểu (hàm nghịch biến trên $(-1;1)$ và đồng biến trên $(1;+\infty )$). Tọa độ tung: $y(1)=1-3+3=1$. Vậy điểm cực tiểu là $C(1;1)$, trùng với đáp án B của đề.

Theo bảng đáp án chính thức (Hướng dẫn chấm, trang 17, Mã đề 0107, Câu 7 = C). Từ đồ thị: hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ $x=-1$ và tung độ $y=2$ (đường nét đứt chỉ giá trị $2$ trên trục $Oy$ tại đỉnh cực đại). Vậy giá trị cực đại của hàm số là $2$, chọn đáp án C. Lưu ý: giá trị cực đại là tung độ $y=2$ (đáp án C), còn hoành độ điểm cực đại là $x=-1$ (đáp án B) — đây là bẫy của câu hỏi.