Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ (hàm bậc ba cắt trục hoành tại $x=-2$, $x=0$, $x=2$; $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<-2$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-2;0)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(0;2)$, $f^{\prime }(x)<0$ khi $x>2$):
a) Trên $(-\infty ;-2)$ có $f^{\prime }(x)>0$ nên $f(x)$ đồng biến, không nghịch biến → Sai.
b) $f^{\prime }(x)=0$ và đổi dấu tại $x=-2$, $x=0$, $x=2$ nên $f(x)$ có ba điểm cực trị (cực đại tại $x=\pm 2$, cực tiểu tại $x=0$) → Đúng.
c) Trên đoạn $[-2;2]$: $f$ nghịch biến trên $(-2;0)$ và đồng biến trên $(0;2)$ nên giá trị nhỏ nhất đạt tại $x=0$, tức ${\min }_{[-2;2]}f=f(0)$ → Đúng.
d) Vì $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<-2$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-2;0)\cup (2;+\infty )$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(0;2)$ nên $f(x)\to -\infty$ khi $x\to \pm \infty$. Điểm $x=0$ là điểm cực tiểu với $f(0)>0$, còn $x=\pm 2$ là các điểm cực đại với $f(\pm 2)>f(0)>0$. Do đó $f(x)>0$ trên $[-2;2]$ và phương trình $f(x)=0$ có đúng 2 nghiệm phân biệt (một nghiệm trên $(-\infty ;-2)$ và một nghiệm trên $(2;+\infty )$), không thể có tới 3 nghiệm phân biệt → Sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Mã đề 0105, Phần II Câu 2, trang 17): a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Trên $(-\infty ;-2)$ ta có $f^{\prime }(x)>0$ nên $f(x)$ đồng biến, không nghịch biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=0$ và đổi dấu tại $x=-2,0,2$ nên $f(x)$ có ba điểm cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f$ nghịch biến trên $(-2;0)$, đồng biến trên $(0;2)$ nên GTNN trên $[-2;2]$ là $f(0)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Vì $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<-2$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-2;0)\cup (2;+\infty )$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(0;2)$ nên $f(x)\to -\infty$ khi $x\to \pm \infty$. Điểm $x=0$ là điểm cực tiểu với $f(0)>0$, còn $x=\pm 2$ là các điểm cực đại với $f(\pm 2)>f(0)>0$. Do đó $f(x)>0$ trên $[-2;2]$ và $f(x)=0$ có đúng 2 nghiệm phân biệt (một nghiệm trên $(-\infty ;-2)$ và một nghiệm trên $(2;+\infty )$), không thể có tới 3 nghiệm phân biệt → Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm bậc ba, điểm cực đại có hoành độ $x=-1$ và giá trị tương ứng $f(-1)=2$ (đỉnh cao bên trái, được đánh dấu $2$ trên trục $Oy$). Giá trị cực đại của hàm số là $f(-1)=2$, khớp với đáp án D và với đáp án của đề (mã đề 0105, câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ (hàm bậc ba cắt trục hoành tại $x=-2,x=0,x=2$): $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-2)$ và $(0;2)$; $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-2;0)$ và $(2;+\infty )$.
a) Sai: trên $(-\infty ;-2)$ có $f^{\prime }(x)>0$ nên $f(x)$ đồng biến, không nghịch biến.
b) Đúng: $f^{\prime }$ đổi dấu tại $x=-2$ ($+$ sang $-$), $x=0$ ($-$ sang $+$), $x=2$ ($+$ sang $-$) nên $f$ có ba điểm cực trị (hai cực đại tại $x=\pm 2$, một cực tiểu tại $x=0$).
c) Đúng: trên $[-2;2]$, $f$ nghịch biến trên $[-2;0]$ rồi đồng biến trên $[0;2]$ nên giá trị nhỏ nhất đạt tại $x=0$, bằng $f(0)$.
d) Sai: vì $f$ là hàm bậc bốn nên $f(x)\to +\infty$ khi $x\to \pm \infty$. Trên $(-\infty ;-2]$, $f$ đồng biến đến $f(-2)>f(0)>0$ nên không có nghiệm; trên $[-2;2]$, $f(x)\ge f(0)>0$ nên không có nghiệm; trên $(2;+\infty )$, $f$ giảm từ $f(2)>0$ xuống $-\infty$ nên có đúng 1 nghiệm. Vậy phương trình $f(x)=0$ có tối đa 2 nghiệm phân biệt, không phải 3.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-\infty ;-2)$ ta có $f^{\prime }(x)>0$ nên $f(x)$ đồng biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }$ đổi dấu tại $x=-2,x=0,x=2$ nên $f$ có ba điểm cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-2;2]$, $f$ giảm trên $[-2;0]$ và tăng trên $[0;2]$ nên min bằng $f(0)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f(0)>0$ và $f(-2),f(2)>f(0)$, hàm bậc bốn đi lên $+\infty$ hai đầu nên $f(x)=0$ có tối đa 2 nghiệm phân biệt.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm bậc ba, điểm cực đại có tọa độ $(-1;2)$ (đỉnh cao bên trái, giá trị $y=2$ tại $x=-1$). Giá trị cực đại của hàm số là $f(-1)=2$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0103, Câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm bậc ba, điểm cực đại có tọa độ $(-1;2)$, nên giá trị cực đại là $f(-1)=2$. Đáp án C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 0101, câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm bậc ba, hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ $x=1$ và tung độ $y=3$ (đỉnh cao nhất của đồ thị, được đánh dấu bằng đường nét đứt tới trục $Oy$ tại $y=3$). Giá trị cực đại là $f(1)=3$. Lưu ý $y=-1$ tại $x=-1$ là giá trị cực tiểu. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=-1$ (cực đại), từ $-$ sang $+$ tại $x=0$ (cực tiểu), từ $+$ sang $-$ tại $x=1$ (cực đại). Vậy hàm số có 3 điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ cắt trục hoành tại ba điểm: $x=-1$, $x=2$ và $x\approx 4$ (giữa $2$ và $5$). Tại mỗi điểm, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu (dương sang âm tại $x=-1$; âm sang dương tại $x=2$; dương sang âm tại $x\approx 4$). Vì $f^{\prime }$ liên tục trên $\mathbb{R}$, hàm số $y=f(x)$ đạt cực trị tại cả ba điểm này. Vậy hàm số có $3$ điểm cực trị, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm logistic $N(t)=\frac{5000}{1+49e^{-0.8t}}$. Tốc độ lây lan $N^{\prime }(t)=\frac{5000\cdot 49\cdot 0.8e^{-0.8t}}{(1+49e^{-0.8t}{)}^2}$ đạt cực đại khi $49e^{-0.8t}=1$ (điểm uốn của đường logistic), tức $e^{-0.8t}=\frac{1}{49}\Rightarrow t=\frac{\ln 49}{0.8}\approx \frac{3.8918}{0.8}\approx 4.86$ tuần. Làm tròn đến hàng đơn vị: $t\approx 5$ tuần. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 2 = 5).

Ta có: $y^{\prime }=\frac{x^2-4x+3}{(x-2{)}^2}$.
Cho $y^{\prime }=\frac{x^2-4x+3}{(x-2{)}^2}=0\iff \{\begin{array}{l}x=1\\ x=3\end{array}$.
Lập bảng xét dấu đúng và tính đúng tọa độ 2 điểm cực trị $A(1;-3)$; $B(3;1)$.
Tìm được độ dài $AB=2\sqrt{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=-3x^2+6x=-3x(x-2)$. $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Xét dấu $y^{\prime }$: trên $(-\infty ;0)$, $y^{\prime }<0$ (hàm nghịch biến); trên $(0;2)$, $y^{\prime }>0$ (hàm đồng biến); trên $(2;+\infty )$, $y^{\prime }<0$ (hàm nghịch biến). Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ (đạt cực đại tại $x=2$). Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=x^3-3x^2+3$. a) $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$ đúng. b) $f^{\prime }(x)=3x(x-2)<0$ với $x\in (0;2)$ nên hàm số nghịch biến trên $(0;2)$, ý b sai. c) $f^{\prime }(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$, đạo hàm đổi dấu qua cả hai điểm nên hàm có hai điểm cực trị (cực đại tại $x=0$, cực tiểu tại $x=2$), ý c đúng. d) Với $x>2$, $f^{\prime }(x)>0$ nên hàm đồng biến trên $(2;+\infty )$; do $2026>2025>2$ nên $f(2025)<f(2026)$, ý d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x^2-6x$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x(x-2)<0$ trên $(0;2)$ nên hàm nghịch biến trên khoảng này.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=0$ tại $x=0,x=2$ và đạo hàm đổi dấu qua cả hai điểm nên có hai điểm cực trị.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đồng biến trên $(2;+\infty )$ nên $f(2025)<f(2026)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$, hàm số $f(x)$ đạt cực đại tại các điểm mà $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ '+' sang '−'. Đồ thị $f^{\prime }(x)$ cắt trục hoành tại 3 điểm: điểm thứ nhất $f^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm (cực đại), điểm thứ hai $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương (cực tiểu), điểm thứ ba $f^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm (cực đại). Vậy hàm số $y=f(x)$ có 2 điểm cực đại, khớp với đáp án nguồn.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{-x^2-4x-3}{(x+2{)}^2}$.
Cho $y^{\prime }=\frac{-x^2-4x-3}{(x+2{)}^2}=0\iff \{\begin{array}{l}x=-1\\ x=-3\end{array}$.
Lập bảng xét dấu đúng và tính đúng tọa độ 2 điểm cực trị $A(-1;3)$ ; $B(-3;7)$ (vì $y(-3)=\frac{-(-3{)}^2+(-3)+5}{-3+2}=\frac{-7}{-1}=7$).
Tìm được độ dài $AB=\sqrt{(-1-(-3){)}^2+(3-7{)}^2}=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3+3x^2-2$ có $y^{\prime }=3x^2+6x=3x(x+2)$. $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=-2$. Xét dấu $y^{\prime }$: $y^{\prime }>0$ khi $x<-2$, $y^{\prime }<0$ khi $-2<x<0$, $y^{\prime }>0$ khi $x>0$. Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=-2$ (đạt cực tiểu tại $x=0$). Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị ở Câu 4: hàm số đồng biến rồi nghịch biến tại $x=-3$ (cực đại, $y=2$), nghịch biến rồi đồng biến tại $x=-1$ (cực tiểu, $y=-2$), sau đó đồng biến rồi nghịch biến tại $x=1$ (cực đại). Vậy hàm số có đúng 1 điểm cực tiểu.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=-2$ và $x=2$, nên hàm số đạt cực đại tại $x=-2$ và $x=2$ với $f(-2)=f(2)=1$. Tại $x=0$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên đó là điểm cực tiểu với $f(0)=-1$. Vậy giá trị cực đại của hàm số bằng $1$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm bậc ba có cực đại tại điểm $(0;3)$ và cực tiểu tại điểm $(2;-1)$.
a) Giá trị cực đại của hàm số là $f(0)=3$ → Đúng.
b) Trên khoảng $(-\infty ;2)$, hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm cực đại $x=0$ với giá trị $f(0)=3$, không phải $0$ → Sai.
c) Hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;0)$ và $(0;2)$, đồng biến trên $(2;+\infty )$ (và cả $(-\infty ;0)$) → Đúng.
d) Xét phương trình $f(x)=2$: vì $-1<2<3$, đường thẳng $y=2$ cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt (một nghiệm trên $(-\infty ;0)$, một nghiệm trên $(0;2)$, một nghiệm trên $(2;+\infty )$) nên phương trình có 3 nghiệm, không phải đúng hai nghiệm → Sai.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: a)Đ - b)S - c)Đ - d)S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điểm cực đại trên đồ thị là $(0;3)$ nên giá trị cực đại bằng 3.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên khoảng $(-\infty ;2)$, hàm đạt giá trị lớn nhất tại cực đại $x=0$ với $f(0)=3$, không phải 0.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi lên từ điểm cực tiểu $(2;-1)$ nên hàm đồng biến trên $(2;+\infty )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $-1<2<3$, đường thẳng $y=2$ cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt nên $f(x)-2=0$ có 3 nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3+9x^2-12$ có $y^{\prime }=3x^2+18x=3x(x+6)$, cho $y^{\prime }=0$ ta được $x=0$ hoặc $x=-6$. Vì $y^{\prime \prime }=6x+18$: tại $x=-6$ có $y^{\prime \prime }=-18<0$ nên là điểm cực đại; tại $x=0$ có $y^{\prime \prime }=18>0$ nên là điểm cực tiểu. Vậy điểm cực tiểu là $M(0;-12)$, tức $a=0$, $b=-12$. Suy ra $a-b=0-(-12)=12$, trùng với đáp án của đề (mã 1204, Câu 6 = 12).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3-3x^2+2025$ có $y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)$. $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Xét dấu: $y^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;0)$, $y^{\prime }<0$ trên $(0;2)$, $y^{\prime }>0$ trên $(2;+\infty )$. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$, giá trị cực tiểu $y(2)=8-12+2025=2021$. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 1204, câu 7: C).