Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=-x^3+3x$, có $y^{\prime }=-3x^2+3$. $y^{\prime }=0\iff x=\pm 1$. Với $x\in (-1;1)$ thì $y^{\prime }>0$, nên hàm số đồng biến trên $(-1;1)$. Trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$ ta có $y^{\prime }<0$ (nghịch biến), trên $(0;\sqrt{3})$ hàm không đồng biến hoàn toàn. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sqrt{-x^2+2x}$ xác định khi $-x^2+2x\ge 0\iff x\in [0;2]$. Ta có $y^{\prime }=\frac{2-2x}{2\sqrt{-x^2+2x}}=\frac{1-x}{\sqrt{-x^2+2x}}$. Trên $(0;2)$, mẫu dương nên dấu của $y^{\prime }$ theo dấu của $1-x$: $y^{\prime }>0$ khi $x<1$ và $y^{\prime }<0$ khi $x>1$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(0;1)$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=(2x)e^x+(x^2-3)e^x=(x^2+2x-3)e^x=(x-1)(x+3)e^x$. Vì $e^x>0$ với mọi $x$, dấu của $y^{\prime }$ theo dấu của $(x-1)(x+3)$. Nghiệm $y^{\prime }=0$: $x=-3$ hoặc $x=1$. Xét dấu: $y^{\prime }<0$ khi $-3<x<1$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-3;1)$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=6x^2-6=6(x^2-1)$. $y^{\prime }<0$ khi $-1<x<1$, nên hàm số nghịch biến trên $(-1;1)$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định với $x\ne -2$. Ta có $y^{\prime }=\frac{2(x+2)-(2x-1)}{(x+2{)}^2}=\frac{5}{(x+2{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -2$. Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;-2)$ và $(-2;+\infty )$ (không đồng biến trên toàn tập xác định vì không liên tục tại $x=-2$). Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định: $4-x^2\ge 0\iff -2\le x\le 2$. Với $x\in (-2;2)$, $y^{\prime }=\frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}$. Khi $x\in (-2;0)$ thì $y^{\prime }>0$ nên hàm số đồng biến trên $(-2;0)$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số $y=f(x)$ có điểm cực tiểu tại $(-1;-2)$ và điểm cực đại tại $(1;2)$. Do đó hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, đồng biến trên khoảng $(-1;1)$. Trong các phương án, chỉ có khoảng $(-1;1)$ (phương án C) là khoảng đồng biến của hàm số. Kiểm tra: trên $(-1;1)$ đồ thị đi lên từ $-2$ đến $2$ nên hàm đồng biến; các khoảng $(0;+\infty )$, $(-2;2)$, $(-2;1)$ đều chứa phần đồ thị đi xuống nên loại.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị trên đoạn $[-3;3]$: hàm số đi lên từ $x=-3$ đến $x=-1$ (đạt cực đại $y=1$ tại $x=-1$), đi xuống từ $x=-1$ đến $x=1$ (đạt cực tiểu $y=-3$ tại $x=1$), đi lên từ $x=1$ đến $x=2$ (đạt cực đại $y=3$ tại $x=2$), rồi đi xuống từ $x=2$ đến $x=3$. Vậy hàm đồng biến trên $(-3;-1)$ và $(1;2)$. Trong các đáp án, chỉ có $(-3;-1)$ thỏa mãn. Kiểm tra các phương án khác: $(-1;0)$ và $(0;2)$ chứa đoạn nghịch biến $(-1;1)$; $(1;3)$ chứa đoạn nghịch biến $(2;3)$ — đều sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ (Câu 59, trang 12): đồ thị nằm dưới trục hoành trên $(-\infty ;-3)$, cắt trục hoành tại $x=-3$ đi từ dưới lên trên, nằm trên trục hoành trên $(-3;-2)$, cắt trục hoành tại $x=-2$ đi từ trên xuống dưới, và tiếp xúc trục hoành tại $x=0$ (nghiệm kép) nên $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-2;0)$ và $(0;+\infty )$. Vậy $f^{\prime }(x)>0$ chỉ trên khoảng $(-3;-2)$, tức $f(x)$ đồng biến trên $(-3;-2)$. Các phương án A, B, C sai vì trên các khoảng đó $f^{\prime }(x)\le 0$. Chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có $$y^{\prime }=\frac{(2x-1)(x+1)-(x^2-x+2)}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-3}{(x+1{)}^2}=\frac{(x-1)(x+3)}{(x+1{)}^2}.$$ Vì $(x+1{)}^2>0$ với mọi $x\ne -1$, dấu của $y^{\prime }$ theo dấu của $(x-1)(x+3)$: $y^{\prime }<0$ khi $-3<x<1$, $x\ne -1$. Vậy hàm số nghịch biến trên $(-3;-1)$ và $(-1;1)$. Trong các đáp án, chỉ có $(-1;1)$ (đáp án D) là khoảng nghịch biến. Lưu ý $(-3;1)$ (đáp án A) sai vì chứa điểm $x=-1$ mà hàm không xác định.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sqrt{x^2-2x-3}$ xác định khi $x^2-2x-3\ge 0\iff x\le -1$ hoặc $x\ge 3$. Ta có $y^{\prime }=\frac{2x-2}{2\sqrt{x^2-2x-3}}=\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x-3}}$. Với $x<-1$ thì $x-1<0$ nên $y^{\prime }<0$, hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$; với $x>3$ thì $y^{\prime }>0$, hàm số đồng biến trên $(3;+\infty )$. Trong các đáp án, khoảng nghịch biến là $(-\infty ;-3)\subset (-\infty ;-1)$, thuộc đáp án A. Lưu ý $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$ không nằm trọn trong tập xác định nên loại; $(3;+\infty )$ là khoảng đồng biến.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=(x+2)(x+1)(x^2-1)=(x+2)(x+1{)}^2(x-1)$. Xét dấu: với $x<-2$: $(x+2)<0$, $(x+1{)}^2>0$, $(x-1)<0$ nên $f^{\prime }(x)>0$. Với $-2<x<-1$ và $-1<x<1$: $(x+2)>0$, $(x-1)<0$ nên $f^{\prime }(x)<0$. Với $x>1$: $f^{\prime }(x)>0$. Vậy hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-2)$ và $(1;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ có $(-\infty ;-2)$ xuất hiện, chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $u=x^3-3x^2+3$, hàm số $y=2^u$ đồng biến theo $u$ vì cơ số $2>1$. Ta có $y^{\prime }=2^{x^3-3x^2+3}\ln 2\cdot (3x^2-6x)$. Hàm số nghịch biến khi $y^{\prime }<0⟺3x^2-6x<0⟺0<x<2$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=3^{x^2-2x}$ có $f^{\prime }(x)=3^{x^2-2x}\cdot (2x-2)\cdot \ln 3$. Vì $3^{x^2-2x}>0$ và $\ln 3>0$ nên dấu $f^{\prime }(x)$ theo dấu của $2x-2$. Do đó $f^{\prime }(x)>0\iff x>1$, tức hàm số đồng biến trên khoảng $(1;+\infty )$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=4x^3-12x+8=4(x^3-3x+2)=4(x-1{)}^2(x+2)$. Với $x<-2$: $y^{\prime }<0$ nên hàm nghịch biến; với $x>-2$, $x\ne 1$: $y^{\prime }>0$ nên hàm đồng biến (tại $x=1$ đạo hàm bằng 0 nhưng không đổi dấu). a) Trên $(1;+\infty )$ có $y^{\prime }>0$ (trừ điểm $x=1$) nên hàm đồng biến — đúng. b) Trên $(1;4)$ hàm đồng biến, không nghịch biến — sai. c) Trên $(-2;4)$ hàm đồng biến — đúng. d) Trên $(-\infty ;-2)$ hàm nghịch biến — đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x>1$, $y^{\prime }=4(x-1{)}^2(x+2)>0$ nên hàm đồng biến trên $(1;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\in (1;4)$, $y^{\prime }=4(x-1{)}^2(x+2)>0$ nên hàm đồng biến, không nghịch biến trên $(1;4)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\in (-2;4)$, $x\ne 1$, $y^{\prime }>0$; tại $x=1$ đạo hàm bằng 0 nhưng hàm vẫn đồng biến trên toàn khoảng $(-2;4)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $x<-2$, $y^{\prime }=4(x-1{)}^2(x+2)<0$ nên hàm nghịch biến trên $(-\infty ;-2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;0)$ và $(3;+\infty )$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(0;3)$. a) Sai vì hàm đồng biến trên $(-\infty ;0)$, không phải $(-\infty ;2)$. b) Đúng vì $f^{\prime }(x)<0$ trên $(0;3)$. c) Sai vì hàm đạt cực đại tại $x=0$ ($f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$), còn $x=2$ không phải điểm cực trị. d) Đúng vì $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=3$ nên giá trị cực tiểu là $f(3)=-4$.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Hàm đồng biến trên khoảng $(-\infty ;0)$ vì $f^{\prime }(x)>0$ trên khoảng đó, không phải trên $(-\infty ;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Trên $(0;3)$ có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm nghịch biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Hàm đạt cực đại tại $x=0$ ($f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$); $x=2$ không phải điểm cực trị.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Tại $x=3$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên hàm đạt cực tiểu với giá trị $f(3)=-4$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: f nghịch biến trên $(-\infty ;-2)$, đồng biến trên $(-2;1)$, nghịch biến trên $(1;+\infty )$. a) Sai vì trên $(0;2)$ hàm đồng biến trên $(0;1)$ nhưng nghịch biến trên $(1;2)$. b) Đúng vì $(2;+\infty )\subset (1;+\infty )$ nơi hàm nghịch biến. c) Đúng vì hàm đồng biến trên $(-2;1)$. d) $y=f(2x-1)$ nghịch biến khi $2x-1>1\iff x>1$, nên trên $\left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right)$ ta có $2x-1<-2$ nơi f đồng biến, do đó khẳng định sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;1)$ hàm đồng biến nhưng trên $(1;2)$ hàm nghịch biến, nên không đồng biến trên toàn khoảng $(0;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(2;+\infty )\subset (1;+\infty )$ và f nghịch biến trên $(1;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Bảng biến thiên cho $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-2;1)$ nên hàm đồng biến.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y=f(2x-1)$ nghịch biến khi $2x-1>1\iff x>1$. Với $x<-\frac{1}{2}$ thì $2x-1<-2$, nơi f đồng biến, nên khẳng định sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;-3)$ và $(-3;-2)$; $y^{\prime }<0$ trên $(-2;+\infty )$. a) Sai: khoảng đồng biến là $(-\infty ;-3)$ và $(-3;-2)$, không phải $(-\infty ;-5)$. b) Sai: $(-\infty ;5)$ không phải khoảng đồng biến (5 không liên quan, hàm nghịch biến từ $-2$). c) Đúng: $y^{\prime }<0$ trên $(-2;+\infty )$ nên hàm nghịch biến trên khoảng này. d) Đúng: $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$, $y^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;-3)$ và $(-3;-2)$, nên hàm đồng biến trên $(-\infty ;-2)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đồng biến trên $(-\infty ;-3)$ và $(-3;-2)$, không phải $(-\infty ;-5)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-2;+\infty )$ hàm nghịch biến nên không đồng biến trên $(-\infty ;5)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }<0$ trên $(-2;+\infty )$ nên hàm nghịch biến trên khoảng này.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $y^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;-3)\cup (-3;-2)$ nên hàm đồng biến trên $(-\infty ;-2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=(1-x{)}^2(x+3{)}^3(3-x)$. Vì $(1-x{)}^2\ge 0$ với mọi $x$, dấu của $f^{\prime }(x)$ do $(x+3{)}^3(3-x)$ quyết định. Xét $(x+3)(3-x)>0\iff -3<x<3$, khi đó $f^{\prime }(x)>0$ (trừ $x=1$ nơi $f^{\prime }=0$ nhưng không đổi dấu). Vậy hàm số đồng biến trên $(-3;3)$, do đó đồng biến trên khoảng con $(1;3)$. Các khoảng $(-\infty ;-1)$, $(3;+\infty )$, $(-\infty ;1)$ đều chứa đoạn $x<-3$ nơi hàm nghịch biến. Chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=-3x^2+6x=-3x(x-2)$. $y^{\prime }>0$ khi $0<x<2$, nên hàm số đồng biến trên $(0;2)$. Vậy đáp án D.