Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)<0$ trên khoảng $(0;2)$ nên hàm số nghịch biến trên $(0;2)$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu: $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;-3)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-3;-1)$, $f^{\prime }(x)=0$ trên $(-1;1)$, và $f^{\prime }(x)>0$ trên $(1;+\infty )$. Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng $(-3;-1)$ và $(1;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ có $(2;3)\subset (1;+\infty )$ nên hàm số đồng biến trên $(2;3)$. Kiểm tra các phương án khác: $(0;1)$ và $(0;2)$ nằm trong vùng $f^{\prime }(x)=0$ (hàm không đổi, không đồng biến); $(-10;-5)\subset (-\infty ;-3)$ là vùng nghịch biến.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số:
- A: $y=x^3+3x$, có $y^{\prime }=3x^2+3>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
- B: $y=x^4-3x^2+1$, có $y^{\prime }=4x^3-6x=2x(2x^2-3)$, đổi dấu nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
- C: $y=\frac{x-1}{x+1}$ không xác định tại $x=-1$, không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
- D: $y=x^3-3x$, có $y^{\prime }=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$, đổi dấu tại $x=\pm 1$ nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ là $y=x^3+3x$.

(AI giải đề cho tôi)
TXĐ: $x\ne 2$. $y^{\prime }=\frac{(2x-1)(x-2)-(x^2-x-1)}{(x-2{)}^2}=\frac{x^2-4x+3}{(x-2{)}^2}=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-2{)}^2}$. Vì $(x-2{)}^2>0$ với mọi $x\ne 2$, dấu của $y^{\prime }$ theo dấu của $(x-1)(x-3)$: $y^{\prime }<0$ khi $1<x<3$, $x\ne 2$. Trong các đáp án, chỉ có $(1;2)$ nằm hoàn toàn trong khoảng nghịch biến (loại B vì $(1;3)$ chứa điểm $x=2$ mà hàm không xác định). Vậy hàm số nghịch biến trên $(1;2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu, $y^{\prime }>0$ trên khoảng $(0;2)$ nên hàm số đồng biến trên $(0;2)$. Trên $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$ ta có $y^{\prime }<0$ nên hàm nghịch biến. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Câu 12, mã đề 102: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị (Câu 8): hàm số đạt cực đại tại $x=0$ (giá trị $y=1$) và cực tiểu tại $x=2$ (giá trị $y=-3$). Trên khoảng $(0;2)$ đồ thị đi xuống nên hàm số nghịch biến; trên $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$ hàm đồng biến. Vậy hàm nghịch biến trên $(0;2)$, đáp án C, trùng đáp án nguồn (mã đề 102, câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số đạt cực đại tại $x=0$ và cực tiểu tại $x=2$, nên hàm nghịch biến trên khoảng $(0;2)$. Các khoảng khác đều chứa điểm cực trị nên không thỏa mãn. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Câu 9, mã đề 101: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số giảm trên $(-\infty ;-1)$, đồng biến trên $(-1;1)$, giảm trên $(1;+\infty )$ (điểm cực tiểu tại $x=-1$, cực đại tại $x=1$). Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;1)$, đáp án A. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 1, Mã đề 132: A).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=-x^2+5x-4=-(x-1)(x-4)$. Xét dấu: $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<1$ hoặc $x>4$; $f^{\prime }(x)<0$ khi $1<x<4$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(1;4)$, tương ứng đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số giảm trên khoảng từ $-\infty$ đến gần $x=0$ (có điểm cực tiểu tại $x=0$, $y=-2$), sau đó tăng trên khoảng $(0;2)$ (đạt cực đại tại $x=2$, $y=2$), rồi giảm trên $(2;+\infty )$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$. Kết quả trùng với đáp án A của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị của $f^{\prime }(x)$: đồ thị nằm dưới trục hoành khi $x<-3$, cắt trục hoành tại $x=-3$, nằm trên trục hoành trên $(-3;-2)$, cắt trục tại $x=-2$, nằm dưới trục hoành trên $(-2;+\infty )$ (tiếp tục âm sau $x=0$). Do đó: A sai vì $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;-3)$ nên hàm số nghịch biến; B sai vì trên $\left(-\frac{5}{2};-2\right)$ có $f^{\prime }(x)>0$ nên hàm đồng biến; D sai vì trên $\left(-\frac{1}{2};0\right)$ có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm nghịch biến; C đúng vì $f^{\prime }(x)<0$ với mọi $x\in (-2;+\infty )$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng này. Kết quả khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị của $f^{\prime }(x)$: $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=-3$, $x=-2$ và $x=0$; dấu của $f^{\prime }$ là: $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;-3)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-3;-2)$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-2;0)\cup (0;+\infty )$ (đồ thị $f^{\prime }$ chỉ chạm trục hoành tại $x=0$ rồi tiếp tục nằm dưới trục). Xét các mệnh đề:
- A: trên $\left(-\frac{5}{2};-2\right)$ có $f^{\prime }>0$ nên $f$ đồng biến, không nghịch biến → sai.
- B: trên $\left(-\frac{1}{2};0\right)$ có $f^{\prime }<0$ nên $f$ nghịch biến → sai.
- C: trên $(-2;+\infty )$ ta có $f^{\prime }\le 0$ (chỉ bằng $0$ tại điểm $x=0$) nên $f$ nghịch biến trên khoảng này → đúng.
- D: trên $(-\infty ;-3)$ có $f^{\prime }<0$ nên $f$ nghịch biến, không đồng biến → sai.
Vậy mệnh đề đúng là C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm số: hàm giảm trên $(-\infty ;0)$, đạt cực tiểu tại điểm $(0;-2)$; hàm tăng trên $(0;2)$, đạt cực đại tại điểm $(2;2)$; sau đó hàm giảm trên $(2;+\infty )$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$, tương ứng đáp án B. Điều này khớp với đáp án của đề (mã 1701, câu 7: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-2}{x+1}$ có tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(x+1)-(x-2)}{(x+1{)}^2}=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$. Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$. Vậy mệnh đề đúng là D: hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;+\infty )$. Kết quả này trùng với đáp án D trong bảng mã đề 1114.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)>0$ trên khoảng $(0;1)$ (vì $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=0$ và từ $+$ sang $-$ tại $x=1$). Do đó hàm số đồng biến trên $(0;1)$. Trên $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$ hàm nghịch biến; khoảng $(-1;1)$ không phải khoảng đồng biến vì hàm không đồng biến trên toàn khoảng. Kết quả khớp với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 1114).

a) TXĐ: $\mathbb{R}$.
Ta có: $f^{\prime }(x)=3x^2+6x-9=0\iff x=1;-3$. (0,25 điểm)
Bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$:

(0,25 điểm)
Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-3);(1;+\infty )$, nghịch biến trên $(-3;1)$. (0,25 điểm)
b) Ta có hai điểm cực trị là $A(-3;28)$, $B(1;-4)$ (0,25 điểm)
$\overrightarrow{AB}=(4;-32)\Rightarrow AB:8x+y-4=0$ (0,25 điểm)
$AB\cap Ox=M\left(\frac{1}{2};0\right)$, $AB\cap Oy=N(0;4)\Rightarrow S_{OMN}=1$ (đvdt) (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: trên $(-1;0)$ hàm đồng biến, trên $(0;2)$ hàm nghịch biến (đồ thị đi xuống từ cực đại tại $x=0$ đến cực tiểu tại $x=2$), trên $(2;6)$ hàm đồng biến. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$, trùng với đáp án nguồn (Câu 4, MD0911: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{-x+2}{x-1}$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{-(x-1)-(-x+2)}{(x-1{)}^2}=\frac{-x+1+x-2}{(x-1{)}^2}=\frac{-1}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$. Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$, không thể nói nghịch biến trên $(-\infty ;1)\cup (1;+\infty )$ hay trên $\mathbb{R}$. Khẳng định đúng là B, trùng với đáp án nguồn (2.B).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: A) $y=x^3-3x^2-14$ có $y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)$, đổi dấu nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$. B) $y=x^3-x^2+12x-9$ có $y^{\prime }=3x^2-2x+12$ với $\Delta =(-2{)}^2-4\cdot 3\cdot 12=4-144=-140<0$ và hệ số $a=3>0$ nên $y^{\prime }>0$ với mọi $x$, hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. C) $y=\frac{2x-2}{x+1}$ có $y^{\prime }=\frac{4}{(x+1{)}^2}>0$ nhưng hàm số không xác định tại $x=-1$, nên chỉ đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$, không đồng biến trên $\mathbb{R}$. D) $y=x^4+2x^2$ có $y^{\prime }=4x^3+4x=4x(x^2+1)$, âm khi $x<0$ nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (8.B).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: A) $y=x^3-3x^2-1$, $y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)$ đổi dấu nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$. B) $y=x^3-x^2+6x-1$, $y^{\prime }=3x^2-2x+6$ có $\Delta =(-2{)}^2-4\cdot 3\cdot 6=4-72=-68<0$ và hệ số $a=3>0$ nên $y^{\prime }>0$ với mọi $x$, hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. C) $y=\frac{x-2}{x+1}$ nghịch biến trên mỗi khoảng xác định. D) $y=x^4+2x^2-1$ có $y^{\prime }=4x^3+4x=4x(x^2+1)$ đổi dấu tại $x=0$. Vậy đáp án là B, khớp với đáp án nguồn (7.B).