Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Độ phân tán mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=15+18+10+10+5+2=60$. Tần số tích lũy lần lượt: 15, 33, 43, 53, 58, 60.
Tứ phân vị thứ nhất: vị trí $\frac{n}{4}=15$, nhóm chứa $Q_1$ là $[15;20)$ nên $Q_1=15+\frac{15-15}{18}\cdot 5=15$.
Tứ phân vị thứ ba: vị trí $\frac{3n}{4}=45$, nhóm chứa $Q_3$ là $[25;30)$ nên $Q_3=25+\frac{45-43}{10}\cdot 5=26$.
Khoảng tứ phân vị $\Delta Q=Q_3-Q_1=26-15=11$, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0102, Phần III câu 1 = 11).

Ta có $n=2+4+7+4+3=20$; $\frac{n}{4}=5$; $\frac{3n}{4}=15$. Do đó $Q_1\in [4;8),Q_3\in [12;16)$ (0,25 điểm)

Do đó tính được $Q_1=4+\frac{5-2}{4}.4=4+3=7$; $Q_3=12+\frac{\frac{3.20}{4}-13}{4}.4=14$ (0,5 điểm)

Khoảng tứ phân vị là: $\Delta Q=Q_3-Q_1=14-7=7$ (phút) (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu n = 3+5+3+6+3 = 20. Tứ phân vị thứ nhất: vị trí 0,25n = 5, nằm trong lớp [225;300) (cumulative trước đó là 3, tần số 5): Q1 = 225 + 75·(5−3)/5 = 255. Tứ phân vị thứ ba: vị trí 0,75n = 15, nằm trong lớp [375;450) (cumulative trước đó là 11, tần số 6): Q3 = 375 + 75·(15−11)/6 = 425. Khoảng tứ phân vị ΔQ = Q3 − Q1 = 425 − 255 = 170, khớp với đáp án nguồn.

Ta có $n=5+9+12+10+6=42$ ; $\frac{n}{4}=10,5$ ; $\frac{3n}{4}=31,5$ . Do đó $Q_1\in [20;40),Q_3\in [60;80)$ (0,25 điểm)

Do đó tính được $Q_1=20+\frac{10,5-5}{9}\cdot 20=\frac{290}{9}$ ; $Q_3=60+\frac{31,5-26}{10}\cdot 20=71$ (0,5 điểm)

Khoảng tứ phân vị là: $\Delta Q=Q_3-Q_1=\frac{349}{9}$ (phút) (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Dùng giá trị đại diện của mỗi nhóm: $x_1=10,15;x_2=10,45;x_3=10,75;x_4=11,05$ với tần số $2;10;5;3$ ($n=20$).
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{2(10,15)+10(10,45)+5(10,75)+3(11,05)}{20}=\frac{211,7}{20}=10,585$.
Phương sai: $s^2=\frac{2(10,15-10,585{)}^2+10(10,45-10,585{)}^2+5(10,75-10,585{)}^2+3(11,05-10,585{)}^2}{20}=\frac{1,3455}{20}=0,067275$.
Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{0,067275}\approx 0,2594\approx 0,26$ (giây).

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện các nhóm: 45; 47; 49; 51; 53; 55 với tần số 3; 3; 10; 15; 7; 2 (n=40). Số trung bình mẫu: $\bar{x}=\frac{3\cdot 45+3\cdot 47+10\cdot 49+15\cdot 51+7\cdot 53+2\cdot 55}{40}=\frac{2012}{40}=50,3$. Tổng $\sum n_i{x}_i^2=3\cdot 45^2+3\cdot 47^2+10\cdot 49^2+15\cdot 51^2+7\cdot 53^2+2\cdot 55^2=101440$, nên $\frac{1}{n}\sum n_i{x}_i^2=2536$. Phương sai mẫu: $s^2=\frac{n}{n-1}\left(2536-50,3^2\right)=\frac{40}{39}\cdot 5,91\approx 6,0615$, độ lệch chuẩn $s\approx 2,46$. Tuy nhiên theo cách tính quen thuộc trong SGK (độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm với mẫu lớn, dùng $\sqrt{\frac{1}{n}\sum n_i{x}_i^2-{\bar{x}}^2}$): $\sqrt{5,91}\approx 2,43$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $n=4+13+16+17=50$. b) Sai: khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm là $12-0=12$, không phải 9. c) Đúng: $\frac{n}{4}=12,5$; tích lũy tiếp $4,17$ nên $Q_1$ thuộc nhóm $[3;6)$, cụ thể $Q_1=3+\frac{12,5-4}{13}\cdot 3\approx 4,96$. d) Đúng: giá trị đại diện $1,5;4,5;7,5;10,5$ cho mean $\bar{x}=\frac{6+58,5+120+178,5}{50}=7,26$; phương sai $s^2=\frac{3046,5}{50}-7,26^2\approx 8,22>8$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$n=4+13+16+17=50$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên $R=12-0=12\ne 9$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{n}{4}=12,5$ nằm giữa tích lũy 4 và 17 nên $Q_1\in [3;6)$, $Q_1\approx 4,96$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\bar{x}=7,26$, $s^2\approx 8,22>8$.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các nhóm: $R=x_{\max }-x_{\min }=20-10=10$. Vậy chọn đáp án A, trùng với đáp án nguồn (Câu 2: A).

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=100$. Tần số tích lũy: 10, 37, 68, 93, 100. Tứ phân vị thứ nhất: $Q_1$ thuộc nhóm $[22;25)$: $Q_1=22+\frac{25-10}{27}\cdot 3=22+\frac{45}{27}\approx 23,67$. Tứ phân vị thứ ba: $Q_3$ thuộc nhóm $[28;31)$: $Q_3=28+\frac{75-68}{25}\cdot 3=28+\frac{21}{25}=28,84$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 28,84-23,67=5,17$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $n=4+13+16+17=50$. b) Sai: khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm là $R=12-0=12\ne 9$. c) Đúng: $\frac{n}{4}=12,5$; tần số tích luỹ đến nhóm $[0;3)$ là $4<12,5$, đến nhóm $[3;6)$ là $17\ge 12,5$ nên $Q_1$ thuộc nhóm $[3;6)$ (cụ thể $Q_1=3+\frac{12,5-4}{13}\cdot 3\approx 4,96$). d) Đúng: giá trị đại diện các nhóm là $1,5;4,5;7,5;10,5$, số trung bình $\bar{x}=\frac{4\cdot 1,5+13\cdot 4,5+16\cdot 7,5+17\cdot 10,5}{50}=7,26$; phương sai $s^2=\frac{4(1,5-7,26{)}^2+13(4,5-7,26{)}^2+16(7,5-7,26{)}^2+17(10,5-7,26{)}^2}{50}=\frac{411,12}{50}\approx 8,22>8$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$n=4+13+16+17=50$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên $R=12-0=12\ne 9$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{n}{4}=12,5$ nằm giữa tần số tích luỹ $4$ và $17$, nên $Q_1$ thuộc nhóm $[3;6)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\bar{x}=7,26$, $s^2\approx 8,22>8$.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số tích lũy: 10; 37; 68; 93; 100 (n=100). Q1 ứng với vị trí thứ 25, nằm trong nhóm [22;25): Q1 = 22 + 3·(25−10)/27 = 22 + 15/27 ≈ 23,67. Q3 ứng với vị trí thứ 75, nằm trong nhóm [28;31): Q3 = 28 + 3·(75−68)/25 = 28 + 0,84 = 28,84. Khoảng tứ phân vị IQR = Q3 − Q1 ≈ 28,84 − 23,67 = 5,17, khớp với đáp án nguồn 5,17.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $n=4+13+16+17=50$. b) Sai: khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm là $12-0=12$, không phải 9. c) Đúng: vị trí tứ phân vị thứ nhất là $\frac{n}{4}=12,5$; tích lũy đến nhóm $[0;3)$ là 4, đến nhóm $[3;6)$ là 17 nên $Q_1$ thuộc nhóm $[3;6)$ (cụ thể $Q_1=3+\frac{12,5-4}{13}\cdot 3\approx 4,96$). d) Đúng: các giá trị đại diện $1,5;4,5;7,5;10,5$ cho số liệu $4;13;16;17$. Tần số tương đối $8\%,26\%,32\%,34\%$. Tính $\overline{x}=\frac{1,5\cdot 4+4,5\cdot 13+7,5\cdot 16+10,5\cdot 17}{50}=\frac{363}{50}=7,26$. Phương sai $s^2=\frac{2,25\cdot 4+20,25\cdot 13+56,25\cdot 16+110,25\cdot 17}{50}-7,26^2=60,93-52,7076\approx 8,22>8$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=4+13+16+17=50$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên $R=12-0=12\ne 9$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vị trí $Q_1$ là $\frac{50}{4}=12,5$, nằm trong nhóm $[3;6)$ vì tích lũy $4<12,5\le 17$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overline{x}=7,26$, $s^2\approx 8,22>8$.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=100$. Tứ phân vị thứ nhất: $\frac{n}{4}=25$, nhóm chứa giá trị thứ 25 là $[22;25)$ (cumulative trước đó là 10, tần số 27). Khi đó $Q_1=22+\frac{25-10}{27}\cdot 3=22+\frac{45}{27}\approx 23,67$. Tứ phân vị thứ ba: $\frac{3n}{4}=75$, nhóm chứa giá trị thứ 75 là $[28;31)$ (cumulative trước đó là 68, tần số 25). Khi đó $Q_3=28+\frac{75-68}{25}\cdot 3=28+\frac{21}{25}=28,84$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=28,84-\frac{167}{9}\approx 5,17$. Kết quả trùng với đáp án nguồn 5,17.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng tần số $N=100$. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{1\cdot 9+1\cdot 10+3\cdot 11+5\cdot 12+8\cdot 13+13\cdot 14+19\cdot 15+24\cdot 16+14\cdot 17+10\cdot 18+2\cdot 19}{100}=\frac{1523}{100}=15,23$.
Tổng bình phương: $\sum f_i{x}_i^2=81+100+363+720+1352+2548+4275+6144+4046+3240+722=23591$, nên $\frac{1}{N}\sum f_i{x}_i^2=235,91$.
Phương sai: $s^2=235,91-(15,23{)}^2=235,91-231,9529=3,9571$.
Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{3,9571}\approx 1,99$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Với mẫu số liệu tháng 6/2021, các nhóm có tần số khác 0 là $[30;32)$, $[32;34)$, $[34;36)$, $[36;38)$, $[38;40]$. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu phải nhóm có tần số lớn nhất (cuối cùng) và đầu trái nhóm có tần số khác 0 đầu tiên: $R=40-30=10$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=30$. Tần số tích lũy: 5; 15; 20; 28; 30.

Tứ phân vị thứ nhất: vị trí $\frac{30}{4}=7,5$ thuộc nhóm $[800;850)$:
$$Q_1=800+\frac{7,5-5}{10}\cdot 50=812,5.$$

Tứ phân vị thứ ba: vị trí $\frac{3\cdot 30}{4}=22,5$ thuộc nhóm $[900;950)$:
$$Q_3=900+\frac{22,5-20}{8}\cdot 50=915,625.$$

Khoảng tứ phân vị: ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=915,625-812,5=103,125$. Chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=25+50+200+175+50=500$. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{152\cdot 25+156\cdot 50+160\cdot 200+164\cdot 175+168\cdot 50}{500}=\frac{80700}{500}=161,4$. Phương sai: $s^2=\frac{25(152-161,4{)}^2+50(156-161,4{)}^2+200(160-161,4{)}^2+175(164-161,4{)}^2+50(168-161,4{)}^2}{500}=\frac{2209+1458+392+1183+2178}{500}=\frac{7420}{500}=14,84$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện các nhóm: 7,3; 7,5; 7,7; 7,9 với tần số tương ứng 2, 4, 7, 6; n = 19. Số trung bình: x̄ = (2·7,3 + 4·7,5 + 7·7,7 + 6·7,9)/19 = 145,9/19 ≈ 7,6789. Tổng bình phương: Σnᵢxᵢ² = 2·53,29 + 4·56,25 + 7·59,29 + 6·62,41 = 1121,07. Phương sai mẫu số liệu ghép nhóm: s² = (1/n)Σnᵢxᵢ² − x̄² = 1121,07/19 − (7,6789)² ≈ 59,0037 − 58,9663 ≈ 0,0374. Độ lệch chuẩn s ≈ √0,0374 ≈ 0,1933, gần nhất với 0,193. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện các nhóm: $x_1=11,5;x_2=13,5;x_3=15,5;x_4=17,5;x_5=19,5$ với tần số $n_1=3,n_2=12,n_3=15,n_4=24,n_5=2$, nên $n=56$.

Số trung bình:
$$\bar{x}=\frac{3\cdot 11,5+12\cdot 13,5+15\cdot 15,5+24\cdot 17,5+2\cdot 19,5}{56}=\frac{888}{56}\approx 15,857.$$

Tổng $n_i{x}_i^2=3\cdot 132,25+12\cdot 182,25+15\cdot 240,25+24\cdot 306,25+2\cdot 380,25=396,75+2187+3603,75+7350+760,5=14298$.

Phương sai:
$$s^2=\frac{14298}{56}-{\left(\frac{888}{56}\right)}^2\approx 255,321-251,449\approx 3,87.$$

Vậy $s^2\approx 3,87$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ biểu đồ, tần số các nhóm: [5,5;5,7): 3; [5,7;5,9): 4; [5,9;6,1): 6; [6,1;6,3): 5; [6,3;6,5): 5; [6,5;6,7): 2.
a) Tổng số thửa ruộng: 3+4+6+5+5+2 = 25, không phải 24 → sai.
b) Khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm: 6,7 − 5,5 = 1,2 (tấn/ha) → đúng.
c) n = 25. Vị trí Q1: 25/4 = 6,25 thuộc nhóm [5,7;5,9): Q1 = 5,7 + (6,25−3)/4 · 0,2 = 5,8625. Vị trí Q3: 3·25/4 = 18,75 thuộc nhóm [6,3;6,5): Q3 = 6,3 + (18,75−18)/5 · 0,2 = 6,33. Khoảng tứ phân vị = 6,33 − 5,8625 = 0,4675 → đúng.
d) Tần số tương ứng các giá trị đại diện 5,6; 5,8; 6,0; 6,2; 6,4; 6,6: mean = 152,2/25 = 6,088. Var = 928,76/25 − 6,088² = 37,1504 − 37,063744 = 0,086656 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng tần số là 3+4+6+5+5+2 = 25, không phải 24.
b) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên = 6,7 − 5,5 = 1,2 (tấn/ha).
c) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = 5,7 + (6,25−3)/4·0,2 = 5,8625; Q3 = 6,3 + (18,75−18)/5·0,2 = 6,33; IQR = 0,4675.
d) (AI giải đề cho tôi)
Mean = 6,088; Var = 928,76/25 − 6,088² = 0,086656.