Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đặc trưng trung tâm mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=100$. Tần số tích lũy: 10; 37; 68; 93; 100.

Tứ phân vị thứ nhất: vị trí $\frac{n}{4}=25$ thuộc nhóm $[22;25)$:
$$Q_1=22+\frac{25-10}{27}\cdot 3=22+\frac{45}{27}\approx 23,67.$$

Tứ phân vị thứ ba: vị trí $\frac{3n}{4}=75$ thuộc nhóm $[28;31)$:
$$Q_3=28+\frac{75-68}{25}\cdot 3=28+\frac{21}{25}=28,84.$$

Khoảng tứ phân vị:
$$\Delta Q=Q_3-Q_1=28,84-23,6667\approx 5,17.$$
Kết quả trùng với đáp án nguồn 5,17.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=20$, nên tứ phân vị thứ nhất ở vị trí $n/4=5$. Tần số tích lũy: $[14;15)$: 1; $[15;16)$: 4; $[16;17)$: 12. Vì giá trị thứ 5 nằm trong nhóm $[16;17)$, nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là $[16;17)$.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=3+12+15+24+2=56$, nên $\frac{n}{4}=14$. Tần số tích lũy: nhóm $[9,5;12,5)$ có 3; nhóm $[12,5;15,5)$ có 15. Vì $3<14\le 15$ nên $Q_1$ thuộc nhóm $[12,5;15,5)$ với $a_2=12,5$, $n_2=12$, $c{f}_1=3$, $h=3$. Do đó $Q_1=12,5+\frac{14-3}{12}\cdot 3=12,5+\frac{11}{4}=15,25$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu n=30. Q1: vị trí 30/4=7,5 thuộc nhóm [21;24) (tần số tích lũy trước là 6), nên Q1 = 21 + (7,5-6)/12 · 3 = 21 + 0,375 = 21,375. Q3: vị trí 3·30/4=22,5 thuộc nhóm [24;27) (tần số tích lũy trước là 18), nên Q3 = 24 + (22,5-18)/9 · 3 = 24 + 1,5 = 25,5. Khoảng tứ phân vị Δ_Q = Q3 - Q1 = 25,5 - 21,375 = 4,125. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=25$. Tứ phân vị thứ nhất: vị trí $\frac{n}{4}=6,25$ thuộc nhóm $[10;12)$ (tần số tích lũy trước là 4, tần số nhóm là 6), nên $Q_1=10+\frac{6,25-4}{6}\cdot 2=10+0,75=10,75$. Tứ phân vị thứ ba: vị trí $\frac{3n}{4}=18,75$ thuộc nhóm $[14;16)$ (tần số tích lũy trước là 18, tần số nhóm là 4), nên $Q_3=14+\frac{18,75-18}{4}\cdot 2=14+0,375=14,375$. Vậy $Q_1=10,75$, $Q_3=14,375$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo bảng số liệu ghép nhóm về thời gian xem ti vi của học sinh khối 11 (câu trước), cỡ mẫu $n=42$ nên trung vị là số liệu thứ $21$ (và $22$). Tần số tích lũy: nhóm $[0;20)$ có $5$, nhóm $[20;40)$ có $5+9=14$, nhóm $[40;60)$ có $14+12=26$. Vì $14<21\le 26$ nên trung vị nằm trong nhóm $[40;60)$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo bảng số liệu ghép nhóm về thời gian xem ti vi của học sinh khối 11 (Câu 3, các nhóm [0;20), [20;40), [40;60), [60;80) với tần số tương ứng 5, 9, ...; cỡ mẫu n=42). Tứ phân vị thứ nhất có vị trí $\frac{n}{4}=\frac{42}{4}=10,5$. Tần số tích lũy: nhóm $[0;20)$ có 5 (< 10,5), nhóm $[20;40)$ có $5+9=14\ge 10,5$. Vậy nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là $[20;40)$.

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm chứa mốt là $[21;24)$ vì có tần số lớn nhất bằng 12. Áp dụng công thức mốt của mẫu số liệu ghép nhóm với $n_1=6$, $n_2=12$, $n_3=9$, độ dài nhóm $h=3$: $M_o=21+\frac{12-6}{(12-6)+(12-9)}\cdot 3=21+\frac{6}{9}\cdot 3=21+2=23.$ Vậy mốt bằng 23, tương ứng phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu n=20, vị trí tứ phân vị thứ nhất là 20/4=5. Tần số tích lũy: nhóm [5;7) có 2, nhóm [7;9) có 9, nên Q1 thuộc nhóm [7;9). Công thức: Q1 = 7 + (5-2)/7 · 2 = 7 + 6/7 ≈ 7,86, gần nhất với 8. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Giá trị đại diện nhóm [150;155) là (150+155)/2 = 152,5 → đúng.
b) Lô A: các giá trị đại diện 152,5; 157,5; 162,5; 167,5; 172,5. Trung bình = (2·152,5 + 6·157,5 + 12·162,5 + 4·167,5 + 1·172,5)/25 = (305 + 945 + 1950 + 670 + 172,5)/25 = 4042,5/25 = 161,7 gam, không phải 163,7 → sai.
c) Lô B: (1·152,5 + 3·157,5 + 7·162,5 + 10·167,5 + 4·172,5)/25 = (152,5 + 472,5 + 1137,5 + 1675 + 690)/25 = 4127,5/25 = 165,1 gam, không phải 162,1 → sai.
d) Vì 165,1 > 161,7 nên theo số trung bình cam lô B nặng hơn cam lô A → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện = (150+155)/2 = 152,5.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trung bình lô A = 4042,5/25 = 161,7 gam ≠ 163,7.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trung bình lô B = 4127,5/25 = 165,1 gam ≠ 162,1.
d) (AI giải đề cho tôi)
165,1 > 161,7 nên cam lô B nặng hơn theo số trung bình.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu n = 4+12+16+8+3 = 43 (không phải 50) → a sai. Số trung bình: các giá trị đại diện 3; 7,5; 12,5; 17,5; 22,5. Tổng = 3·4 + 7,5·12 + 12,5·16 + 17,5·8 + 22,5·3 = 12 + 90 + 200 + 140 + 67,5 = 509,5. x̄ ≈ 509,5/43 ≈ 11,85 (không phải 11,84) → b sai. Nhóm có tần số lớn nhất là [10;15) với 16 giáo viên → c đúng. Mốt: M₀ = 10 + 4·(16−12)/((16−12)+(16−8)) = 10 + 16/12 ≈ 11,33 (không phải 11,74) → d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
n = 4+12+16+8+3 = 43 ≠ 50.
b) (AI giải đề cho tôi)
x̄ = 509,5/43 ≈ 11,85 ≠ 11,84.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nhóm [10;15) có tần số lớn nhất (16).
d) (AI giải đề cho tôi)
M₀ = 10 + 4·(16−12)/(16−12+16−8) = 10 + 16/12 ≈ 11,33 ≠ 11,74.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu n = 3+8+12+12+4 = 39 (không phải 38) nên a) sai. Tần số tích lũy: 3, 11, 23, 35, 39. Q1: vị trí 39/4 = 9,75 thuộc nhóm [2;4): Q1 = 2 + (9,75-3)/8 · 2 = 3,6875 ≈ 3,69 ≠ 2,69 nên b) sai. Q2: vị trí 39/2 = 19,5 thuộc nhóm [4;6): Q2 = 4 + (19,5-11)/12 · 2 ≈ 5,42 nên c) đúng. Q3: vị trí 3·39/4 = 29,25 thuộc nhóm [6;8): Q3 = 6 + (29,25-23)/12 · 2 ≈ 7,04 nên d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
n = 3+8+12+12+4 = 39, không phải 38.
b) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = 2 + (9,75-3)/8·2 = 3,6875 ≈ 3,69, không phải 2,69.
c) (AI giải đề cho tôi)
Q2 = 4 + (19,5-11)/12·2 ≈ 5,42.
d) (AI giải đề cho tôi)
Q3 = 6 + (29,25-23)/12·2 ≈ 7,04.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số học sinh: $8+16+4+2+2=32$. Đại diện mỗi nhóm là giá trị trung tâm: $2,5$; $7,5$; $12,5$; $17,5$; $22,5$. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{2,5\cdot 8+7,5\cdot 16+12,5\cdot 4+17,5\cdot 2+22,5\cdot 2}{32}=\frac{20+120+50+35+45}{32}=\frac{270}{32}=8,4375\approx 8,44$ giờ.

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm có tần số lớn nhất là [150;155) với n=14. Mốt: Mo = 150 + 5·(14−7)/((14−7)+(14−10)) = 150 + 35/11 ≈ 153,18 → làm tròn 153 (cm).

(AI giải đề cho tôi)
Tần số tích lũy: 14; 34; 67; 85; 100. Vì n/2 = 50 > 34 và 50 ≤ 67 nên trung vị thuộc nhóm [11,5; 13,5). Áp dụng công thức trung vị mẫu số liệu ghép nhóm: Me = 11,5 + (50 - 34)/33 · (13,5 - 11,5) = 11,5 + 32/33 ≈ 12,47 ≈ 12,5.

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm có tần số lớn nhất là [18;22) với 120 khách hàng, nên mốt của mẫu số liệu ghép nhóm nằm ở nhóm này. Áp dụng công thức mốt: $M_o=18+\frac{120-78}{(120-78)+(120-45)}\cdot (22-18)=18+\frac{42}{87}\cdot 4\approx 18+1,93=19,93$ (triệu đồng/m${}^2$). Vậy công ty nên xây nhà ở mức giá khoảng $19,93$ triệu đồng/m${}^2$ (nhóm giá [18;22) triệu đồng/m${}^2$) để nhiều người có nhu cầu mua nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số: 4, 12, 26, 13, 6; n = 61. Giá trị đại diện các nhóm: 22.5; 27.5; 32.5; 37.5; 42.5.

Số trung bình: $\bar{x}=\frac{4\cdot 22.5+12\cdot 27.5+26\cdot 32.5+13\cdot 37.5+6\cdot 42.5}{61}=\frac{2007.5}{61}\approx 32.9$ (cm).

Mốt: nhóm có tần số lớn nhất là [30;35) với $n_M=26$, $n_{M-1}=12$, $n_{M+1}=13$, $h=5$:
$M_o=30+5\cdot \frac{26-12}{(26-12)+(26-13)}=30+\frac{70}{27}\approx 32.6$ (cm).

Tứ phân vị thứ nhất: $\frac{n}{4}=15.25$, nhóm chứa Q1 là [25;30) (tần số tích luỹ trước = 4, tần số nhóm = 12):
$Q_1=25+\frac{5(15.25-4)}{12}=25+4.6875\approx 29.7$ (cm).

Tứ phân vị thứ ba: $\frac{3n}{4}=45.75$, nhóm chứa Q3 là [35;40) (tần số tích luỹ trước = 42, tần số nhóm = 13):
$Q_3=35+\frac{5(45.75-42)}{13}=35+\frac{18.75}{13}\approx 36.4$ (cm).

(AI giải đề cho tôi)
Số học sinh tổng cộng: $n=4+13+38+27+14+4=100$. Lấy giá trị đại diện của mỗi nhóm là trung điểm: $34;36;38;40;42;44$. Thời gian trung bình: $\bar{x}=\frac{34\cdot 4+36\cdot 13+38\cdot 38+40\cdot 27+42\cdot 14+44\cdot 4}{100}=\frac{136+468+1444+1080+588+176}{100}=\frac{3892}{100}=38,92\approx 38,9$ phút.