Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số đạt cực đại tại điểm $(-1;-1)$ nên $f_{\mathrm{C}\mathrm{Đ}}=-1$, và đạt cực tiểu tại điểm $(1;-5)$ nên $f_{\mathrm{CT}}=-5$. Vậy $f_{\mathrm{CT}}=-5;f_{\mathrm{C}\mathrm{Đ}}=-1$, tương ứng phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm số dạng parabol bậc ba đi lên, có một điểm cực đại (đỉnh cao phía trên trục hoành, gần gốc tọa độ) và một điểm cực tiểu (đỉnh thấp phía dưới trục hoành). Hàm số liên tục, đổi chiều tăng/giảm tại đúng hai điểm này nên hàm số có 2 điểm cực trị. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=x^2-4x+3$. Cho $y^{\prime }=0\Rightarrow x=1$ hoặc $x=3$. Vì hệ số $a=\frac{1}{3}>0$, hàm số đạt cực đại tại $x=1$ và cực tiểu tại $x=3$. Tọa độ điểm cực tiểu: $y(3)=\frac{1}{3}\cdot 27-2\cdot 9+9+1=9-18+9+1=1$, tức điểm cực tiểu là $(3;1)$. Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm: $f(x)=x^3+3x$ có $f^{\prime }(x)=3x^2+3>0$ với mọi $x$ nên không có cực trị. $g(x)=\frac{1}{x}$ có $g^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}<0$ trên từng khoảng xác định, không có cực trị. $h(x)=x^4$ có $h^{\prime }(x)=4x^3$, $h^{\prime }(0)=0$ và $h^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương qua $x=0$ nên $h$ có cực tiểu tại $x=0$. $k(x)=x-{\sin }^{2}x$ có $k^{\prime }(x)=1-\sin 2x\ge 0$ với mọi $x$; tại các điểm $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$ thì $k^{\prime }(x)=0$ nhưng $k^{\prime \prime }(x)=-2\cos 2x=0$ và $k^{\prime }$ không đổi dấu (vì $k^{\prime }\ge 0$ mọi nơi), nên $k$ không có cực trị. Vậy chỉ có 1 hàm số có cực trị là $h$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $h(x)=f^{\prime }(x)$ là hàm bậc ba, đạt cực đại $3$ tại $x=-1$, cực tiểu $-3$ tại $x=1$, và $h(0)=0$. Suy ra $h(x)=\frac{3}{2}{x}^3-\frac{9}{2}x=\frac{3}{2}x(x^2-3)$ (kiểm tra: $h(\pm 1)=\pm 3$ đúng, nghiệm $x=0,\pm \sqrt{3}$ khớp đồ thị).

a) $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x^3+1)\cdot 3x^2+9x^5+9x^2=3x^2\left[h(x^3+1)+3x^3+3\right]$. Đặt $t=x^3+1\in (0;2)$ khi $x\in (-1;0)$, khi đó $h(t)+3t=\frac{3}{2}{t}^3-\frac{9}{2}t+3t=\frac{3}{2}t(t^2-1)<0$ với $t\in (0;1)$. Với $x\in (-1;0)$ thì $t\in (0;1)$ nên $g^{\prime }(x)<0$: $g$ nghịch biến trên $(-1;0)$. → Đúng.

b) Đặt $u=\cos x\in [-1;1]$, $\phi =\frac{1}{3}\cos 2x-\frac{2}{3}\cos x=\frac{2}{3}{u}^2-\frac{2}{3}u-\frac{1}{3}$, có giá trị nhỏ nhất $-\frac{1}{2}$ (tại $u=\frac{1}{2}$) và giá trị lớn nhất $1$ (tại $u=-1$). Trên $[-\frac{1}{2};1]$, do $h(t)>0$ với $t\in (-\sqrt{3};0)$ và $h(t)<0$ với $t\in (0;\sqrt{3})$ nên $f$ tăng rồi giảm, GTLN của $y$ là $f(0)$. Nhưng $f(0)$ (hằng số nguyên hàm) không xác định được từ đồ thị của $f^{\prime }$ (đề chỉ xét trường hợp $f(0)=0$ ở ý c), nên không thể kết luận GTLN bằng $3$. → Sai.

c) Với $f(0)=0$: $f(x)=\frac{3}{8}{x}^4-\frac{9}{4}{x}^2$, nên $f(x^4)-x^2=\frac{3}{8}{x}^{16}-\frac{9}{4}{x}^8-x^2=x^{2}p(x)$ với $p(x)=\frac{3}{8}{x}^{14}-\frac{9}{4}{x}^6-1$ (hàm chẵn, $p(0)=-1$, $p\to +\infty$). $p^{\prime }(x)=\frac{x^5}{4}(21x^8-54)$, $p$ giảm trên $(0;(18/7{)}^{1/8})$ rồi tăng; tại điểm đó $p<0$, nên $p$ có đúng một nghiệm $r>1$. Vậy $y=|x^{2}p(x)|=0$ tại $x=0,\pm r$. Trên $(0;r)$: $y=-x^{2}p$, $y^{\prime }=0\iff 2p+x{p}^{\prime }=0\iff 3x^{14}-9x^6-1=0$, có đúng một nghiệm $x_e\in (1;r)$ (vì tại đó $3x^{14}=9x^6+1<18x^6+8$ nên $p<0$); đối xứng có $-x_e$. Trên $(r;+\infty )$ phương trình $3x^{14}-9x^6-1=0$ không có nghiệm (nghiệm duy nhất đã nhỏ hơn $r$). Các điểm cực trị: $x=0$ (cực tiểu), $\pm x_e$ (cực đại), $\pm r$ (cực tiểu, do $y\ge 0$ và $y=0$ tại đó). Tổng cộng 5 điểm cực trị. → Đúng.

d) $h(3)=\frac{3}{2}\cdot 3\cdot (9-3)=27\ne 18$. → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\in (-1;0)$, $g^{\prime }(x)=3x^2[h(x^3+1)+3x^3+3]=3x^2\cdot \frac{3}{2}t(t^2-1)<0$ với $t=x^3+1\in (0;1)$, nên $g$ nghịch biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
Biểu thức trong $f$ có giá trị thuộc $[-1/2;1]$; trên đoạn này GTLN của $f$ là $f(0)$, nhưng $f(0)$ không xác định từ đồ thị $h=f^{\prime }$, nên không thể khẳng định GTLN bằng 3.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $f(0)=0$, $y=\left|x^2\left(\frac{3}{8}{x}^{14}-\frac{9}{4}{x}^6-1\right)\right|$ có 5 điểm cực trị: $x=0$, $\pm x_e$ (nghiệm của $3x^{14}-9x^6-1=0$) và $\pm r$ (nghiệm của $p(x)=0$).
d) (AI giải đề cho tôi)
$h(x)=\frac{3}{2}x(x^2-3)$ nên $h(3)=\frac{3}{2}\cdot 3\cdot 6=27\ne 18$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: điểm cực đại $(0;2)$, điểm cực tiểu $(2;-2)$, nên $f^{\prime }(x)=kx(x-2)$, $f(0)=2$, $f(2)=-2$. Suy ra $f(x)=x^3-3x^2+2$ (kiểm tra: $f(2)=8-12+2=-2$ đúng).
a) $A(0;2),B(2;-2)$ nên $AB=\sqrt{2^2+(-4{)}^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ → Đúng.
b) $g(x)=f(x^2)=x^6-3x^4+2$, $g^{\prime }(x)=6x^5-12x^3=6x^3(x^2-2)=0$ cho $x=0,\pm \sqrt{2}$: 3 điểm cực trị, không phải 2 → Sai.
c) Trên $[-2;2]$, $f^{\prime }(x)=3x(x-2)\ge 0$ khi $x\le 0$ và $\le 0$ khi $0\le x\le 2$, nên min tại $x=2$: $f(2)=-2$ → Đúng.
d) $f$ nghịch biến trên $(0;2)$, còn trên $(-\infty ;0)$ đồng biến, nên không nghịch biến trên $(-\infty ;2)$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Cực đại $(0;2)$, cực tiểu $(2;-2)$, $AB=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f(x^2)=x^6-3x^4+2$, $g^{\prime }(x)=6x^3(x^2-2)=0$ tại $x=0,\pm \sqrt{2}$: 3 điểm cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Trên $[-2;2]$, min tại $x=2$ với $f(2)=-2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f$ chỉ nghịch biến trên $(0;2)$; trên $(-\infty ;0)$ hàm đồng biến.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$: hàm số đồng biến trên $(-\infty ;0)$ và $(1;+\infty )$, nghịch biến trên $(0;1)$. Tại $x=0$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số đạt cực đại tại điểm $M(0;0)$, tức cực đại tại $x=0$. Tại $x=1$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số đạt cực tiểu tại $N(1;-1)$. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=x^3+9x^2-10$, ta có $y^{\prime }=3x^2+18x=3x(x+6)$. Cho $y^{\prime }=0$ được $x=0$ hoặc $x=-6$. Xét dấu $y^{\prime }$: $y^{\prime }>0$ khi $x<-6$, $y^{\prime }<0$ khi $-6<x<0$, $y^{\prime }>0$ khi $x>0$. Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=-6$, tức $a=-6$, và $b=(-6{)}^3+9\cdot (-6{)}^2-10=-216+324-10=98$. Do đó $b-a=98-(-6)=104$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: tại $x=-3$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=-3$ là điểm cực tiểu với giá trị cực tiểu $f(-3)=5$. Tại $x=-2$ hàm số không xác định (tiệm cận đứng), không phải cực trị. Tại $x=1$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=1$ là điểm cực đại, và bảng cho $f(1)=0$. Vậy giá trị cực đại của hàm số là $f(1)=0$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số đạt điểm cao nhất (cực đại) tại $x=1$ với tung độ $y=2$. Giá trị cực đại là $f(1)=2$. Lưu ý $x=1$ là tọa độ điểm cực đại, còn giá trị cực đại là $2$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=\frac{5\sin x-1}{2}$, khi đó $t\in [-3;2]$ và $g^{\prime }(x)=\frac{5\cos x}{2}[f^{\prime }(t)+t]$. Xét $h(t)=f^{\prime }(t)+t$ trên $[-3;2]$. Từ đồ thị: $f^{\prime }(-1)=1$ (cực đại), $f^{\prime }(1)=-1$ (cực tiểu), $f^{\prime }(0)\approx -\frac{1}{3}<0$, $f^{\prime }(-3)\approx 2$, $f^{\prime }(2)\approx 2$. Ta có $h(-1)=1-1=0$ và $h^{\prime }(-1)=f^{\prime \prime }(-1)+1=1>0$ nên $h$ đổi dấu từ âm sang dương tại $t=-1$; vì $h(0)=f^{\prime }(0)<0$ nên $h$ có thêm một nghiệm $t_2\in (-1;0)$ (đổi dấu + sang −); $h(1)=-1+1=0$ với $h(0)<0,h(2)>0$ nên đổi dấu tại $t=1$. Trên khoảng $(-3;-1)$: $f^{\prime }(t)\ge 0,5$ và $t<-1$ nên $h(t)<0$, không có nghiệm thêm. Vậy $h(t)=0$ có 3 nghiệm phân biệt, mỗi nghiệm $t$ cho $\sin x=\frac{2t+1}{5}\in (-1;1)$ nên có 2 nghiệm $x$ trong $(0;2\pi )$: được $3\times 2=6$ điểm. Ngoài ra $\cos x=0$ cho $x=\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}$; tại đó $t=2$ hoặc $t=-3$ và $h(2)\approx 4\ne 0$, $h(-3)\approx -1\ne 0$ nên đây cũng là điểm cực trị: thêm 2 điểm. Tổng cộng $6+2=8$ điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=x(x+1)(x+2{)}^2$. Nghiệm của $f^{\prime }(x)$: $x=0$, $x=-1$, $x=-2$ (nghiệm kép). Xét dấu: với $x<-2$, $f^{\prime }(x)<0$; qua $x=-2$ (nghiệm bậc chẵn) dấu không đổi, vẫn $f^{\prime }(x)<0$; qua $x=-1$ dấu đổi từ $-$ sang $+$; qua $x=0$ dấu đổi từ $+$ sang $-$. Vậy $f^{\prime }$ đổi dấu tại $x=-1$ và $x=0$, tức hàm số có đúng 2 điểm cực trị (một cực tiểu tại $x=-1$, một cực đại tại $x=0$). Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm bậc ba $y=f(x)$ có điểm cực tiểu tại $(0;-4)$ và điểm cực đại tại $(2;0)$, đồng thời đi qua điểm $(1;-2)$. Viết $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$. Vì $f(0)=-4$ nên $d=-4$. Cực trị tại $x=0$ và $x=2$ nên $f^{\prime }(x)=3a(x-0)(x-2)=3a{x}^2-6ax$, suy ra $c=0$, $b=-3a$. Do $f(1)=-2$: $a-3a-4=-2\Rightarrow -2a=2\Rightarrow a=-1$, $b=3$. Kiểm tra: $f(2)=-8+12-4=0$ khớp đồ thị. Vậy giá trị cực tiểu là $-4$, giá trị cực đại là $0$, tổng bằng $0+(-4)=-4$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Mã đề 2102, Phần III Câu 4: $-4$).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm số: hàm tăng trên $(-\infty ;-1)$, đạt cực đại tại $x=-1$ với $y=3$; sau đó giảm trên $(-1;1)$, đạt điểm thấp nhất $y=-1$ tại $x=1$; rồi tăng trên $(1;+\infty )$. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 2102, Câu 7: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm bậc ba: hàm đạt cực tiểu tại điểm $(0;-4)$ nên $y_{CT}=-4$; đạt cực đại tại điểm $(2;0)$ nên $y_{CĐ}=0$. Tổng $y_{CĐ}+y_{CT}=0+(-4)=-4$. Kết quả trùng với đáp án nguồn ở trang 28 (bảng Phần III, Mã đề 2101, Câu 5: -4).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số tăng trên $(-\infty ;-1)$, giảm trên $(-1;1)$, tăng trên $(1;+\infty )$. Tại $x=1$ hàm đạt giá trị nhỏ nhất cục bộ $y=-1$, nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$. (Tại $x=-1$ hàm đạt cực đại $y=3$.) Khớp với đáp án nguồn: C (mã đề 2101, trang 28).

Dựa vào đồ thị ta thấy, hàm số đạt cực đại tại điểm $x=-1$.

Chọn B (theo bảng đáp án các mã đề, Mã đề 2102, Phần I, Câu 2: B).

Từ đồ thị, hàm số đạt giá trị cực đại bằng 0 (tại $x=2$) và giá trị cực tiểu bằng $-4$ (tại $x=0$). Tổng giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số bằng $0+(-4)=-4$. (Nguồn: lời giải in trong tài liệu, trang 11 của lời giải - Trả lời: $-4$.)

Tổng giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số bằng $0+(-4)=-4$.

Dựa vào đồ thị ta thấy, hàm số đạt cực đại tại điểm $x=-1$. Chọn D