Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^3}{3}-2x^2+3x-3$ là hàm đa thức nên tập xác định $D=\mathbb{R}$ (a đúng).
$y^{\prime }=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$; $y^{\prime }<0$ khi $x\in (1;3)$ nên hàm nghịch biến trên $(1;3)$, còn trên $(0;1)$ hàm đồng biến, do đó khẳng định b sai.
$y^{\prime \prime }=2x-4$, $y^{\prime \prime }(1)=-2<0$ nên $x=1$ là điểm cực đại, $y_{CD}=y(1)=\frac{1}{3}-2+3-3=-\frac{5}{3}$ (c đúng).
Trên đoạn $[-2;4]$: $y(-2)=-\frac{59}{3}$, $y(1)=-\frac{5}{3}$, $y(3)=-3$, $y(4)=\frac{64}{3}-32+12-3=\frac{64}{3}-23=-\frac{5}{3}$. So sánh: ${\max }_{[-2;4]}y=-\frac{5}{3}$ tại $x=1$ và $x=4$ (d đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Hàm đa thức nên xác định trên toàn $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $y^{\prime }=x^2-4x+3<0$ chỉ trên $(1;3)$, còn trên $(0;1)$ hàm đồng biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $x=1$ là điểm cực đại, $y(1)=-\frac{5}{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) So sánh $y(-2)=-\frac{59}{3}$, $y(1)=-\frac{5}{3}$, $y(3)=-3$, $y(4)=-\frac{5}{3}$, giá trị lớn nhất là $-\frac{5}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị có điểm cực tiểu $(-1;-2)$ và điểm cực đại $(1;2)$.
a) Đồ thị có hai cực trị (một cực đại, một cực tiểu) → Đúng.
b) Giá trị cực đại bằng $2$ (tại $x=1$), không phải $1$ → Sai.
c) Trên khoảng $(-1;1)$ đồ thị đi lên từ điểm cực tiểu đến điểm cực đại nên hàm số đồng biến → Đúng.
d) Hàm $y=x^3-3x$ có cực đại tại $x=-1$ với giá trị $2$ và cực tiểu tại $x=1$ với giá trị $-2$, trái với hình vẽ (cực đại tại $x=1$, giá trị $2$; thực chất đồ thị khớp với $y=3x-x^3$) → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có một điểm cực tiểu tại $x=-1$ và một điểm cực đại tại $x=1$, tức là có hai cực trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị cực đại của hàm số bằng $2$ (tại $x=1$), không phải $1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên khoảng $(-1;1)$, đồ thị đi lên từ điểm cực tiểu $(-1;-2)$ đến điểm cực đại $(1;2)$ nên hàm số đồng biến.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=x^3-3x$ có cực đại tại $x=-1$ (giá trị $2$) và cực tiểu tại $x=1$ (giá trị $-2$), trái với hình vẽ nơi cực đại tại $x=1$ có giá trị $2$ và cực tiểu tại $x=-1$ có giá trị $-2$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=0$ và $x=2$; $f$ giảm trên $(-\infty ;0)$, tăng trên $(0;2)$, giảm trên $(2;+\infty )$; $f(0)=-1$ (cực tiểu), $f(2)=3$ (cực đại), ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=\pm \infty$.

a) Đúng: hàm số có 2 điểm cực trị là $x=0$ và $x=2$.

b) Đúng: giá trị cực đại $y_{CĐ}=f(2)=3$.

c) Sai: nếu đồ thị có tâm đối xứng thì tâm phải là trung điểm của điểm cực tiểu $(0;-1)$ và điểm cực đại $(2;3)$, tức $I(1;1)$, không phải $I(1;-1)$.

d) Sai: xét $f(x)=1$. Trên $(-\infty ;0)$: $f$ giảm từ $+\infty$ xuống $-1$ nên có 1 nghiệm; trên $(0;2)$: $f$ tăng từ $-1$ lên $3$ nên có 1 nghiệm; trên $(2;+\infty )$: $f$ giảm từ $3$ xuống $-\infty$ nên có 1 nghiệm. Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt, không phải 2.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=0$ tại $x=0$ và $x=2$ với dấu đổi chiều biến thiên, nên hàm có 2 điểm cực trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=2$ hàm đạt cực đại với giá trị $f(2)=3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng (nếu có) phải là trung điểm của điểm cực tiểu $(0;-1)$ và điểm cực đại $(2;3)$, tức là $(1;1)$, không phải $I(1;-1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên mỗi khoảng $(-\infty ;0)$, $(0;2)$, $(2;+\infty )$, đường thẳng $y=1$ đều cắt đồ thị đúng 1 lần (vì $1$ nằm giữa giá trị hai đầu của mỗi khoảng), nên phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$: $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;-3)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-3;-1)$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-1;1)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(1;+\infty )$.

a) $f^{\prime }$ đổi dấu tại $x=-3$ (từ $-$ sang $+$: cực tiểu), tại $x=-1$ (từ $+$ sang $-$: cực đại), tại $x=1$ (từ $-$ sang $+$: cực tiểu). Vậy $f(x)$ có ba điểm cực trị → Đúng.

b) Trên khoảng $(-3;-1)$ có $f^{\prime }(x)>0$ nên hàm số đồng biến, không nghịch biến → Sai.

c) Với $y=f(5-2x)$: $y^{\prime }=-2f^{\prime }(5-2x)=0\iff 5-2x\in \{-3;-1;1\}\iff x\in \{4;3;2\}$. Tại các điểm này $f^{\prime }$ đổi dấu nên $y$ có ba điểm cực trị $x=2;3;4$, đều là số nguyên → Đúng.

d) $y^{\prime }=-2f^{\prime }(5-2x)$. Với $x\in (4;5)$ thì $5-2x\in (-5;-3)\subset (-\infty ;-3)$, nơi $f^{\prime }<0$, suy ra $y^{\prime }>0$: hàm số đồng biến trên $(4;5)$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }$ đổi dấu ba lần tại $x=-3;-1;1$ nên $f$ có ba điểm cực trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-3;-1)$ có $f^{\prime }(x)>0$ nên hàm đồng biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-2f^{\prime }(5-2x)=0\iff x\in \{2;3;4\}$, ba điểm cực trị đều nguyên.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\in (4;5)$, $5-2x\in (-5;-3)$ nơi $f^{\prime }<0$, nên $y^{\prime }=-2f^{\prime }(5-2x)>0$: đồng biến.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=\frac{x^2+x-m}{x-2}$, TXĐ $\mathbb{R}\setminus \{2\}$. Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{x^2-4x+m-2}{(x-2{)}^2}$.
a) Sai: hàm số có tiệm cận đứng $x=2$ nên không thể nghịch biến trên $\mathbb{R}$; hơn nữa $f^{\prime }$ đổi dấu qua các nghiệm của $x^2-4x+m-2=0$ (khi có nghiệm).
b) Đúng: với $m=5$, $f^{\prime }(x)=\frac{x^2-4x+3}{(x-2{)}^2}=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-2{)}^2}$. Trên $(3;+\infty )$ ta có $f^{\prime }(x)>0$ nên hàm đồng biến trên khoảng này.
c) Sai: hàm có hai điểm cực trị khi phương trình $x^2-4x+m-2=0$ có hai nghiệm phân biệt khác $2$, tức $\Delta =16-4(m-2)=24-4m>0\iff m<6$ (với $m<6$ nghiệm khác 2 tự động). Vậy điều kiện là $m<6$, không phải $m>6$.
d) Sai: chia đa thức $f(x)=x+3+\frac{6-m}{x-2}$. Tại điểm cực trị $x_0$ có $x_0^2-4x_0+m-2=0\Rightarrow m=-x_0^2+4x_0+2$, suy ra $6-m=(x_0-2{)}^2$ và $y_0=x_0+3+(x_0-2)=2x_0+1$. Vậy hai điểm cực trị $A,B$ nằm trên đường thẳng $AB:2x-y+1=0$. Khoảng cách từ $O(0;0)$ đến $AB$ là $d=\frac{1}{\sqrt{5}}\ne \frac{3}{\sqrt{5}}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số có tiệm cận đứng $x=2$ và $f^{\prime }(x)=\frac{x^2-4x+m-2}{(x-2{)}^2}$ đổi dấu, nên hàm không nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=5$: $f^{\prime }(x)=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-2{)}^2}>0$ trên $(3;+\infty )$ nên hàm đồng biến trên khoảng này.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm có hai điểm cực trị khi $\Delta =24-4m>0\iff m<6$, không phải $m>6$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai điểm cực trị nằm trên đường thẳng $y=2x+1$, khoảng cách từ $O$ đến $AB$ là $\frac{1}{\sqrt{5}}\ne \frac{3}{\sqrt{5}}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $f(-1)=3$, $f(1)=-1$, $f(0)=1$, và $f^{\prime }(\pm 1)=0$. Với $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$: $d=1$; $f(1)=a+b+c+1=-1\Rightarrow a+b+c=-2$; $f(-1)=-a+b-c+1=3\Rightarrow -a+b-c=2$. Cộng lại được $b=0$, suy ra $a+c=-2$. Vì $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+c$ có nghiệm $x=\pm 1$ nên $3a+c=0\Rightarrow c=-3a$, do đó $a-3a=-2\Rightarrow a=1,c=-3$. Vậy $f(x)=x^3-3x+1$.

a) Sai: hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$ (cực đại tại $x=-1$).

b) Đúng: $\max f=3$, $\min f=-1$, đường thẳng $y=2$ nằm giữa $-1$ và $3$ nên cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt.

c) Sai: hàm số là $f(x)=x^3-3x+1$, không phải $x^3-3x+2$ (vì $f(0)=1$).

d) Đúng: $y=f(4-x)+1$ đạt cực đại khi $4-x=-1\Rightarrow x=5$, giá trị $y=f(-1)+1=3+1=4$, nên điểm cực đại là $(5;4)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ (giá trị 3) và cực tiểu tại $x=1$ (giá trị -1). Thực tế $f(x)=x^3-3x+1$ nên $f^{\prime }(x)=3x^2-3$, cực tiểu tại $x=1$, không phải $x=-1$. Phát biểu sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Cực đại $f(-1)=3$, cực tiểu $f(1)=-1$. Vì $-1<2<3$, phương trình $f(x)=2$ có 3 nghiệm phân biệt. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Xác định từ đồ thị: $f(0)=1$ nhưng $x^3-3x+2$ tại $x=0$ bằng 2. Hàm số đúng là $f(x)=x^3-3x+1$. Phát biểu sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=f(4-x)+1$ đạt cực đại khi $4-x=-1\Rightarrow x=5$, khi đó $y=f(-1)+1=3+1=4$. Điểm cực đại là $(5;4)$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=mx+\frac{1}{x}$ có $y^{\prime }=m-\frac{1}{x^2}$. Hàm số có cực trị khi và chỉ khi $m>0$; khi đó $y^{\prime }=0\iff x^2=\frac{1}{m}\iff x=\pm \frac{1}{\sqrt{m}}$. Vì $y^{\prime \prime }=\frac{2}{x^3}>0$ tại $x=\frac{1}{\sqrt{m}}>0$ nên điểm cực tiểu là $\left(\frac{1}{\sqrt{m}},2\sqrt{m}\right)$ (vì $y=\frac{m}{\sqrt{m}}+\sqrt{m}=2\sqrt{m}$). Tiệm cận xiên của đồ thị là $y=mx$, tức đường thẳng $mx-y=0$. Khoảng cách từ điểm cực tiểu đến tiệm cận xiên: $$d=\frac{\left|m\cdot \frac{1}{\sqrt{m}}-2\sqrt{m}\right|}{\sqrt{m^2+1}}=\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m^2+1}}.$$ Theo đề bài $d=\frac{1}{\sqrt{2}}$: $$\frac{m}{m^2+1}=\frac{1}{2}\iff m^2-2m+1=0\iff m=1.$$ Thử lại: $m=1>0$ thỏa điều kiện có cực trị, điểm cực tiểu $(1,2)$, khoảng cách đến $y=x$ là $\frac{|1-2|}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ đúng. Vậy $m=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x+m)(x+m)-(x^2+mx+1)}{(x+m{)}^2}=\frac{x^2+2mx+m^2-1}{(x+m{)}^2}$.
Hàm đạt cực tiểu tại $x=2$ nên $y^{\prime }(2)=0$: $4+4m+m^2-1=0\iff m^2+4m+3=0\iff m=-1$ hoặc $m=-3$ (cả hai đều thỏa $2+m\ne 0$).
- Với $m=-1$: $y^{\prime }=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$. $y^{\prime }>0$ khi $x<0$, $y^{\prime }<0$ khi $0<x<2$, $y^{\prime }>0$ khi $x>2$ (kể cả qua $x=1$ dấu của $y^{\prime }$ không đổi vì mẫu dương). Vậy hàm đạt cực đại tại $x=0$ và cực tiểu tại $x=2$: thỏa mãn.
- Với $m=-3$: $y^{\prime }=\frac{(x-2)(x-4)}{(x+3{)}^2}$. $y^{\prime }>0$ khi $x<2$, $y^{\prime }<0$ khi $2<x<4$, $y^{\prime }>0$ khi $x>4$. Vậy hàm đạt cực đại tại $x=2$: không thỏa mãn.
Kết luận: $m=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=-1$, nên hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ (đạt cực tiểu tại $x=2$). Đáp án A, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=x(x-1{)}^3(x+2{)}^4$. Nghiệm của $f^{\prime }(x)=0$ là $x=-2,x=0,x=1$. Xét dấu: $(x+2{)}^4\ge 0$ và không đổi dấu qua $x=-2$, nên tại $x=-2$ hàm số không đạt cực trị. Nhân tử $x(x-1{)}^3$ đổi dấu qua $x=0$ (từ $+$ sang $-$, cực đại) và qua $x=1$ (từ $-$ sang $+$, cực tiểu). Vậy hàm số có đúng 2 điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=-x+3$. Giải $f^{\prime }(x)=0$ được $x=3$. Xét dấu: với $x<3$ thì $f^{\prime }(x)>0$, với $x>3$ thì $f^{\prime }(x)<0$. Vậy hàm số đồng biến trên $(-\infty ;3)$ và nghịch biến trên $(3;+\infty )$, nên $x=3$ là điểm cực đại, không có điểm cực tiểu nào. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=-2$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=-2$ với giá trị cực tiểu $f(-2)=-1$ (A và D đúng). Tại $x=1$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên hàm đạt cực đại tại $x=1$ với giá trị cực đại $f(1)=2$ (B đúng). Tại $x=0$, hàm số không xác định (tiệm cận đứng, $y\to -\infty$), $y^{\prime }$ không đổi dấu qua $x=0$ (dương cả hai bên), nên hàm số không đạt cực đại tại $x=0$. Do đó khẳng định C là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+3}{x+1}$ có đạo hàm $y^{\prime }=\frac{2(x+1)-(2x+3)}{(x+1{)}^2}=\frac{-1}{(x+1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne -1$. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$, không có điểm nào đạo hàm đổi dấu, nên hàm số không có cực trị. Vậy số điểm cực trị là $0$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $g(x)=f(x)-x$ nên $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-1$. Điểm cực trị của $g$ là nghiệm của phương trình $f^{\prime }(x)=1$ mà tại đó $g^{\prime }$ đổi dấu, tức là đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ cắt (không tiếp xúc) đường thẳng $y=1$. Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$: nhánh trái đi từ $+\infty$ xuống đạt cực tiểu bằng $0$ tại $x=-3$, nên cắt đường thẳng $y=1$ đúng $1$ lần; sau đó $f^{\prime }$ tăng từ $0$ lên cực đại bằng $2$, cắt $y=1$ đúng $1$ lần; rồi $f^{\prime }$ giảm từ $2$ xuống giá trị âm (cực tiểu trong khoảng $(0;3)$), cắt $y=1$ đúng $1$ lần; cuối cùng với $x>3$, $f^{\prime }$ tăng từ giá trị âm lên $+\infty$ (đi qua $0$ tại $x=3$), nên cắt đường thẳng $y=1$ đúng $1$ lần nữa. Vậy phương trình $f^{\prime }(x)=1$ có đúng $4$ nghiệm phân biệt, tại mỗi nghiệm đồ thị cắt đường thẳng $y=1$ (không tiếp xúc) nên $g^{\prime }$ đổi dấu. Hàm số $g(x)$ có $4$ điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=2$, nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$ (tại $x=0$ hàm đạt cực đại vì $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$). Vậy điểm cực tiểu là $x=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=x^3+2x^2-4x-7$, tập xác định $\mathbb{R}$.

$$y^{\prime }=3x^2+4x-4$$

$y^{\prime }=0\iff 3x^2+4x-4=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=-2</td></tr><tr><td>x=\frac{2}{3}</td></tr></tbody></table>$

Vì $y^{\prime }$ là tam thức bậc hai với hệ số $a=3>0$ nên $y^{\prime }>0$ khi $x<-2$ hoặc $x>\frac{2}{3}$; $y^{\prime }<0$ khi $-2<x<\frac{2}{3}$.

Kết luận về tính đơn điệu:
- Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;-2)$ và $\left(\frac{2}{3};+\infty \right)$.
- Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-2;\frac{2}{3}\right)$.

Cực trị:
- Tại $x=-2$: $y^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm nên hàm đạt cực đại, $y_{CĐ}=y(-2)=-8+8+8-7=1$. Điểm cực đại $(-2;1)$.
- Tại $x=\frac{2}{3}$: $y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương nên hàm đạt cực tiểu, $y_{CT}=y\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{8}{27}+\frac{8}{9}-\frac{8}{3}-7=\frac{8+24-72-189}{27}=-\frac{229}{27}$. Điểm cực tiểu $\left(\frac{2}{3};-\frac{229}{27}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: trên $(-\infty ;2)$ hàm số nghịch biến ($y^{\prime }<0$), tại $x=2$ hàm số không xác định (tiệm cận đứng), và trên $(2;+\infty )$ hàm số cũng nghịch biến ($y^{\prime }<0$). Vì đạo hàm không đổi dấu tại bất kỳ điểm nào (không có điểm nào $y^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm hay từ âm sang dương), hàm số không có điểm cực trị. Vậy hàm số có 0 điểm cực trị, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{x^2-2x+2}{x-1}=(x-1)+\frac{1}{x-1}$. a) Hàm số xác định khi $x-1\ne 0$, tức $x\ne 1$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$: đúng. b) $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}$; $y^{\prime }=0$ tại $x=0$ và $x=2$. Xét dấu: $y^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;0)$, $y^{\prime }<0$ trên $(0;1)$ và $(1;2)$, $y^{\prime }>0$ trên $(2;+\infty )$. Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=0$ với $y_{CĐ}=-2$: đúng. c) $y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=2$ nên $x=2$ là điểm cực tiểu với $y_{CT}=2$. Tuy nhiên trên toàn miền xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$ hàm số không có giá trị nhỏ nhất vì khi $x\to -\infty$ thì $y\to -\infty$ (trên nhánh $x<1$ hàm số giảm từ $+\infty$ xuống $-\infty$). Do đó nhận định "hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=2$" là sai; $x=2$ chỉ là điểm cực tiểu địa phương. d) Hai điểm cực trị là $(0;-2)$ và $(2;2)$; khoảng cách $=\sqrt{(2-0{)}^2+(2+2{)}^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Hàm số xác định khi $x-1\ne 0$, tức $x\ne 1$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua $x=0$, nên hàm số đạt cực đại tại $x=0$ với $y_{CĐ}=-2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=2$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$ với $y_{CT}=2$. Tuy nhiên trên toàn miền xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$ hàm số không có giá trị nhỏ nhất vì khi $x\to -\infty$ thì $y\to -\infty$. Do đó nhận định là sai; $x=2$ chỉ là điểm cực tiểu địa phương.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Hai điểm cực trị là $(0;-2)$ và $(2;2)$; khoảng cách $=\sqrt{(2-0{)}^2+(2+2{)}^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=1$, nên hàm số đạt cực đại tại $x=1$ (đạt giá trị $f(1)=3$). Tại $x=3$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên đó là điểm cực tiểu. Vậy đáp án là C.