Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$, hai nghiệm phân biệt và $y^{\prime }$ đổi dấu qua mỗi nghiệm nên hàm số có 2 điểm cực trị. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$.
a) $f^{\prime }(x)<0$ trên $(0;2)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng này, không đồng biến trên tập xác định → SAI.
b) $f^{\prime }(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt $x=0$ (cực đại) và $x=2$ (cực tiểu) → ĐÚNG.
c) $f(0)=1>0$, $f(2)=-3<0$, hàm liên tục nên theo định lý giá trị trung gian đồ thị cắt trục hoành (hàm bậc 3 luôn có ít nhất một nghiệm thực) → ĐÚNG.
d) Trên $\left[-1;\frac{5}{2}\right]$: $f(-1)=-3$, $f(0)=1$, $f(2)=-3$, $f\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{125}{8}-\frac{75}{4}+1=\frac{125-150+8}{8}=-\frac{17}{8}$. Giá trị nhỏ nhất bằng $-3$, không lớn hơn $-3$ → SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x(x-2)<0$ trên $(0;2)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng này, không đồng biến trên tập xác định.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt $x=0$ (cực đại) và $x=2$ (cực tiểu).
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=1>0$ và $f(2)=-3<0$, hàm liên tục nên theo định lý giá trị trung gian, đồ thị luôn cắt trục hoành.
d) (AI giải đề cho tôi)
So sánh $f(-1)=-3$, $f(0)=1$, $f(2)=-3$, $f\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{125}{8}-\frac{75}{4}+1=-\frac{17}{8}$; giá trị nhỏ nhất bằng $-3$, không lớn hơn $-3$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3-3x^2+mx+m^2+2m+1$ có $y^{\prime }=3x^2-6x+m$. Hàm số bậc ba có hai cực trị khi và chỉ khi phương trình $y^{\prime }=0$ có hai nghiệm phân biệt, tức ${\Delta }^{\prime }=(-6{)}^2-4\cdot 3\cdot m=36-12m>0\iff m<3$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2+2x+(m^2-4)$. Hàm số có hai điểm cực trị khi ${\Delta }^{\prime }=1-3(m^2-4)>0\iff m^2<\frac{13}{3}$. Hai điểm cực trị $x_1,x_2$ nằm về hai phía trục Oy khi $x_1{x}_2<0\iff \frac{m^2-4}{3}<0\iff m^2<4\iff -2<m<2$ (điều kiện này mạnh hơn $m^2<\frac{13}{3}$ nên thỏa mãn). Vậy $-2<m<2$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm đồng biến trên $(-\infty ;-1)$, nghịch biến trên $(-1;2)$, đồng biến trên $(2;+\infty )$; đạt cực đại $y=2$ tại $x=-1$ và cực tiểu $y=-1$ tại $x=2$ ($y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ qua $x=2$).
a) Sai: hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$ vì $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=2$, nên khẳng định 'không đạt cực tiểu' là sai.
b) Đúng: trên $(-\infty ;-1)$ hàm tăng từ $-\infty$ lên $2$ nên cắt trục hoành đúng 1 điểm; trên $(-1;2)$ hàm giảm từ $2$ xuống $-1$ (giá trị đổi dấu từ dương sang âm) nên cắt đúng 1 điểm; trên $(2;+\infty )$ hàm tăng từ $-1$ lên $+\infty$ nên cắt đúng 1 điểm. Tổng cộng đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
c) Đúng: trên $(-1;2)$ có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến.
d) Sai: khi $x\to -\infty$ thì $y\to -\infty$ nên hàm số không có giá trị nhỏ nhất; $y=-1$ chỉ là giá trị cực tiểu (cục bộ) tại $x=2$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$ vì $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=2$, nên khẳng định 'không đạt cực tiểu' là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-\infty ;-1)$ hàm tăng từ $-\infty$ lên $2$: cắt trục hoành 1 điểm; trên $(-1;2)$ hàm giảm từ $2$ xuống $-1$ (đổi dấu từ dương sang âm): cắt 1 điểm; trên $(2;+\infty )$ hàm tăng từ $-1$ lên $+\infty$: cắt 1 điểm. Tổng cộng 3 điểm phân biệt.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên khoảng $(-1;2)$ có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to -\infty$ thì $y\to -\infty$ nên hàm số không có giá trị nhỏ nhất; $y=-1$ chỉ là giá trị cực tiểu tại $x=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$: tại $x=-1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=-1$ là điểm cực đại. Tại $x=2$, $f^{\prime }$ không đổi dấu (vẫn âm) nên không phải điểm cực trị. Tại $x=4$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=4$ là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)=(x+2)(x-1{)}^2(x+3{)}^3(x-4{)}^5$ với các nghiệm $x=-3,-2,1,4$. Bậc lẻ của $(x+3{)}^3$, $(x+2)$, $(x-4{)}^5$ làm dấu đổi qua các nghiệm này; $(x-1{)}^2$ bậc chẵn không đổi dấu. Với $x<-3$: $f^{\prime }(x)<0$; qua $x=-3$ (bậc lẻ) đổi thành $f^{\prime }>0$ → điểm cực tiểu tại $x=-3$. Qua $x=-2$: $f^{\prime }$ đổi từ $+$ sang $-$ → cực đại. Qua $x=1$: không đổi dấu → không cực trị. Qua $x=4$: đổi từ $-$ sang $+$ → điểm cực tiểu tại $x=4$. Vậy hàm số có 2 điểm cực tiểu.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=x(x-1)(x-2)=x^3-3x^2+2x$, nên $f^{\prime }(x)=3x^2-6x+2$. Đây là tam thức bậc hai có biệt thức $\Delta =(-6{)}^2-4\cdot 3\cdot 2=36-24=12>0$, nên phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt $x=1\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$. Hàm số là hàm bậc ba nên tại hai nghiệm này đạo hàm đổi dấu, tức hàm số có đúng 2 điểm cực trị (một cực đại, một cực tiểu). Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Với $y=(x+1{)}^2{e}^{-x}$, ta có $y^{\prime }=e^{-x}\left[2(x+1)-(x+1{)}^2\right]=e^{-x}(x+1)(1-x)$. Vì $e^{-x}>0$, dấu $y^{\prime }$ theo dấu $(x+1)(1-x)$: trên $(-\infty ;-1)$ thì $y^{\prime }<0$, trên $(-1;1)$ thì $y^{\prime }>0$, trên $(1;+\infty )$ thì $y^{\prime }<0$. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$ và cực đại tại $x=1$. Do đó khẳng định đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)=(x+1)x^2(x-3{)}^3$. Với $x<-1$: $(-)(+)(-)=+$; với $-1<x<0$: $(+)(+)(-)=-$; với $0<x<3$: $(+)(+)(-)=-$; với $x>3$: $(+)(+)(+)=+$. Tại $x=0$, $f^{\prime }$ không đổi dấu (vì $x^2>0$) nên $x=0$ không phải cực trị. Tại $x=-1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ (cực đại); tại $x=3$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ (cực tiểu). Vậy hàm số có 2 điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }=0$ tại $x=0$ và $x=2$. Tại $x=0$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên hàm số đạt cực đại $f(0)=1$. Tại $x=2$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên hàm số đạt cực tiểu $f(2)=5$. Vậy giá trị cực tiểu của hàm số là $5$, khớp với đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Viết $f(x)=\frac{x^2-4x+6}{x-2}=(x-2)+\frac{2}{x-2}$ với $x\ne 2$. Ta có $f^{\prime }(x)=1-\frac{2}{(x-2{)}^2}$; $f^{\prime }(x)=0\iff x=2\pm \sqrt{2}$. Tại $x=2-\sqrt{2}$: $f=-2\sqrt{2}$ (cực đại, vì $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ quanh $x=2$... cụ thể trên $(-\infty ;2)$ hàm nghịch biến nên $x=2-\sqrt{2}$ là điểm cực đại với giá trị $-2\sqrt{2}$); tại $x=2+\sqrt{2}$: $f=2\sqrt{2}$ là giá trị cực tiểu.
a) Hai điểm cực trị là $(2-\sqrt{2};-2\sqrt{2})$ và $(2+\sqrt{2};2\sqrt{2})$. Khoảng cách $=\sqrt{(2\sqrt{2}{)}^2+(4\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{8+32}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\ne \sqrt{10}$ → Sai.
b) Giá trị cực đại $=-2\sqrt{2}$ → Đúng.
c) Đường thẳng qua hai điểm cực trị có hệ số góc $\frac{2\sqrt{2}-(-2\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})-(2-\sqrt{2})}=\frac{4\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=2$, phương trình $y=2x-4$. Thay $M(1;-2)$: $2\cdot 1-4=-2$ → Đúng.
d) Điểm cực tiểu của hàm số là điểm $(2+\sqrt{2};2\sqrt{2})$, còn $2\sqrt{2}$ chỉ là giá trị cực tiểu; phát biểu 'điểm cực tiểu là $2\sqrt{2}$' → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách giữa hai điểm cực trị $(2-\sqrt{2};-2\sqrt{2})$ và $(2+\sqrt{2};2\sqrt{2})$ là $\sqrt{(2\sqrt{2}{)}^2+(4\sqrt{2}{)}^2}=2\sqrt{10}\ne \sqrt{10}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=1-\frac{2}{(x-2{)}^2}=0\iff x=2\pm \sqrt{2}$; $f(2-\sqrt{2})=-2\sqrt{2}$ là giá trị cực đại.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua hai điểm cực trị: $y=2x-4$; tại $x=1$ có $y=-2$ nên đi qua $M(1;-2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Điểm cực tiểu là $(2+\sqrt{2};2\sqrt{2})$; $2\sqrt{2}$ chỉ là giá trị cực tiểu, không phải điểm cực tiểu.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm bậc ba cắt trục hoành tại $O(0;0)$, $A(2;0)$, $B(3;0)$ (vì $OA=2$ km, $AB=1$ km), nên $f(x)=kx(x-2)(x-3)$. Ta có $f^{\prime }(x)=k(3x^2-10x+6)$, các điểm cực trị $x=\frac{5\pm \sqrt{7}}{3}$. Cực đại (ngọn đồi) tại $x_1=\frac{5-\sqrt{7}}{3}\approx 0,7847$: $f(x_1)\approx 2,1127k$. Theo đề ngọn đồi cao $528m=0,528$ km nên $k=\frac{0,528}{2,1127}\approx 0,25$. Điểm sâu nhất của hồ là cực tiểu tại $x_2=\frac{5+\sqrt{7}}{3}\approx 2,5486$: $f(x_2)\approx -0,6311\cdot 0,25\approx -0,1578$ km $\approx -157,8$ m. Vậy độ sâu của hồ tại điểm sâu nhất khoảng $158$ m, khớp với đáp án 158 trong bảng đáp án (mã đề 0102, câu 2).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-21x+36=3(x^2-7x+12)=3(x-3)(x-4)$. Cho $f^{\prime }(x)=0$ được $x=3$ hoặc $x=4$. Vì hệ số $a=3>0$, hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ nhỏ hơn... xét dấu: $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<3$, $f^{\prime }(x)<0$ khi $3<x<4$, $f^{\prime }(x)>0$ khi $x>4$. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x=4$ (cực đại tại $x=3$). Đáp án C, khớp với đáp án nguồn (đề 0102, câu 9: C).

Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$.
$f(x)=(x-2)+\frac{2}{x-2}$
$f^{\prime }(x)=1-\frac{2}{(x-2{)}^2}=0\Rightarrow x=2\pm \sqrt{2}$.
Bảng biến thiên



a) Sai. Điểm cực tiểu của hàm số là $x=2+\sqrt{2}$.
b) Đúng. Giá trị cực đại của hàm số là $y_{CD}=-2\sqrt{2}$.
c) Sai. Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là $A\left(2-\sqrt{2};-2\sqrt{2}\right)$, $B\left(2+\sqrt{2};2\sqrt{2}\right)$. Khoảng cách giữa hai điểm cực trị là: $AB=2\sqrt{10}$.
d) Đúng. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là $d:y=2x-4$. Thay tọa độ điểm $M(1;-2)$ thấy thỏa mãn. Vậy $M\in d$.
a) Sai. Điểm cực tiểu của hàm số là $x=2+\sqrt{2}$.
b) Đúng. Giá trị cực đại của hàm số là $y_{CD}=-2\sqrt{2}$.
c) Sai. Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là $A\left(2-\sqrt{2};-2\sqrt{2}\right)$, $B\left(2+\sqrt{2};2\sqrt{2}\right)$. Khoảng cách giữa hai điểm cực trị là: $AB=2\sqrt{10}$.
d) Đúng. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là $d:y=2x-4$. Thay tọa độ điểm $M(1;-2)$ thấy thỏa mãn. Vậy $M\in d$.

$C^{\prime }(t)=20e^{-0,2t}\left[1,2e^{-t}-0,2\right]=0\iff t=\ln 6$.
Ta có: $C(0)=0$; $C(\ln 6)\approx 11,64$; $C(10)\approx 2,71$.
Vậy $C(t)$ max tại $t=\ln 6$. Suy ra $b=6$.

Ta có: $f^{\prime }(x)=3x^2-21x+36=0\iff x=3$ hoặc $x=4$.
Lập bảng biến thiên.
Điểm cực tiểu của hàm số là $x=4$.

Từ bảng biến thiên, hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$ với $y=5$, nên giá trị cực tiểu của hàm số là $5$. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)$ qua từng điểm: tại $x=-2$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=-2$ là điểm cực tiểu. Tại $x=1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên là điểm cực đại. Tại $x=2$, $f^{\prime }$ không xác định (ký hiệu $\Vert$) nhưng hàm số xác định trên $\mathbb{R}$ và $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$, nên $x=2$ cũng là điểm cực tiểu. Tại $x=3$, $f^{\prime }$ không đổi dấu ($+$ rồi $+$) nên không phải điểm cực trị. Vậy hàm số có 2 điểm cực tiểu (tại $x=-2$ và $x=2$), khớp với đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị cắt trục hoành tại O(0;0), A(2;0), B(3;0) (vì OA=2, AB=1). Vậy $f(x)=ax(x-2)(x-3)$. Có $f^{\prime }(x)=a(3x^2-10x+6)=0\Rightarrow x=\frac{5\pm \sqrt{7}}{3}$. Đỉnh đồi tại $x_1=\frac{5-\sqrt{7}}{3}\approx 0,7847$ với $f(x_1)=a\cdot x_1(x_1-2)(x_1-3)\approx 2,1127a=0,55$ (km) $\Rightarrow a\approx 0,26033$. Điểm sâu nhất của hồ tại $x_2=\frac{5+\sqrt{7}}{3}\approx 2,5486$: $f(x_2)=a\cdot x_2(x_2-2)(x_2-3)\approx -0,6312\cdot 0,26033\approx -0,16434$ km $\approx 164,3$ m. Độ sâu lớn nhất khoảng 164 m, khớp đáp án 164.