Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Độ phân tán (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Cộng thêm 5 đơn vị vào mỗi giá trị thì số trung bình mới là ${\bar{x}}^{\prime }=\bar{x}+5$, nên các độ lệch $x_i^{\prime }-{\bar{x}}^{\prime }=(x_i+5)-(\bar{x}+5)=x_i-\bar{x}$ không đổi. Do đó phương sai mới $s^{\prime 2}=\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x}{)}^2=s^2$ giữ nguyên không đổi. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mẫu X và Y có cùng số trung bình. Độ lệch chuẩn đo mức độ phân tán của mẫu số liệu quanh số trung bình: $s_X=2,1<s_Y=4,5$ nên mẫu X phân tán ít hơn, tức là đồng đều hơn mẫu Y. Do đó nhận xét đúng là A. Câu B sai vì ngược lại; câu C sai vì không thể suy ra khoảng biến thiên từ độ lệch chuẩn; câu D sai vì hai độ lệch chuẩn khác nhau nên độ phân tán khác nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu có $n=8$ giá trị đã sắp xếp: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của nửa đầu: $Q_1=\frac{2+3}{2}=2,5$. Tứ phân vị thứ ba là trung vị của nửa sau: $Q_3=\frac{6+7}{2}=6,5$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=6,5-2,5=4$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng tứ phân vị Δ_Q = Q3 − Q1 = 30 − 20 = 10. Giá trị ngoại lệ nhỏ là giá trị nhỏ hơn Q1 − 1,5·Δ_Q = 20 − 1,5·10 = 5. Vậy giá trị ngoại lệ nhỏ nhất có thể là giá trị nhỏ hơn 5, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Căn cứ vào trang 127, Câu 23: mẫu số liệu là 12,1; 12,3; 12,5; 12,7; 12,9.

Bước 1: Tính số trung bình:
$$\bar{x}=\frac{12,1+12,3+12,5+12,7+12,9}{5}=\frac{62,5}{5}=12,5.$$

Bước 2: Tính phương sai (sử dụng công thức $s^2=\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x}{)}^2$):
$$s^2=\frac{(12,1-12,5{)}^2+(12,3-12,5{)}^2+(12,5-12,5{)}^2+(12,7-12,5{)}^2+(12,9-12,5{)}^2}{5}$$
$$=\frac{0,16+0,04+0+0,04+0,16}{5}=\frac{0,4}{5}=0,08.$$

Bước 3: Độ lệch chuẩn:
$$s=\sqrt{0,08}\approx 0,2828\approx 0,28.$$

Vậy đáp án đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu: 10, 11, 12, 15, 18, 20, 95 (n = 7). Trung vị là giá trị thứ 4: 15. Nửa dưới gồm 10, 11, 12 nên $Q_1=11$; nửa trên gồm 18, 20, 95 nên $Q_3=20$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=20-11=9$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số liệu ở Câu 24 (đã sắp xếp): 10, 11, 12, 15, 18, 20, 95 với n = 7. Tính Q1 và Q3: Q1 ở vị trí 0,25·(7+1) = 2 nên Q1 = 11; Q3 ở vị trí 0,75·8 = 6 nên Q3 = 20. Khoảng tứ phân vị Δ_Q = 20 − 11 = 9. Giới hạn xác định giá trị ngoại lệ: dưới Q1 − 1,5·Δ_Q = 11 − 13,5 = −2,5 và trên Q3 + 1,5·Δ_Q = 20 + 13,5 = 33,5. Giá trị 95 > 33,5 nên 95 là giá trị ngoại lệ. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Cả hai mẫu có cùng số trung bình ${\bar{x}}_A={\bar{x}}_B=52$. Phương sai mẫu A: $s_A^2=\frac{(-2{)}^2+0^2+(-1{)}^2+1^2+2^2}{5}=\frac{10}{5}=2$. Phương sai mẫu B: $s_B^2=\frac{(-12{)}^2+8^2+(-7{)}^2+13^2+(-2{)}^2}{5}=\frac{430}{5}=86$. Vì $s_A^2<s_B^2$, thửa A có năng suất ổn định hơn thửa B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $x<3$ nên $x$ là giá trị nhỏ nhất của mẫu, giá trị lớn nhất là $11$. Khoảng biến thiên $R=11-x=10\Rightarrow x=1$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{155+158+160+162+165}{5}=160$. Tổng bình phương độ lệch: $(155-160{)}^2+(158-160{)}^2+(160-160{)}^2+(162-160{)}^2+(165-160{)}^2=25+4+0+4+25=58$. Phương sai: $s^2=\frac{58}{5}=11,6$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tính số trung bình và độ lệch chuẩn của hai mẫu. Công ty X: giá trị 100, 102, 101, 103, 104 có mean ${\bar{x}}_X=\frac{100+102+101+103+104}{5}=102$. Phương sai $s_X^2=\frac{(-2{)}^2+0^2+(-1{)}^2+1^2+2^2}{5}=\frac{10}{5}=2$, nên $s_X=\sqrt{2}\approx 1,41$. Công ty Y: giá trị 90, 110, 85, 115, 100 có ${\bar{x}}_Y=\frac{90+110+85+115+100}{5}=100$. Phương sai $s_Y^2=\frac{(-10{)}^2+10^2+(-15{)}^2+15^2+0^2}{5}=\frac{650}{5}=130$, nên $s_Y=\sqrt{130}\approx 11,40$. Vì $s_X<s_Y$, cổ phiếu X ít biến động (ít rủi ro) hơn, nên chọn cổ phiếu X vì độ lệch chuẩn nhỏ hơn.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số liệu có n=7 giá trị: 2,5,8,11,14,17,20.
a) Khoảng biến thiên R = 20 − 2 = 18 ≠ 15 → sai.
b) Q2 là trung vị, giá trị thứ 4 là 11 → đúng.
c) Q1 là giá trị thứ (7+1)/4 = 2, tức Q1 = 5; Q3 là giá trị thứ 3(7+1)/4 = 6, tức Q3 = 17; ΔQ = 17 − 5 = 12 → đúng.
d) Giá trị nhỏ nhất xmin = 2 ≠ 5 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
R = xmax − xmin = 20 − 2 = 18 ≠ 15.
b) (AI giải đề cho tôi)
n = 7 lẻ, trung vị là giá trị thứ 4 = 11, nên Q2 = 11.
c) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = giá trị thứ 2 = 5, Q3 = giá trị thứ 6 = 17, nên ΔQ = 17 − 5 = 12.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị nhỏ nhất của mẫu là 2, không phải 5.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số liệu: 2, 4, 6, 8, 10.
a) Số trung bình $\overline{x}=\frac{2+4+6+8+10}{5}=\frac{30}{5}=6\ne 5$ → sai.
b) Phương sai $s^2=\frac{(2-6{)}^2+(4-6{)}^2+(6-6{)}^2+(8-6{)}^2+(10-6{)}^2}{5}=\frac{16+4+0+4+16}{5}=\frac{40}{5}=8$ → đúng.
c) Độ lệch chuẩn $s=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ → đúng.
d) Khoảng biến thiên $R=10-2=8\ne 6$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overline{x}=\frac{2+4+6+8+10}{5}=6\ne 5$, phát biểu sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$s^2=\frac{(-4{)}^2+(-2{)}^2+0^2+2^2+4^2}{5}=\frac{40}{5}=8$, phát biểu đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$s=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, phát biểu đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$R=10-2=8\ne 6$, phát biểu sai.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu A = {1,3,5,7}: khoảng biến thiên R = 7 - 1 = 6; số trung bình cộng = 4; phương sai s² = [(-3)²+(-1)²+1²+3²]/4 = 20/4 = 5; độ lệch chuẩn s = √5. Mẫu B = {11,13,15,17}: R = 17 - 11 = 6; trung bình = 14; phương sai = [(-3)²+(-1)²+1²+3²]/4 = 5; độ lệch chuẩn = √5. Khoảng tứ phân vị: mẫu A có Q1 = 2, Q3 = 6 nên ΔQ = 4; mẫu B có Q1 = 12, Q3 = 16 nên ΔQ = 4. Vậy: a) Đúng (cùng R = 6). b) Sai (hai mẫu có cùng phương sai s² = 5). c) Đúng (cùng độ lệch chuẩn √5). d) Sai (cùng khoảng tứ phân vị ΔQ = 4).
a) (AI giải đề cho tôi)
R_A = 7 - 1 = 6 và R_B = 17 - 11 = 6, hai mẫu có cùng khoảng biến thiên R = 6.
b) (AI giải đề cho tôi)
Phương sai mẫu A: trung bình 4, s² = (9+1+1+9)/4 = 5. Phương sai mẫu B: trung bình 14, s² = (9+1+1+9)/4 = 5. Hai phương sai bằng nhau nên mẫu B không có phương sai lớn hơn mẫu A.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cả hai mẫu đều có phương sai s² = 5 nên độ lệch chuẩn cùng bằng s = √5.
d) (AI giải đề cho tôi)
Mẫu A: Q1 = 2, Q3 = 6, ΔQ = 4. Mẫu B: Q1 = 12, Q3 = 16, ΔQ = 4. Hai khoảng tứ phân vị bằng nhau.

(AI giải đề cho tôi)
An: 3,4,5,6,7 có số trung bình x̄_An = (3+4+5+6+7)/5 = 5; Bình: 1,3,5,7,9 có x̄_Bình = (1+3+5+7+9)/5 = 5. Vậy a) đúng.
Khoảng biến thiên: R_An = 7 − 3 = 4; R_Bình = 9 − 1 = 8, nên An có khoảng biến thiên nhỏ hơn Bình → b) sai.
Phương sai: s²_An = [(−2)²+(−1)²+0²+1²+2²]/5 = 2; s²_Bình = [(−4)²+(−2)²+0²+2²+4²]/5 = 8. Độ lệch chuẩn s_Bình = √8 ≈ 2,83 > s_An = √2 ≈ 1,41 → c) đúng.
Vì s_Bình > s_An nên số điểm của Bình phân tán hơn, không đồng đều hơn An → d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
x̄_An = (3+4+5+6+7)/5 = 5 và x̄_Bình = (1+3+5+7+9)/5 = 5, bằng nhau và bằng 5.
b) (AI giải đề cho tôi)
R_An = 7−3 = 4 < R_Bình = 9−1 = 8, nên An có khoảng biến thiên nhỏ hơn Bình.
c) (AI giải đề cho tôi)
s²_An = 2, s²_Bình = 8 nên s_Bình = √8 ≈ 2,83 > s_An = √2 ≈ 1,41.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì độ lệch chuẩn của Bình lớn hơn An, số điểm của Bình phân tán hơn, không đồng đều hơn An.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu có n=7 đã sắp xếp: 10,12,14,15,16,18,50. Trung vị là 15. Nửa dưới gồm 10,12,14 nên Q1=12; nửa trên gồm 16,18,50 nên Q3=18. Do đó a) đúng. Khoảng tứ phân vị ΔQ = Q3 − Q1 = 18 − 12 = 6 ≠ 8 nên b) sai. Ranh giới trên Q3 + 1,5ΔQ = 18 + 1,5·6 = 27 nên c) đúng. Vì 50 > 27 nên 50 là giá trị ngoại lệ, do đó d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nửa dưới 10,12,14 cho Q1=12; nửa trên 16,18,50 cho Q3=18.
b) (AI giải đề cho tôi)
ΔQ = 18 − 12 = 6, không phải 8.
c) (AI giải đề cho tôi)
Q3 + 1,5ΔQ = 18 + 9 = 27.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì 50 > 27 nên 50 là giá trị ngoại lệ.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số liệu: 30, 32, 31, 33, 29, 31.
a) Số trung bình $\bar{x}=\frac{30+32+31+33+29+31}{6}=\frac{186}{6}=31$ cm → đúng.
b, c) Các độ lệch so với mean: $-1,1,0,2,-2,0$; tổng bình phương $=1+1+0+4+4+0=10$. Vậy $s^2=\frac{10}{6}\approx 1,67$, không phải $2,5$ → b sai, c đúng.
d) $s=\sqrt{\frac{10}{6}}\approx 1,29\ne 1,50$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\bar{x}=\frac{186}{6}=31$ cm.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tổng bình phương độ lệch là 10 nên $s^2=\frac{10}{6}\approx 1,67\ne 2,5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$s^2=\frac{1}{6}\left[(-1{)}^2+1^2+0^2+2^2+(-2{)}^2+0^2\right]=\frac{10}{6}\approx 1,67$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$s=\sqrt{\frac{10}{6}}\approx 1,29\ne 1,50$.

(AI giải đề cho tôi)
X: 20,20,20,20,20 có trung bình 20, phương sai 0, độ lệch chuẩn 0. Y: 10,15,20,25,30 có trung bình 20, phương sai s^2 = (100+25+0+25+100)/5 = 50, độ lệch chuẩn ≈ 7,07. a) Đúng: cả hai đều bằng 20 triệu đồng. b) Sai: độ lệch chuẩn của X bằng 0 chứ không phải 5. c) Đúng: X có phương sai bằng 0 vì tất cả giá trị bằng nhau. d) Sai: Y có phương sai 50 > 0 nên độ biến động của Y cao hơn X, không phải thấp hơn.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trung bình X = 20, trung bình Y = (10+15+20+25+30)/5 = 20, bằng nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
X có phương sai 0 nên độ lệch chuẩn bằng 0, không phải 5.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tất cả giá trị của X bằng 20 nên phương sai s^2 = 0.
d) (AI giải đề cho tôi)
Y có phương sai 50 và khoảng biến thiên 20, lớn hơn X (phương sai 0, khoảng biến thiên 0), nên Y biến động cao hơn X.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 39: Khi bổ sung một giá trị rất lớn (ngoại lệ) vào mẫu số liệu ban đầu:
a) Khoảng biến thiên R = max − min. Giá trị mới rất lớn trở thành max mới nên R tăng lên. Đúng.
b) Khoảng tứ phân vị Δ_Q = Q3 − Q1 phụ thuộc vào các giá trị ở giữa mẫu, không phụ thuộc giá trị ngoại lệ lớn nhất, nên không thể kết luận luôn tăng gấp đôi. Sai.
c) Phương sai s² đo độ phân tán quanh trung bình; giá trị ngoại lệ rất lớn làm (x − x̄)² của nó rất lớn, đồng thời làm thay đổi x̄, nên s² thay đổi đáng kể. Đúng.
d) Vì s² tăng đáng kể nên s = √(s²) cũng tăng, không giảm. Sai.
Vậy các phát biểu đúng là a) và c).
a) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị ngoại lệ rất lớn trở thành giá trị lớn nhất mới của mẫu, do đó R = max − min tăng lên.
b) (AI giải đề cho tôi)
Δ_Q = Q3 − Q1 chỉ phụ thuộc các giá trị ở giữa mẫu, giá trị ngoại lệ lớn nhất không làm Δ_Q luôn tăng gấp đôi.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị ngoại lệ làm tổng bình phương độ lệch (x − x̄)² tăng rất mạnh nên phương sai s² thay đổi đáng kể.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì s² tăng đáng kể nên độ lệch chuẩn s = √(s²) tăng lên chứ không giảm.

(AI giải đề cho tôi)
Với $y_i=-2x_i+3$: khoảng biến thiên $R_y=|-2|R_x=2R_x$, nên gấp 2 lần (không phải $-2$ lần) → a sai. Phương sai $s_y^2=(-2{)}^2{s}_x^2=4\cdot 9=36$ → b đúng. Độ lệch chuẩn $s_y=\sqrt{36}=6$ → c đúng; độ lệch chuẩn luôn không âm nên không thể bằng $-6$ → d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$R_y=\max y-\min y=|-2|(\max x-\min x)=2R_x$, khoảng biến thiên dương nên gấp 2 lần chứ không gấp $-2$ lần.
b) (AI giải đề cho tôi)
$s_y^2=a^2{s}_x^2=(-2{)}^2\cdot 9=36$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$s_y=\sqrt{36}=6$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Độ lệch chuẩn là đại lượng không âm, $s_y=6\ne -6$.