Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Độ phân tán (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu có $n=5$ giá trị đã sắp xếp: 152, 154, 156, 158, 160. Tứ phân vị thứ hai là trung vị $=156$. Nửa dưới gồm 152, 154 nên $Q_1=153$; nửa trên gồm 158, 160 nên $Q_3=159$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=159-153=6$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{20\cdot 5+21\cdot 8+22\cdot 11+23\cdot 10+24\cdot 6}{40}=\frac{884}{40}=22,1$.
Tính $\sum n_i{x}_i^2=400\cdot 5+441\cdot 8+484\cdot 11+529\cdot 10+576\cdot 6=2000+3528+5324+5290+3456=19598$, nên $\overline{x^2}=\frac{19598}{40}=489,95$.
Phương sai: $s^2=\overline{x^2}-{\bar{x}}^2=489,95-(22,1{)}^2=489,95-488,41=1,54$.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu ($n=15$) theo thứ tự tăng dần: 6,3; 6,6; 7,2; 7,5; 7,5; 7,6; 7,7; 7,8; 7,9; 8,2; 8,3; 8,7; 8,8; 8,9; 9,0.

a) Khoảng biến thiên: $R=x_{\max }-x_{\min }=9,0-6,3=2,7$ (m).

b) Khoảng tứ phân vị: Vì $n=15$ lẻ, ta chia mẫu thành hai nửa: nửa dưới gồm 7 giá trị đầu (6,3; 6,6; 7,2; 7,5; 7,5; 7,6; 7,7) và nửa trên gồm 7 giá trị cuối (7,9; 8,2; 8,3; 8,7; 8,8; 8,9; 9,0), giá trị giữa là 7,8.
- $Q_1$ là trung vị của nửa dưới: giá trị thứ 4 của nửa dưới, $Q_1=7,5$.
- $Q_2=7,8$ (giá trị giữa).
- $Q_3$ là trung vị của nửa trên: giá trị thứ 4 của nửa trên, $Q_3=8,7$.
Vậy khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=8,7-7,5=1,2$ (m).

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên $R=x_{\max }-x_{\min }$. Trong mẫu số liệu: giá trị lớn nhất là $4,236$ kg, giá trị nhỏ nhất là $2,593$ kg. Vậy $R=4,236-2,593=1,643$ (kg). Chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{20\cdot 5+21\cdot 8+22\cdot 11+23\cdot 10+24\cdot 6}{40}=\frac{884}{40}=22,1$. Tổng bình phương: $\sum n_i{x}_i^2=2000+3528+5324+5290+3456=19598$, nên $\frac{\sum n_i{x}_i^2}{40}=489,95$. Phương sai: $s_x^2=489,95-(22,1{)}^2=489,95-488,41=1,54$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy số liệu: 27, 26, 28, 32, 34, 35, 30, 28 (n = 8). Tổng $\sum x_i=27+26+28+32+34+35+30+28=240$, nên số trung bình mẫu $\bar{x}=\frac{240}{8}=30$. Tổng bình phương độ lệch: $\sum (x_i-\bar{x}{)}^2=(-3{)}^2+(-4{)}^2+(-2{)}^2+2^2+4^2+5^2+0^2+(-2{)}^2=9+16+4+4+16+25+0+4=78$. Phương sai mẫu $s^2=\frac{78}{7}\approx 11,1429$, nên độ lệch chuẩn mẫu $s=\sqrt{\frac{78}{7}}\approx 3,3381\approx 3,34$.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu có $n=6$ giá trị đã sắp xếp: $10;12;15;18;20;25$. Chia mẫu thành hai nửa: nửa dưới $10;12;15$ và nửa trên $18;20;25$. Tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ là trung vị của nửa dưới: $Q_1=12$. Tứ phân vị thứ ba $Q_3$ là trung vị của nửa trên: $Q_3=20$. Vậy khoảng giữa $Q_3-Q_1=20-12=8$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, khoảng biến thiên của mẫu số liệu là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất: $R=x_{\max }-x_{\min }$. Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, khoảng tứ phân vị là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất: ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1$. Vậy đáp án đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên (khoảng biến thiên) $R=x_{\max }-x_{\min }$ là khoảng cách giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (hai giá trị cực trị) của mẫu số liệu. Phương sai và độ lệch chuẩn đo độ phân tán quanh trung bình, còn khoảng tứ phân vị là ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1$ chỉ phụ thuộc vào các tứ phân vị (giữa 50% dữ liệu trung tâm), nên không bị ảnh hưởng bởi các giá trị ngoại lệ. Trong khi đó khoảng biến thiên phụ thuộc vào min và max, phương sai và độ lệch chuẩn đều bị ảnh hưởng mạnh bởi giá trị ngoại lệ vì chúng tính theo độ lệch từ số trung bình.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, giá trị $x$ là ngoại lệ nếu $x<Q_1-1,5{\Delta }_Q$ hoặc $x>Q_3+1,5{\Delta }_Q$, tức là $x$ nằm ngoài khoảng $\left(Q_1-1,5{\Delta }_Q;Q_3+1,5{\Delta }_Q\right)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Nếu tất cả các số liệu bằng nhau thì mỗi $x_i=\bar{x}$, nên $s^2=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2=0$. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, phương sai của mẫu số liệu kích thước $n$ là $s^2=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2$. Đáp án B thiếu hệ số $\frac{1}{n}$, C thiếu bình phương, D là công thức độ lệch chuẩn $s$. Vậy đáp án đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số liệu đã được sắp xếp: $3,5,7,9,11$. Giá trị nhỏ nhất là $x_{\min }=3$ và giá trị lớn nhất là $x_{\max }=11$. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên $R=x_{\max }-x_{\min }=30-12=18$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu có $n=7$ giá trị đã sắp xếp: $2,4,5,7,9,11,14$. Trung vị là $7$. Nửa dưới gồm $2,4,5$ nên $Q_1=4$; nửa trên gồm $9,11,14$ nên $Q_3=11$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=11-4=7$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{1+3+5+7+9}{5}=5$. Tổng bình phương độ lệch: $(1-5{)}^2+(3-5{)}^2+(5-5{)}^2+(7-5{)}^2+(9-5{)}^2=16+4+0+4+16=40$. Phương sai: $s^2=\frac{40}{5}=8$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{4+8+12+16}{4}=10$. Phương sai: $s^2=\frac{(4-10{)}^2+(8-10{)}^2+(12-10{)}^2+(16-10{)}^2}{4}=\frac{36+4+4+36}{4}=20$. Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{20}\approx 4,47$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Nếu nhân mỗi giá trị $x_i$ với $k>0$ thì số trung bình mới là $k\bar{x}$ và phương sai mới là $s^{\prime 2}=\frac{1}{n}\sum (k{x}_i-k\bar{x}{)}^2=k^2\cdot \frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x}{)}^2=k^2{s}^2$. Do đó độ lệch chuẩn mới là $s^{\prime }=\sqrt{k^2{s}^2}=ks$ (vì $k>0$), tức tăng gấp $k$ lần. Vậy chọn A.