Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)=0\Rightarrow x=0$ hoặc $x=2$. Hàm số nghịch biến trên $(0;2)$ và đồng biến ngoài khoảng đó, nên $x=2$ là điểm cực tiểu. Giá trị cực tiểu: $y(2)=2^3-3\cdot 2^2+2025=8-12+2025=2021$. Khớp với đáp án A trong bảng đáp án mã đề 1203.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3+9x^2-12$ có $y^{\prime }=3x^2+18x=3x(x+6)=0\Rightarrow x=0$ hoặc $x=-6$. Dùng $y^{\prime \prime }=6x+18$: tại $x=0$ có $y^{\prime \prime }=18>0$ nên là điểm cực tiểu; tại $x=-6$ có $y^{\prime \prime }=-18<0$ nên là điểm cực đại. Vậy $a=-6$, $b=(-6{)}^3+9(-6{)}^2-12=-216+324-12=96$. Do đó $a-b=-6-96=-102$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $f^{\prime }(x)$ tiếp xúc trục hoành tại $x=-3$ (cực đại của $f^{\prime }$ bằng 0, nghiệm kép), có cực tiểu tại $(0;-3)$ và cắt trục hoành tại $x=1$. Vậy $f^{\prime }(x)=\frac{1}{3}(x+3{)}^2(x-1)$. Kiểm tra: $f^{\prime }(0)=\frac{1}{3}\cdot 9\cdot (-1)=-3$; $f^{\prime }(-2)=\frac{1}{3}\cdot 1\cdot (-3)=-1$, khớp đồ thị. Do đó $f^{\prime }(x)<0$ với $x<1$ (trừ $x=-3$), $f^{\prime }(x)>0$ với $x>1$.
a) Sai: $f^{\prime }$ không đổi dấu qua nghiệm kép $x=-3$ nhưng đổi dấu từ âm sang dương qua $x=1$, nên $f$ có đúng một điểm cực trị (cực tiểu tại $x=1$).
b) Sai: trên $(-\infty ;-2)$ có $f^{\prime }(x)\le 0$ nên $f$ nghịch biến, không đồng biến.
c) Sai: với $x>1$ thì $f^{\prime }(x)>0$ nên $f$ đồng biến trên $(1;+\infty )$; vì $2<4$ nên $f(2)<f(4)$, tức $f(2)-f(4)<0$.
d) Đúng: $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-x+1=\frac{1}{3}(x+3{)}^2(x-1)-(x-1)=(x-1)\left[\frac{(x+3{)}^2}{3}-1\right]$. Trên $\left(-\frac{5}{2};-\frac{3}{2}\right)$: $x-1<0$ và $x+3\in \left(\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)$ nên $\frac{(x+3{)}^2}{3}<\frac{9}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{3}{4}<1$, do đó cả hai thừa số đều âm, $g^{\prime }(x)>0$: $g$ đồng biến trên khoảng này.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $f^{\prime }(x)=\frac{1}{3}(x+3{)}^2(x-1)$ không đổi dấu qua nghiệm kép $x=-3$ nhưng đổi dấu từ âm sang dương qua $x=1$, nên $f$ có đúng một điểm cực trị (cực tiểu tại $x=1$).
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Trên $(-\infty ;-2)$ có $f^{\prime }(x)\le 0$ nên $f$ nghịch biến trên khoảng này.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $f^{\prime }(x)>0$ với mọi $x>1$ nên $f$ đồng biến trên $(1;+\infty )$; vì $2<4$ nên $f(2)<f(4)$, suy ra $f(2)-f(4)<0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $g^{\prime }(x)=(x-1)\left[\frac{(x+3{)}^2}{3}-1\right]>0$ trên $\left(-\frac{5}{2};-\frac{3}{2}\right)$ vì cả hai thừa số đều âm, nên $g$ đồng biến.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=(x-1)(x^2-4)=(x-1)(x-2)(x+2)$, nghiệm $x=-2,1,2$. Xét dấu: trên $(-\infty ;-2)$ thì $f^{\prime }(x)<0$; trên $(-2;1)$ thì $f^{\prime }(x)>0$; trên $(1;2)$ thì $f^{\prime }(x)<0$; trên $(2;+\infty )$ thì $f^{\prime }(x)>0$. Do đó $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=-2$ (cực tiểu), từ $+$ sang $-$ tại $x=1$ (cực đại), và từ $-$ sang $+$ tại $x=2$ (cực đại). Vậy hàm số có hai điểm cực đại là $x=1$ và $x=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)=(x+1{)}^2(x-1{)}^5(x-3)$. Với $x<-1$: $(x+1{)}^2>0,(x-1{)}^5<0,(x-3)<0$ nên $f^{\prime }>0$. Với $-1<x<1$: $(x-1{)}^5<0,(x-3)<0$ nên $f^{\prime }>0$ ($x=-1$ không phải cực trị vì $f^{\prime }$ không đổi dấu). Với $1<x<3$: $(x-1{)}^5>0,(x-3)<0$ nên $f^{\prime }<0$. Với $x>3$: $f^{\prime }>0$. Vậy hàm số đổi dấu từ dương sang âm tại $x=1$ (cực đại) và từ âm sang dương tại $x=3$ (cực tiểu). Hàm số có đúng 1 điểm cực đại.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sqrt{-x^2+2x+3}$ xác định khi $-x^2+2x+3\ge 0$, tức $-1\le x\le 3$. Xét $f(x)=-x^2+2x+3=-(x-1{)}^2+4$, có giá trị lớn nhất bằng $4$ tại $x=1$ (thuộc tập xác định). Do đó giá trị lớn nhất (cực đại) của hàm số là $y=\sqrt{4}=2$.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-12x=3x(x-4)=0$ cho $x_1=0,x_2=4$. Vậy $x_1+x_2=4$ (cũng là $-b/a$ của $x^2-4x$). Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=x^3-3x+2$. a) $y^{\prime }=3x^2-3$ đúng. b) $y^{\prime }=0\iff x=\pm 1$; hai điểm cực trị là $(-1;4)$ và $(1;0)$, khoảng cách $=\sqrt{(1+1{)}^2+(0-4{)}^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\ne 5\sqrt{2}$, sai. c) Điểm cực đại là $(-1;4)$ (vì $y^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua $x=-1$), không phải $(1;0)$, sai. d) Trên $[0;3]$: $y(0)=2$, $y(1)=0$, $y(3)=27-9+2=20$ nên GTLN $=20$, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-3$ theo quy tắc đạo hàm của đa thức.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai điểm cực trị là $(-1;4)$ và $(1;0)$, khoảng cách $=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}\ne 5\sqrt{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Điểm cực đại là $(-1;4)$; $(1;0)$ là điểm cực tiểu.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y(0)=2$, $y(1)=0$, $y(3)=20$ nên GTLN trên $[0;3]$ là 20.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=4x^3+3x^2-36x+6$, có $y^{\prime }=12x^2+6x-36=6(2x-3)(x+2)$. $y^{\prime }=0$ tại $x=-2$ và $x=\frac{3}{2}$. Tại $x=-2$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x_1=-2$ là điểm cực đại. Tại $x=\frac{3}{2}$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x_2=\frac{3}{2}$ là điểm cực tiểu. Vậy $x_1{x}_2=(-2)\cdot \frac{3}{2}=-3$. (Có thể kiểm tra bằng Vi-ét: tích hai nghiệm của $y^{\prime }=0$ là $\frac{-36}{12}=-3$.)

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$: tại $x=0$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ thành $-$ nên $x=0$ là điểm cực đại. Tại $x=1$, $f^{\prime }(x)$ không xác định nhưng $f(x)$ liên tục và $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ thành $+$ nên $x=1$ là điểm cực tiểu. Tại $x=2$ không thuộc tập xác định của hàm số nên không xét cực trị. Tại $x=3$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ thành $+$ nên $x=3$ là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có 3 điểm cực trị (tại $x=0$, $x=1$, $x=3$), khớp với đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=0$ (cực đại), từ $-$ sang $+$ tại $x=1$ (cực tiểu), và từ $-$ sang $+$ tại $x=3$ (cực tiểu). Tại $x=2$, hàm số không xác định (không thuộc tập xác định) nên $x=2$ không phải điểm cực trị. Vậy hàm số có 3 điểm cực trị: $x=0,1,3$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 103, câu 7: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$: tại $x=0$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=0$ là điểm cực đại. Tại $x=1$, $f^{\prime }$ không xác định (dấu ||) nhưng $x=1$ vẫn thuộc tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{2\}$ của hàm số, và $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ qua $x=1$, nên $x=1$ là điểm cực tiểu. Tại $x=2$, hàm số không xác định nên không phải điểm cực trị. Tại $x=3$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=3$ là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có 3 điểm cực trị (tại $x=0$, $x=1$, $x=3$). Kết quả khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét bảng dấu của $f^{\prime }(x)$ trên tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{2\}$: Tại $x=0$: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=0$ là điểm cực đại. Tại $x=1$: hàm số xác định, $f^{\prime }(x)$ không xác định nhưng đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=1$ là điểm cực tiểu. Tại $x=2$: hàm số không xác định nên không phải điểm cực trị. Tại $x=3$: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=3$ là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có 3 điểm cực trị, khớp với đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=-3x^2+6x=-3x(x-2)$, $f^{\prime }(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Vì hệ số $a=-3<0$, hàm số đạt cực đại tại $x=0$ với $f(0)=2$, đạt cực tiểu tại $x=2$ với $f(2)=-8+12+2=6$. a) ĐÚNG: điểm cực tiểu là $(2;6)$. b) SAI: với $x\in (0;2)$, $f^{\prime }(x)=-3x(x-2)>0$ nên hàm số đồng biến trên $(0;2)$, không nghịch biến. c) SAI: hai điểm cực trị là $(0;2)$ và $(2;6)$, đường thẳng qua chúng có hệ số góc $\frac{6-2}{2-0}=2$, phương trình $y=2x+2$, không phải $y=2x-1$. d) SAI: đường thẳng qua hai điểm cực trị có hệ số góc $2$; để vuông góc cần $(2m+1)\cdot 2=-1\iff m=-\frac{3}{4}\ne 2$.
a) $f^{\prime }(x)=-3x^2+6x=-3x(x-2)$; $f^{\prime }(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Vì $a=-3<0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$ với $f(2)=-8+12+2=6$. Vậy điểm cực tiểu là $(2;6)$: ĐÚNG.
b) Với $x\in (0;2)$: $x>0$ và $x-2<0$ nên $f^{\prime }(x)=-3x(x-2)>0$. Vậy hàm số đồng biến trên $(0;2)$, mệnh đề nghịch biến là SAI.
c) Hai điểm cực trị là $(0;2)$ và $(2;6)$. Đường thẳng qua chúng có hệ số góc $\frac{6-2}{2-0}=2$, phương trình $y=2x+2$, không phải $y=2x-1$: SAI.
d) Đường thẳng qua hai điểm cực trị có hệ số góc $2$. Để $d$ vuông góc với nó cần $(2m+1)\cdot 2=-1\iff 2m+1=-\frac{1}{2}\iff m=-\frac{3}{4}\ne 2$: SAI.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên ở trang 72: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=-1$ nên $x=-1$ là điểm cực đại. Tại $x=0$ hàm số không xác định (có vạch đôi trong bảng biến thiên) nên không phải điểm cực trị. Sau $x=0$, $y^{\prime }$ mang dấu $+$ rồi đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=1$ nên $x=1$ cũng là một điểm cực đại. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị, đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số đạt cực tiểu tại $x=\pm 1$ với giá trị $y=-2$, và đạt cực đại tại $x=0$ với giá trị $y=-1$. Vậy giá trị cực đại của hàm số bằng $-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=1$, và $f(1)=-3$. Vậy giá trị cực tiểu của hàm số là $-3$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm bậc ba đi lên, có điểm cực đại tại x≈0,5 và điểm cực tiểu tại x=2 (dấu chấm trên đồ thị), hàm nghịch biến trên (0,5; 2) và đồng biến trên (-∞; 0,5) và (2; +∞).
a) Đúng: đồ thị có hai điểm cực trị (một cực đại, một cực tiểu).
b) Đúng: sau x=2 hàm đồng biến, nên đồng biến trên (3; +∞).
c) Sai: g(x)=f(3x) có đạo hàm g'(x)=3f'(3x), g'(x)=0 khi f'(3x)=0, tức 3x=0,5 hoặc 3x=2, cho hai nghiệm x=1/6 và x=2/3, đổi dấu đạo hàm tương ứng, nên g có hai cực trị chứ không phải một.
d) Sai: khi x→-∞ thì f(x)→-∞ nên hàm không có giá trị nhỏ nhất trên ℝ; x=2 chỉ là điểm cực tiểu (cực trị địa phương).
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có một điểm cực đại (x≈0,5) và một điểm cực tiểu (x=2), nên f có hai cực trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đồng biến trên (2; +∞), do đó đồng biến trên (3; +∞).
c) (AI giải đề cho tôi)
g'(x)=3f'(3x)=0 khi 3x là điểm cực trị của f, tức x=1/6 và x=2/3: g có hai cực trị, không phải một.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì f(x)→-∞ khi x→-∞, hàm không đạt GTNN trên ℝ; x=2 chỉ là điểm cực tiểu.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)=x^2(x-1)(x-2{)}^3$. Với $x<1$: $x^2>0$, $(x-1)<0$, $(x-2{)}^3<0$ nên $f^{\prime }(x)>0$. Với $1<x<2$: $x^2>0$, $(x-1)>0$, $(x-2{)}^3<0$ nên $f^{\prime }(x)<0$. Với $x>2$: cả ba nhân tố dương nên $f^{\prime }(x)>0$. Tại $x=1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=1$ là điểm cực đại. Tại $x=2$, $f^{\prime }$ không đổi dấu (vẫn dương) nên không phải cực trị; $x=0$ cũng không phải nghiệm đổi dấu. Vậy hàm số có đúng 1 điểm cực đại.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=x^3-3x^2-9x+5$, ta có $y^{\prime }=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)$. $y^{\prime }=0\iff x=-1$ hoặc $x=3$. Tại $x=-1$: $y=-1-3+9+5=10$, điểm cực đại $A(-1;10)$. Tại $x=3$: $y=27-27-27+5=-22$, điểm cực tiểu $B(3;-22)$. Khoảng cách $AB=\sqrt{(3+1{)}^2+(-22-10{)}^2}=\sqrt{16+1024}=\sqrt{1040}=4\sqrt{65}\approx 64,25$.