Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=x^2-4x+3$, $y^{\prime }=0\iff x=1$ hoặc $x=3$. Vì hệ số $a=\frac{1}{3}>0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=3$. Giá trị cực tiểu: $y(3)=\frac{1}{3}(27)-2(9)+3(3)+1=9-18+9+1=1$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

Từ đồ thị của f'(x): f' cắt trục hoành tại x = -3 và x = 1, đạt cực đại tại x = -2 (giá trị dương) và cực tiểu tại x = 0 (giá trị -4). Suy ra f'(x) < 0 trên (-∞; -3) ∪ (-2; 1), f'(x) > 0 trên (-3; -2) ∪ (1; +∞).
a) Trên (-∞; -2), f' đổi dấu tại x = -3 nên f không đồng biến trên toàn khoảng này → sai.
b) f' đổi dấu từ + thành - qua x = -2 (cực đại của f) và từ - thành + qua x = 1 (cực tiểu của f) → f có đúng 2 điểm cực trị → đúng.
c) Trên [-3; 1], f đồng biến trên [-3; -2] và nghịch biến trên [-2; 1] nên GTLN của f bằng f(-2) → đúng.
d) Viết f'(x) = a(x + 3)(x + 2)(x - 1) thì g(x) = 1/[a(x + 3)(x - 1)]: có 2 tiệm cận đứng x = -3, x = 1 và 1 tiệm cận ngang y = 0, tổng 3 đường tiệm cận → sai.
a) Từ đồ thị, f'(x) cắt trục hoành tại x = -3, f'(x) < 0 trên (-∞; -3) và f'(x) > 0 trên (-3; -2). Do đó f nghịch biến trên (-∞; -3) và đồng biến trên (-3; -2), nên f không đồng biến trên khoảng (-∞; -2). Khẳng định sai.
b) Từ đồ thị: f'(x) đổi dấu từ + thành - qua x = -2 (f' đạt cực đại tại x = -2 với giá trị dương) nên x = -2 là điểm cực đại của f; f'(x) đổi dấu từ - thành + qua x = 1 nên x = 1 là điểm cực tiểu của f. Vậy f có đúng hai điểm cực trị. Khẳng định đúng.
c) Trên đoạn [-3; 1]: f'(x) > 0 trên (-3; -2) nên f đồng biến trên [-3; -2]; f'(x) < 0 trên (-2; 1) nên f nghịch biến trên [-2; 1]. Do đó f đạt giá trị lớn nhất tại x = -2, tức GTLN bằng f(-2). Khẳng định đúng.
d) Từ đồ thị, f'(x) là hàm bậc ba có ba nghiệm đơn x = -3, x = -2, x = 1, nên viết f'(x) = a(x + 3)(x + 2)(x - 1) với a ≠ 0. Khi đó g(x) = (x + 2)/[a(x + 3)(x + 2)(x - 1)] = 1/[a(x + 3)(x - 1)]. Đồ thị g có hai tiệm cận đứng x = -3, x = 1 và một tiệm cận ngang y = 0, tức tất cả 3 đường tiệm cận. Khẳng định sai.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=8x^3-8x=8x(x-1)(x+1)$. $y^{\prime }=0\iff x=0,x=\pm 1$. Xét dấu $y^{\prime }$: $y^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;-1)$, $y^{\prime }<0$ trên $(-1;0)$, $y^{\prime }>0$ trên $(0;1)$, $y^{\prime }<0$ trên $(1;+\infty )$. Hàm số đạt cực đại tại $x=0$ với $y(0)=4$ (cực tiểu tại $x=\pm 1$ với $y=2$). Vậy giá trị cực đại là $4$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f^{\prime }(x)=(x-1)(x-2{)}^2(x-3{)}^3(x-4{)}^4$. Nghiệm của $f^{\prime }(x)$ là $x=1,2,3,4$. Điểm cực trị chỉ xảy ra tại nơi $f^{\prime }$ đổi dấu. Tại $x=1$: bậc lẻ (1), $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ (cực tiểu). Tại $x=2$: bậc chẵn (2), $f^{\prime }$ không đổi dấu. Tại $x=3$: bậc lẻ (3), $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ (cực đại). Tại $x=4$: bậc chẵn (4), $f^{\prime }$ không đổi dấu. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị tại $x=1$ và $x=3$, khớp với đáp án D.

Đáp án chính thức (bảng hướng dẫn chấm, mã đề 0102): a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$ trên $\mathbb{R}\setminus \{2\}$: tại $x=-1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=-1$ là điểm cực đại; tại $x=0$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=0$ là điểm cực tiểu; tại $x=2$ hàm số không xác định nên không phải điểm cực trị (dù $f^{\prime }$ đổi dấu qua $x=2$); tại $x=3$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=3$ là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có 3 điểm cực trị: $x=-1,0,3$. Tổng tất cả các điểm cực trị: $-1+0+3=2$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 0102, Câu 3: 2).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $f^{\prime }(x)$ cắt trục hoành tại ba điểm $x=-1$, $x=0$ và $x=2$. Xét dấu $f^{\prime }$: với $x<-1$ thì $f^{\prime }(x)<0$; với $-1<x<0$ thì $f^{\prime }(x)>0$; với $0<x<2$ thì $f^{\prime }(x)<0$; với $x>2$ thì $f^{\prime }(x)>0$. Điểm cực tiểu xảy ra khi $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương, tức tại $x=-1$ và $x=2$ (tại $x=0$, $f^{\prime }$ đổi từ dương sang âm nên là điểm cực đại). Vậy hàm số có $2$ điểm cực tiểu, đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0102, câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=-1$ (trước $x=-1$ thì $f^{\prime }<0$, sau $x=-1$ thì $f^{\prime }>0$), đồng thời $f(x)$ giảm rồi tăng, đạt giá trị $-3$ tại $x=-1$. Vậy điểm cực tiểu của hàm số là $x=-1$. Tại $x=2$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm nên đó là điểm cực đại. Đáp án khớp với đáp án nguồn (D).

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)=(x+2)x^2(x-1{)}^3$: với $x<-2$, $f^{\prime }>0$; với $-2<x<0$, $f^{\prime }<0$; với $0<x<1$, $f^{\prime }<0$ (do $x^2>0$ và $(x-1{)}^3<0$); với $x>1$, $f^{\prime }>0$. Tại $x=-2$: $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên là điểm cực đại. Tại $x=0$: $f^{\prime }$ không đổi dấu (vẫn âm) nên không phải cực trị. Tại $x=1$: $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có $2$ điểm cực trị, đáp án C (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, hàm số có tiệm cận đứng tại $x=2$ (dấu || và $y\to -\infty |+\infty$), nên tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$, không phải $\mathbb{R}\setminus \{-2\}$ → a) Sai. Tại $x=1$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ thành $-$ nên $x=1$ là điểm cực đại, giá trị cực đại bằng $f(1)=1$ → b) Đúng. Hàm số chỉ có 2 điểm cực trị là $x=1$ và $x=3$ ($x=2$ không thuộc tập xác định) → c) Sai. Trên khoảng $(-\infty ;1)$ hàm số đồng biến, mà $-5<0<1$ nên $f(-5)<f(0)$ → d) Đúng. Kết quả khớp với đáp án chính thức: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số gián đoạn tại $x=2$ (tiệm cận đứng), nên $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$, không phải $\mathbb{R}\setminus \{-2\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=1$ nên hàm số đạt cực đại tại $x=1$, giá trị cực đại bằng $f(1)=1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số chỉ có 2 điểm cực trị: $x=1$ (cực đại) và $x=3$ (cực tiểu); $x=2$ không thuộc tập xác định.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-\infty ;1)$ hàm số đồng biến, $-5<0$ nên $f(-5)<f(0)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$ trên $\mathbb{R}\setminus \{1\}$: tại $x=-1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=-1$ là điểm cực đại; tại $x=0$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=0$ là điểm cực tiểu; tại $x=2$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=2$ là điểm cực tiểu. Tại $x=1$ hàm số không xác định nên không phải điểm cực trị. Vậy tổng các điểm cực trị là $-1+0+2=1$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 0101, Phần III Câu 4 bằng $1$).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=1$ (hàm tăng rồi giảm), nên hàm số đạt cực đại tại $x=1$ với giá trị cực đại $f(1)=5$. Tại $x=0$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên đó là điểm cực tiểu. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Câu 3, mã đề 0101: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }$ đổi dấu $+$ thành $-$ tại $x=-2$ và $x=2$ (hai điểm cực đại, giá trị cực đại bằng $3$), và đổi dấu $-$ thành $+$ tại $x=0$ (một điểm cực tiểu, giá trị cực tiểu bằng $-1$). Vậy hàm số có ba điểm cực trị, hai điểm cực đại, giá trị cực tiểu bằng $-1$. Mệnh đề sai là C vì giá trị cực đại bằng $3$ chứ không phải $-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu: $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;0)$ (trừ $x=-1$ là điểm không xác định của đạo hàm, hàm vẫn giảm), $f^{\prime }(0)=0$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(0;1)$, $f^{\prime }(1)=0$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(1;+\infty )$.
- A sai: trên $[-1;1]$ hàm giảm trên $[-1;0]$ rồi tăng trên $[0;1]$ nên $f(0)$ là giá trị nhỏ nhất, không phải lớn nhất; max đạt tại $f(-1)$ hoặc $f(1)$.
- B đúng: trên $(0;+\infty )$ hàm tăng trên $(0;1)$, giảm trên $(1;+\infty )$, nên max đạt tại $x=1$: $\underset{(0;+\infty )}{\max }f(x)=f(1)$.
- C sai: trên $(-\infty ;-1)$ hàm nghịch biến, khoảng mở nên không đạt max (chỉ có supremum).
- D sai: trên $(0;1)$ hàm đồng biến, khoảng mở nên không đạt max.
Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c$. Hai điểm cực trị có hoành độ $x=-1$ và $x=1$ nên $-1$ và $1$ là nghiệm của $y^{\prime }=0$. Theo Vi-ét: tổng nghiệm $=-\frac{2b}{3a}=0\Rightarrow b=0$; tích nghiệm $=\frac{c}{3a}=-1\Rightarrow c=-3a$.

Điểm cực trị nằm trên đồ thị:
$f(-1)=-a-c+d=3$; $f(1)=a+c+d=-1$.
Cộng hai phương trình: $2d=2\Rightarrow d=1$. Suy ra $a+c=-2$, kết hợp $c=-3a$ được $-2a=-2\Rightarrow a=1$, $c=-3$.

Vậy $S=a^2+b^2+c^2+d^2=1+0+9+1=11$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+(m-1)x+3-2m}{x+m}$, điều kiện $x\ne -m$. Tính đạo hàm: $y^{\prime }=\frac{(2x+m-1)(x+m)-\left(x^2+(m-1)x+3-2m\right)}{(x+m{)}^2}=\frac{x^2+2mx+m^2+m-3}{(x+m{)}^2}$.

Để hàm số đạt cực trị tại $x=-1$ thì $y^{\prime }(-1)=0$ và $-1\ne -m$ (tức $m\ne 1$):
$$1-2m+m^2+m-3=0\iff m^2-m-2=0\iff m=2\text{ hoặc }m=-1.$$

Xét $m=2$: $y^{\prime }=\frac{x^2+4x+3}{(x+2{)}^2}=\frac{(x+1)(x+3)}{(x+2{)}^2}$. Bảng dấu: $y^{\prime }>0$ khi $x<-3$, $y^{\prime }<0$ khi $-3<x<-1$, $y^{\prime }>0$ khi $x>-1$ (với $x\ne -2$). Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương qua $x=-1$, nên hàm số đạt CỰC TIỂU tại $x=-1$: thỏa mãn.

Xét $m=-1$: $y^{\prime }=\frac{x^2-2x-3}{(x-1{)}^2}=\frac{(x+1)(x+3)}{(x-1{)}^2}$. Tương tự, $y^{\prime }<0$ trên $(-3;-1)$ và $y^{\prime }>0$ trên $(-1;1)$ và $(1;+\infty )$, nên đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương qua $x=-1$: hàm số đạt CỰC TIỂU tại $x=-1$: thỏa mãn.

Cả hai giá trị $m=2$ và $m=-1$ đều thỏa mãn (đều nguyên), tổng bằng $2+(-1)=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f^{\prime }(x)=x(x-1{)}^2(x+2{)}^4$. Nghiệm của $f^{\prime }$ là $x=0$ (bội 1), $x=1$ (bội 2), $x=-2$ (bội 4). Dấu của $f^{\prime }$ chỉ đổi khi nghiệm có bội lẻ, tức chỉ tại $x=0$: với $x<0$ thì $f^{\prime }(x)<0$, với $x>0$ (mọi $x\ne 1,-2$) thì $f^{\prime }(x)>0$. Tại $x=0$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương nên $f$ đạt cực tiểu tại $x=0$. Tại $x=1$ và $x=-2$, $f^{\prime }$ không đổi dấu (bội chẵn) nên không phải điểm cực trị. Vậy hàm số có đúng 1 điểm cực trị → chọn A. Kết quả trùng với đáp án nguồn (A).

Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$: $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=-3$, $x=-1$, $x=1$ (và $x=3$). Quan sát dấu của $f^{\prime }$: $f^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua $x=-3$ (điểm cực đại), từ âm sang dương khi qua $x=-1$ (điểm cực tiểu), và từ dương sang âm khi qua $x=1$ (điểm cực đại). Vậy điểm cực tiểu của hàm số $y=f(x)$ là $x=-1$. Khớp với bảng đáp án chính thức (Mã đề 110, Câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=3x^2+8x-3$. Giải $y^{\prime }=0$: $3x^2+8x-3=0\iff x=\frac{-8\pm \sqrt{64+36}}{6}=\frac{-8\pm 10}{6}$, tức $x=\frac{1}{3}$ hoặc $x=-3$. Vì hệ số $a=3>0$, hàm số đạt cực đại tại $x=-3$ và cực tiểu tại $x=\frac{1}{3}$. Giá trị cực đại: $y(-3)=(-3{)}^3+4(-3{)}^2-3(-3)+4=-27+36+9+4=22$. Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=-3$, giá trị cực đại là 22, khớp với đáp án B trong bảng đáp án (Mã đề 110, Câu 9 = B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: f'(0)=0, f(0)=2 (cực đại), f'(3)=0, f(3)=-4 (cực tiểu), hàm tăng–giảm–tăng nên a>0.
a) Đúng: đạo hàm của đa thức bậc ba là f'(x)=3ax^2+2bx+c với mọi x.
b) Đúng: hai điểm cực trị là M(0;2) và N(3;-4) đúng như bảng biến thiên.
c) Sai: f'(x)=3ax(x-3)=3ax^2-9ax nên b=-9a/2, c=0; f(0)=d=2; f(3)=27a-81a/2+2=-27a/2+2=-4 ⇒ a=4/9. Vậy f(1)=a+b+c+d=4/9-2+0+2=4/9≠2.
d) Sai: f(-1)=-4/9-9/2+2=-53/18, nên 9f(-1)-1=-55/2, do đó g(-1)=f(-55/2) là một số rất lớn (âm), không bằng 2.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm của f(x)=ax^3+bx^2+cx+d là f'(x)=3ax^2+2bx+c với mọi x∈ℝ.
b) (AI giải đề cho tôi)
Bảng biến thiên cho cực đại tại x=0, f(0)=2 và cực tiểu tại x=3, f(3)=-4, nên hai điểm cực trị là M(0;2) và N(3;-4).
c) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=3ax(x-3) ⇒ b=-9a/2, c=0; d=2; f(3)=-27a/2+2=-4 ⇒ a=4/9. Vậy a+b+c+d=f(1)=4/9≠2.
d) (AI giải đề cho tôi)
f(-1)=-53/18 ⇒ 9f(-1)-1=-55/2 ⇒ g(-1)=f(-55/2)≠2.