Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đại lượng tích lũy (Toán học Lớp 12)

Câu 5. Xét hình vuông $ABCD$ cạnh $8\text{ cm}$, tâm $O$. Gọi $E$ là trung điểm của $AD$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ, với tia $Ox$ cùng hướng $\overrightarrow{AB}$, tia $Oy$ cùng hướng $\overrightarrow{DA}$. Vẽ parabol $(P)$ đi qua $O,E$ và tiếp xúc với cạnh $CD$. Điểm $T$ xuất phát từ $B$, chuyển động trên cạnh $BC$ theo chiều từ $B$ đến $C$ với tốc độ $v(t)=0,2t+0,6\text{ (cm/s)}$.
Đường thẳng $ET$ cắt $(P)$ tại điểm thứ hai $F$. Gọi $S(t)$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đoạn $EF$ và cung $EF$ của parabol $(P)$. Hỏi tại thời điểm $t=3$ giây, diện tích $S(t)$ đang giảm với tốc độ bao nhiêu ${\text{cm}}^2/\text{s}$? Làm tròn kết quả đến hàng phần chục.

Câu 3. Trên đoạn đường thẳng $AC$ dài $300\text{ m}$, điểm $B$ nằm giữa $A$ và $C$, biết $BC=250\text{ m}$. Chọn chiều dương hướng từ $A$ đến $C$, gốc tọa độ là $A$. Lấy $t=0$ là thời điểm chất điểm $M$ xuất phát từ $A$. Chất điểm $M$ chuyển động thẳng về phía $C$ với tốc độ $v_1(t)={\mathrm{e}}^{\frac{t}{10}+a}\text{ (m/s)}$ ($a$ là tham số). Tại thời điểm $t=4$ giây, chất điểm $N$ bắt đầu chuyển động từ $B$ về phía $C$ với tốc độ $v_2(t)=b(t-4)+\frac{6}{5}\text{ (m/s)},t\ge 4$ ($b$ là tham số). Biết rằng trong quá trình chuyển động, chất điểm $N$ luôn nằm bên phải chất điểm $M$. Tại thời điểm $t=4$ giây, khoảng cách giữa hai chất điểm là $90-40{\mathrm{e}}^{\frac{2}{5}}\text{ m}$; tại thời điểm $t=6$ giây, khoảng cách giữa hai chất điểm là $\frac{482}{5}-40{\mathrm{e}}^{\frac{3}{5}}\text{ m}$. Hỏi trong khoảng thời gian từ $t=6$ đến $t=18$ giây, khoảng cách gần nhất giữa hai chất điểm bằng bao nhiêu mét? Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Cho hàm số
()
=
y
f x có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ . Biết rằng ()
()
2
4
2
2
=
-
+
F x
x f x
x
x là một
nguyên hàm của hàm số (
)
()
2
1
'
-
x
f
x và
()
0
4
=-
f
. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
()
2
=
+
y
f x
và
()
2
'
=
-
y
f
x
bằng

Một bể cá hình trụ thủy tinh có bán kính đáy bằng $6\text{ dm}$, chiều cao bằng $5\text{ dm}$; bên trong bể cá người ta đặt một vật trang trí là khối nón đặc (đỉnh hình nón sẽ được bố trí vòi bơm nước cho bể cá), đáy hình nón có bán kính bằng $3\text{ dm}$ và có tâm trùng với đáy hình trụ, chiều cao hình nón bằng với chiều cao hình trụ. Người ta bơm nước vào bể với tốc độ $0,5\text{ lıˊt/phuˊt}$; đến phút thứ 40 thì tốc độ dâng lên của nước là bao nhiêu cm/phút (làm tròn đến hàng phần trăm)?

Một khoảng sân của một ngôi nhà có hình dạng là một phần của parabol, nếu chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ bên dưới thì parabol có phương trình là $y=x^2$. Chủ nhà muốn thiết kế một hồ nuôi cá cảnh có dạng hình tròn bán kính $1\text{m}$, hình tròn được thiết kế tiếp xúc với $2$ nhánh của parabol, phía trên của hình tròn ngăn bởi một bức tường mỏng tiếp xúc với hình tròn. Phần đất còn lại của khoảng sân giới hạn bởi đường tròn, $2$ nhánh của parabol và bức tường được thiết kế trồng hoa (phần gạch sọc trong hình vẽ bên dưới). Tính diện tích mà chủ nhà thiết kế để trồng hoa, biết rằng đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Để kiểm tra hiệu suất hoạt động của động cơ trước khi đưa vào sản xuất hàng loạt, một nhà máy đã tiến hành thử nghiệm bằng cách đánh giá độ dài quãng đường mà xe di chuyển được trong một khoảng thời gian cố định.
Để có số liệu so sánh, nhà máy sử dụng hai chiếc xe có cấu tạo hoàn toàn giống nhau để thử nghiệm. Ban đầu, cả hai xe đều chuyển động với cùng một vận tốc như nhau. Sau đó, mỗi xe tiếp tục di chuyển theo mỗi phương trình vận tốc khác nhau như sau:
Xe $A$ chuyển động với vận tốc $v_A(t)=t^2-t+20\text{ (m/s)}$;
Xe $B$ chuyển động với vận tốc $v_B(t)=t^3-6t^2+9t+20\text{ (m/s)}$.

Lô gô gắn tại các Showroom của hãng ô tô VINFAST là một hình tròn như hình vẽ.

Phần tô đậm nằm giữa parabol đỉnh $I$ và đường gấp khúc $AJB$ được dát bạc với chi phí $10$ triệu đồng/${\text{m}}^2$. Phần còn lại được phủ sơn với chi phí $2$ triệu đồng/${\text{m}}^2$. Biết $AB=2\text{m},IA=IB=\sqrt{5}\text{m}$ và $JA=JB=\frac{\sqrt{13}}{2}\text{m}$. Tính tổng số tiền (triệu đồng) để dát bạc và phủ sơn của lô gô nói trên? (làm tròn đến hàng phần chục)