Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị ở trang 4, hàm số $y=f(x)$ đạt cực đại tại $x=0$ với giá trị $f(0)=1$ (đỉnh cao nhất gần gốc tọa độ), và đạt cực tiểu tại $x=2$ với giá trị $f(2)=-3$. Câu hỏi yêu cầu giá trị điểm cực đại (giá trị $y$), nên đáp án là $1$. Lưu ý $-3$ là giá trị cực tiểu, còn $0$ và $2$ là hoành độ cực trị. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$ (dạng hàm bậc ba): hàm số giảm trên $(-\infty ;0)$, đạt giá trị nhỏ nhất $y=-4$ tại $x=0$, sau đó tăng trên $(0;2)$, đạt cực đại tại $x=2$, rồi giảm trên $(2;+\infty )$. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$: tại $x=-2$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=-2$ là điểm cực đại. Tại $x=0$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=0$ là điểm cực tiểu. Tại $x=2$, $f^{\prime }(x)=0$ nhưng $f^{\prime }$ không đổi dấu (trước và sau đều $+$) nên $x=2$ không phải điểm cực trị. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm bậc ba đi qua O(0;0), M(2;0), N(3;0) nên $f(x)=kx(x-2)(x-3)$. Ta có $f^{\prime }(x)=k(3x^2-10x+6)=0\Rightarrow x=\frac{5\pm \sqrt{7}}{3}$. Điểm cực đại (ngọn đồi) tại $x_1=\frac{5-\sqrt{7}}{3}\approx 0,7847$; điểm cực tiểu (chỗ sâu nhất của hồ) tại $x_2=\frac{5+\sqrt{7}}{3}\approx 2,5486$. Ngọn đồi cao $528m=0,528km$: $f(x_1)=k\cdot x_1(x_1-2)(x_1-3)\approx 2,1125k=0,528\Rightarrow k\approx 0,2499$. Độ sâu nhất của hồ tại điểm cực tiểu: $f(x_2)\approx 0,2499\cdot 2,5486\cdot 0,5486\cdot (-0,4514)\approx -0,1578km\approx -158m$. Vậy độ sâu nhất của hồ nước là $158$ mét.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{x^2-x+1}{x-1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x-1)(x-1)-(x^2-x+1)}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}$. Trên $(-\infty ;1)$: $y^{\prime }>0$ khi $x<0$, $y^{\prime }<0$ khi $0<x<1$ nên $x=0$ là điểm cực đại, $a=y(0)=-1$. Trên $(1;+\infty )$: $y^{\prime }<0$ khi $1<x<2$, $y^{\prime }>0$ khi $x>2$ nên $x=2$ là điểm cực tiểu, $b=y(2)=\frac{4-2+1}{1}=3$. Vậy $3a+2b=3(-1)+2(3)=3$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Xét bảng dấu của $f^{\prime }(x)$: tại $x=1$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=1$ là điểm cực tiểu. Tại $x=2$, $f^{\prime }(x)$ không xác định nhưng có cùng dấu $+$ hai bên nên không phải điểm cực trị. Tại $x=3$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=3$ là điểm cực đại. Tại $x=4$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=4$ là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có 2 điểm cực tiểu ($x=1$ và $x=4$) và 1 điểm cực đại ($x=3$), tức tổng cộng 3 điểm cực trị. Do đó khẳng định đúng là 'Hàm số có 2 điểm cực tiểu' (đáp án A), khớp với đáp án nguồn (Câu 6, mã đề 1202: A).

(AI giải đề cho tôi)
Với $y=\frac{x^2-x+1}{x-1}$, ta có $y^{\prime }=\frac{(2x-1)(x-1)-(x^2-x+1)}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}$. Trên tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{1\}$, $y^{\prime }=0$ tại $x=0$ và $x=2$. Xét dấu: $y^{\prime }>0$ khi $x<0$, $y^{\prime }<0$ khi $0<x<1$ hoặc $1<x<2$, $y^{\prime }>0$ khi $x>2$. Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=0$ với $a=y(0)=\frac{1}{-1}=-1$, và cực tiểu tại $x=2$ với $b=y(2)=\frac{4-2+1}{1}=3$. Do đó $3a+2b=3(-1)+2(3)=-3+6=3$, khớp với đáp án nguồn (Câu 6, mã đề 1201: 3).

(AI giải đề cho tôi)
Xét bảng dấu của $f^{\prime }(x)$: tại $x=1$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=1$ là điểm cực tiểu. Tại $x=2$, $f^{\prime }(x)$ không xác định ($\Vert$) nhưng giữ nguyên dấu $+$ trên hai bên nên không phải điểm cực trị. Tại $x=3$, $f^{\prime }(x)$ không xác định và đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=3$ là điểm cực đại. Tại $x=4$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=4$ là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có 2 điểm cực tiểu ($x=1$, $x=4$) và 1 điểm cực đại ($x=3$), tức có 3 điểm cực trị. Do đó khẳng định đúng là 'Hàm số có 2 điểm cực tiểu' (đáp án A), khớp với đáp án nguồn A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=-x^3+3x^2+5$, $y^{\prime }=-3x^2+6x=-3x(x-2)$. $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Vì hệ số $a=-1<0$, hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ với $y=5$, tức $A(0;5)$. Suy ra $OA=\sqrt{0^2+5^2}=5$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=2$, nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$ (tại $x=0$ hàm đạt cực đại vì $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$). Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số là hàm bậc ba với điểm cực tiểu tại $x=0$ (giá trị $-1$) và điểm cực đại tại $x=2$ (giá trị $3$). a) Trên khoảng $(2;+\infty )$ hàm nghịch biến nên $f(3)<f(2)=3$, mệnh đề đúng. b) Đồ thị có 1 điểm cực tiểu ($x=0$) và 1 điểm cực đại ($x=2$), vậy hàm số có 2 điểm cực trị, đúng. c) Trên đoạn $[0;2]$ hàm đồng biến từ $f(0)=-1$ đến $f(2)=3$ nên GTLN trên $[0;2]$ bằng $3$, đúng. d) Trên khoảng $(-1;0)$ hàm nghịch biến (đi xuống đến cực tiểu tại $x=0$), nên hàm không đồng biến trên toàn khoảng $(-1;2)$, sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên $(2;+\infty )$ nên $f(3)<f(2)=3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có một điểm cực tiểu tại $x=0$ và một điểm cực đại tại $x=2$, tổng cộng 2 điểm cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;2]$ hàm đồng biến, $f(0)=-1$, $f(2)=3$, nên GTLN bằng 3.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-1;0)$ hàm nghịch biến (đi xuống đến cực tiểu tại $x=0$), nên hàm không đồng biến trên toàn khoảng $(-1;2)$.

(AI giải đề cho tôi)
TXĐ: $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. $y^{\prime }=\frac{(2x-4)(x+1)-(x^2-4x+1)}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-5}{(x+1{)}^2}$. Hai điểm cực trị là nghiệm của $x^2+2x-5=0$ (phân mẫu khác 0, delta $>0$), nên theo Vi-ét $x_1+x_2=-2$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=1$, nên hàm số đạt cực đại tại $x=1$ (đạt cực tiểu tại $x=2$ vì $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$).

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-4x^3+16x=-4x(x^2-4)=0\Rightarrow x=0,x=\pm 2$. Xét dấu $y^{\prime }$: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=0$ (vì $y^{\prime }<0$ khi $x<0$ gần 0 và $y^{\prime }>0$ khi $0<x<2$), nên $x=0$ là điểm cực tiểu. Tại $x=\pm 2$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên là điểm cực đại. Giá trị cực tiểu: $y_{ct}=y(0)=2025$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=x^3-3x^2-9x$. Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)$, nên $f^{\prime }(x)=0\iff x=-1$ hoặc $x=3$.
- Ý a): Hai điểm cực trị có hoành độ $x=-1<0$ và $x=3>0$, nằm về hai phía của trục tung → đúng.
- Ý b): $f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9$ → đúng.
- Ý c): $f(-1)=-1-3+9=5$, $f(3)=27-27-27=-27$. Hệ số góc đường thẳng qua hai điểm cực trị $(-1;5)$ và $(3;-27)$ là $k=\frac{-27-5}{3-(-1)}=\frac{-32}{4}=-8$ → đúng.
- Ý d): Trên $[0;5]$: $f(0)=0$, $f(3)=-27$, $f(5)=125-75-45=5$. Giá trị lớn nhất bằng $5$, không phải $-5$ → sai.
a) $f^{\prime }(x)=0\iff x=-1$ hoặc $x=3$; hai điểm cực trị có hoành độ $-1<0$ và $3>0$, nằm về hai phía của trục tung.
b) Đạo hàm $f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9$ tính đúng.
c) Hai điểm cực trị $(-1;5)$ và $(3;-27)$, hệ số góc $k=\frac{-27-5}{4}=-8$.
d) Trên $[0;5]$: $f(0)=0$, $f(3)=-27$, $f(5)=5$ nên GTLN bằng $5$, không phải $-5$.

(AI giải đề cho tôi)
Vi phân: $h(x)=\frac{x^2-2x-1}{x+1}=x-3+\frac{2}{x+1}$ (tính chia đa thức). a) $h^{\prime }(x)=1-\frac{2}{(x+1{)}^2}=0\iff (x+1{)}^2=2\iff x=-1\pm \sqrt{2}$. Tại $x=-1+\sqrt{2}$: $y=2\sqrt{2}-4$; tại $x=-1-\sqrt{2}$: $y=-2\sqrt{2}-4$. Khoảng cách $=\sqrt{(2\sqrt{2}{)}^2+(4\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6,32\ne 10$ → sai. b) ${\lim }_{x\to -\infty }(x-3+\frac{2}{x+1})=-\infty$ → sai. c) Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{x^2-2x-1}{x+1}=-2x\iff x^2-2x-1=-2x^2-2x\iff 3x^2-1=0\iff x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ (đều khác $-1$), hai nghiệm phân biệt → đúng. d) Vì $h(x)=x-3+\frac{2}{x+1}$ với ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2}{x+1}=0$, tiệm cận xiên là $y=x-3$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hai điểm cực trị là $(-1+\sqrt{2};2\sqrt{2}-4)$ và $(-1-\sqrt{2};-2\sqrt{2}-4)$; khoảng cách $=\sqrt{8+32}=2\sqrt{10}\approx 6,32\ne 10$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$h(x)=x-3+\frac{2}{x+1}\to -\infty$ khi $x\to -\infty$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\frac{x^2-2x-1}{x+1}=-2x\iff 3x^2-1=0$ có hai nghiệm phân biệt $x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$, đều thuộc tập xác định.
d) (AI giải đề cho tôi)
$h(x)=x-3+\frac{2}{x+1}$ và ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2}{x+1}=0$ nên tiệm cận xiên là $y=x-3$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3+6x^2-15x+2033$ có $y^{\prime }=3x^2+12x-15=3(x-1)(x+5)$. $y^{\prime }=0\iff x=1$ hoặc $x=-5$. Vì hệ số $a=3>0$, hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$ (điểm cực đại tại $x=-5$). Giá trị cực tiểu: $y(1)=1+6-15+2033=2025$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2-4x+5}{x-2}=x-2+\frac{1}{x-2}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{2\}$. Khi đó $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-2{)}^2}=\frac{(x-2{)}^2-1}{(x-2{)}^2}=\frac{x(x-4)}{(x-2{)}^2}$. $y^{\prime }=0\iff x=1$ hoặc $x=4$... kiểm tra lại: $(x-2{)}^2=1\iff x=1$ hoặc $x=3$. Xét dấu: với $x<1$, $y^{\prime }>0$; với $1<x<2$, $y^{\prime }<0$ nên $x=1$ là điểm cực đại, $y(1)=\frac{1-4+5}{-1}=-2$. Với $2<x<3$, $y^{\prime }<0$; $x>3$, $y^{\prime }>0$ nên $x=3$ là điểm cực tiểu, $y(3)=\frac{9-12+5}{1}=2$. Vậy điểm cực đại là $M(1;-2)$, chọn đáp án C.

Lời giải. Đáp số: 6.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số tăng rồi giảm quanh $x=-1$ với giá trị $f(-1)=3$, nên điểm cực đại có hoành độ $x=-1$. Điểm cực tiểu tại $x=1$ với $f(1)=-1$. Hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ $x=-1$, do đó chọn C. Lưu ý: cực đại là điểm trên trục hoành (giá trị của $x$), không phải $y=3$ (giá trị cực đại) hay điểm $M(-1;3)$ theo cách diễn đạt của đề.