Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=x(x^2-1)(x+1{)}^3=x(x-1)(x+1{)}^4$. Nghiệm của $f^{\prime }(x)$: $x=-1$ (bội 4, chẵn), $x=0$, $x=1$. Xét dấu: với $x<-1$: $f^{\prime }>0$; với $-1<x<0$: $f^{\prime }>0$ (dấu không đổi qua $x=-1$ vì bội chẵn); với $0<x<1$: $f^{\prime }<0$; với $x>1$: $f^{\prime }>0$. Vậy $f^{\prime }$ đổi dấu dương sang âm tại $x=0$ (cực đại) và âm sang dương tại $x=1$ (cực tiểu); tại $x=-1$ không đổi dấu nên không phải cực trị. Hàm số có 2 điểm cực trị, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 102, Câu 20 = 2).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị cắt trục hoành tại $O(0;0)$, $A(2;0)$, $B(3;0)$ (vì $OA=2$ km, $AB=1$ km), nên $f(x)=ax(x-2)(x-3)$. Ta có $f^{\prime }(x)=a(3x^2-10x+6)=0\Rightarrow x=\frac{5\pm \sqrt{7}}{3}$. Đỉnh đồi (cực đại) tại $x_1=\frac{5-\sqrt{7}}{3}\approx 0,7847$ với $f(x_1)\approx a\cdot 2,1125$. Vì ngọn đồi cao $550m=0,55$ km nên $a=\frac{0,55}{2,1125}\approx 0,26035$. Điểm sâu nhất của hồ (cực tiểu) tại $x_2=\frac{5+\sqrt{7}}{3}\approx 2,5486$: $f(x_2)\approx 0,26035\cdot 2,5486\cdot 0,5486\cdot (-0,4514)\approx -0,1643$ km $\approx -164,3$ m. Vậy độ sâu lớn nhất của hồ khoảng $164$ m, khớp với đáp án đã cho (164).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=x(x^2-1)(x+1{)}^3=x(x-1)(x+1{)}^4$. Nghiệm của $f^{\prime }(x)$: $x=-1$ (bội 4, chẵn), $x=0$, $x=1$. Vì $(x+1{)}^4\ge 0$ nên dấu của $f^{\prime }$ chỉ do $x(x-1)$ quyết định: $f^{\prime }<0$ trên $(-\infty ;0)\cup (0;1)$... cụ thể $f^{\prime }<0$ khi $x<0$ (khác $-1$) và $x\in (0;1)$, $f^{\prime }>0$ khi $x>1$. Tại $x=-1$, $f^{\prime }$ không đổi dấu (số mũ chẵn) nên không phải cực trị. Tại $x=0$: $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$? Kiểm tra: với $x\in (-1;0)$, $x<0,x-1<0$ nên $x(x-1)>0$, $f^{\prime }>0$; với $x\in (0;1)$, $f^{\prime }<0$; với $x>1$, $f^{\prime }>0$. Vậy $x=0$ là điểm cực đại, $x=1$ là điểm cực tiểu. Hàm số có 2 điểm cực trị, khớp với đáp án nguồn 2.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)$: tại $x=-2$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=-2$ là điểm cực tiểu. Tại $x=1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên là điểm cực đại. Tại $x=2$, $f^{\prime }$ không xác định (ký hiệu $\Vert$) nhưng đổi dấu từ $-$ sang $+$, hàm số xác định trên $\mathbb{R}$ và liên tục tại $x=2$ nên $x=2$ là điểm cực tiểu. Tại $x=3$, $f^{\prime }=0$ nhưng không đổi dấu ($+$ sang $+$) nên không phải điểm cực trị. Vậy hàm số có 2 điểm cực tiểu ($x=-2$ và $x=2$), khớp với đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm bậc ba: hàm số đạt cực đại tại điểm $(1;3)$ nên giá trị cực đại là $y=3$; hàm số đạt cực tiểu tại điểm $(2;1)$ nên giá trị cực tiểu là $y=1$. Điểm $(4;5)$ chỉ là điểm thông thường trên đồ thị (dùng cho câu khác), không phải điểm cực trị. Vậy giá trị cực đại của hàm số là $y=3$, khớp với đáp án D (bảng đáp án đề 0102, câu 3: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_3(x^2-2x+3)$ xác định trên $\mathbb{R}$ vì $x^2-2x+3=(x-1{)}^2+2>0$ với mọi $x$. Ta có $y^{\prime }=\frac{2x-2}{(x^2-2x+3)\ln 3}$. Cho $y^{\prime }=0$ được $x=1$. Với $x<1$ thì $y^{\prime }<0$, với $x>1$ thì $y^{\prime }>0$, nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$. Vậy hàm số có đúng $1$ điểm cực trị, khớp với đáp án A của đề (mã đề 0102, câu 7: A).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=f(x)=e^{g(x)}$ với $g(x)=x^3-3x^2$, $g^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$. a) $g^{\prime }(x)=0$ tại $x=0,2$; $g$ giảm trên $(0;2)$, tăng ngoài đó nên $g$ đạt cực tiểu tại $x=2$, $g(2)=8-12=-4$, giá trị cực tiểu $f(2)=e^{-4}$. Đúng. b) Trên $[1;5]$: $g(1)=-2$, $g(2)=-4$, $g(5)=125-75=50$ nên min $=e^{-4}$ ($a=-4$), max $=e^{50}$ ($b=50$), $a+b=46$. Đúng. c) $f^{\prime }(x)=3x(x-2)e^{g(x)}<0$ trên $(1;2)$ nên hàm số nghịch biến trên $(1;2)$, không đồng biến trên $(1;+\infty )$. Sai. d) Khi $x\to +\infty$, $g(x)\to +\infty$ nên $f(x)\to +\infty$, hàm số không đạt GTLN trên tập xác định $\mathbb{R}$ (tại $x=0$ chỉ là cực đại). Sai. Khớp đáp án nguồn: 3a Đúng, 3b Đúng, 3c Sai, 3d Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$g^{\prime }(x)=3x(x-2)$; $g$ đạt cực tiểu tại $x=2$ với $g(2)=-4$, nên giá trị cực tiểu của $f$ là $e^{-4}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
So sánh $g(1)=-2$, $g(2)=-4$, $g(5)=50$: min $=e^{-4}$, max $=e^{50}$, nên $a+b=-4+50=46$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x(x-2)e^{x^3-3x^2}<0$ trên $(1;2)$ nên hàm số nghịch biến trên $(1;2)$, không đồng biến trên toàn $(1;+\infty )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to +\infty$ thì $f(x)\to +\infty$ nên hàm số không có GTLN trên tập xác định; $x=0$ chỉ là điểm cực đại.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_3(x^2-2x+3)$ xác định với mọi $x$ vì $x^2-2x+3=(x-1{)}^2+2>0$. Ta có $y^{\prime }=\frac{2x-2}{(x^2-2x+3)\ln 3}$. Cho $y^{\prime }=0$ suy ra $x=1$. Với $x<1$ thì $y^{\prime }<0$, với $x>1$ thì $y^{\prime }>0$, nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$. Vậy hàm số có đúng 1 điểm cực trị, khớp với đáp án D (theo bảng đáp án mã đề 0101, câu 3 là D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm bậc ba, hàm số đạt cực đại tại điểm có tọa độ $(1;3)$, tức giá trị cực đại $y=3$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (đề 0101, câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Điểm cực trị là điểm mà tại đó $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi qua điểm đó. Xét bảng dấu của $f^{\prime }(x)$:
- Tại $x=-2$: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ $\Rightarrow$ điểm cực tiểu.
- Tại $x=1$: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ $\Rightarrow$ điểm cực đại.
- Tại $x=2$: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ $\Rightarrow$ điểm cực tiểu.

Cả ba điểm $x=-2$, $x=1$, $x=2$ đều là điểm mà $f^{\prime }(x)$ đổi dấu, nên hàm số có $3$ điểm cực trị. Kết quả trùng với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên trên đoạn $[-1;3]$: hàm số đồng biến trên $(-1;0)$, nghịch biến trên $(0;2)$, đồng biến trên $(2;3)$; $f(-1)=2$, $f(0)=4$, $f(2)=-5$, $f(3)=3$.

a) Đúng. Giá trị lớn nhất trên $[-1;3]$ là $\max \{2;4;-5;3\}=4$ tại $x=0$.

b) Sai. Hàm số chỉ xác định trên $[-1;3]$ nên không thể đồng biến trên khoảng $(-5;3)$; hơn nữa hàm còn nghịch biến trên $(0;2)$.

c) Đúng. Hàm số đạt cực đại tại $x=0$ và cực tiểu tại $x=2$, tức có 2 điểm cực trị.

d) Đúng. $\max y=4$, $\min y=-5$, tổng bằng $4+(-5)=-1$.

Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-1;3]$, giá trị lớn nhất là $\max \{f(-1)=2;f(0)=4;f(2)=-5;f(3)=3\}=4$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số chỉ cho trên $[-1;3]$ nên không xét được trên $(-5;3)$; ngoài ra hàm nghịch biến trên $(0;2)$ nên không đồng biến trên toàn khoảng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=0$ (cực đại) và từ $-$ sang $+$ tại $x=2$ (cực tiểu), vậy hàm có 2 điểm cực trị.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\max y=4$, $\min y=-5$, nên tổng $=4+(-5)=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3-3x^2-3x-1$ có $y^{\prime }=3x^2-6x-3=3(x^2-2x-1)$. Hai điểm cực trị $x_1,x_2$ là nghiệm của $x^2-2x-1=0$, theo Vi-et: $x_1+x_2=2$, $x_1{x}_2=-1$. Do đó $P=x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2=4-2(-1)=6$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 1 Phần 3: 6).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị ở trang 7: hàm số bậc ba có điểm cực tiểu tại $x=0$ với tung độ $y=-2$ (đường cong đi xuống đạt đáy tại $-2$ rồi đi lên), và điểm cực đại tại $x=2$ với $y=2$. Vậy giá trị cực tiểu của hàm số bằng $-2$. Khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm bậc ba: điểm cực tiểu có tọa độ $(-1;-2)$, điểm cực đại có tọa độ $(2;2)$. Giá trị cực tiểu của hàm số là hoành độ tung của điểm cực tiểu, tức $f(-1)=-2$. Vậy đáp án B, trùng với đáp án của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$: tại $x=-2$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=-2$ là điểm cực tiểu; tại $x=1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=1$ là điểm cực đại; tại $x=2$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=2$ là điểm cực tiểu. Vì $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, cả ba điểm này đều là điểm cực trị. Vậy hàm số có $3$ điểm cực trị, khớp với đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3-3x^2-3x-1$ có $y^{\prime }=3x^2-6x-3=3(x^2-2x-1)$. Hai điểm cực trị $x_1,x_2$ là nghiệm của $x^2-2x-1=0$, theo Vi-ét: $x_1+x_2=2$, $x_1{x}_2=-1$. Khi đó $P=x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2=4-2(-1)=6$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 1 Phần 3: 6).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$: hàm số đồng biến trên $(-1;1)$ và nghịch biến trên các khoảng $(-\infty ;-1)$, $(1;+\infty )$. Tại $x=-1$ đồ thị đạt điểm thấp nhất (cực tiểu, $y=-4$), tại $x=1$ đồ thị đạt đỉnh cao rồi đổi chiều từ đồng biến sang nghịch biến, nên $x=1$ là điểm cực đại. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: f'(x) đổi dấu + thành − tại x=0 nên hàm đạt cực đại tại x=0 với f(0)=2; đổi dấu − thành + tại x=2 nên đạt cực tiểu tại x=2 với f(2)=−2. Hàm số là hàm bậc ba có f'(x)=x(x−2), suy ra f(x)=x³/3−x²+C; vì f(0)=2 nên C=2, kiểm tra f(2)=8/3−4+2=−2 đúng. Hai điểm cực trị là A(0;2) và B(2;−2). a) Giá trị cực đại bằng 2 → đúng. b) Hàm nghịch biến trên (0;2) nên không đồng biến trên (−∞;2) → sai. c) AB=√(2²+(−4)²)=√20=2√5 → đúng. d) Đường thẳng qua hai điểm cực trị có hệ số góc (−2−2)/(2−0)=−2, phương trình y=−2x+2, không phải y=−2x−2 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
f'(x) đổi dấu từ + sang − tại x=0 và f(0)=2 nên giá trị cực đại bằng 2.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên (0;2) hàm nghịch biến (f'<0), nên hàm không đồng biến trên khoảng (−∞;2).
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai điểm cực trị (0;2) và (2;−2), khoảng cách √(4+16)=2√5.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua (0;2) và (2;−2) có phương trình y=−2x+2, không phải y=−2x−2.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)=0$ nên $x=0$ (điểm cực đại) hoặc $x=2$ (điểm cực tiểu). Vậy $a=2$. Khi đó $b=2^3-3\cdot 2^2+m=m-4$. Theo đề $a+b=1$ nên $2+(m-4)=1\Rightarrow m-2=1\Rightarrow m=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=0$, và $f(0)=4$. Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=0$ với giá trị cực đại $f(0)=4$. (Tại $x=2$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $f(2)=0$ là giá trị cực tiểu.) Đáp án A.