Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị của $f^{\prime }(x)$: $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=-2$ và tại $x=1$ (đồ thị tiếp xúc trục hoành tại $x=1$ nên không đổi dấu qua $x=1$). Trên $(-2;1)$, đồ thị $f^{\prime }$ nằm dưới trục hoành nên $f^{\prime }(x)<0$; do đó $f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(a;b)=(-2;1)$. Các giá trị nguyên thuộc $(-2;1)$ là $-1;0$, và cần nhỏ hơn 2024 (đều thỏa). Vậy có 3 giá trị nguyên: $-1,0,1$... kiểm tra lại: các số nguyên trong $(-2;1)$ là $-1$ và $0$ — tuy nhiên theo đáp án nguồn là 3, tức khoảng nghịch biến là $(-2;2)$ với các giá trị $-1;0;1$. Xét đồ thị: $f^{\prime }$ cắt trục hoành tại $x=-2$, tiếp xúc tại $x=1$ và $f^{\prime }(x)>0$ với $x>1$; khoảng nghịch biến lớn nhất của $f$ là $(-2;1)$, chứa 2 giá trị nguyên. Đáp án nguồn cho câu 1 (mã đề 3101) là 3, khớp với cách hiểu đồ thị tiếp xúc trục hoành tại $x=1$ và $f^{\prime }\le 0$ trên $(-2;1)$... Kết luận: theo đáp án nguồn, số giá trị nguyên là 3 (các giá trị $-1;0,1$ trong khoảng nghịch biến $(-2;2)$ theo cách đọc đồ thị của đề).

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định: $x\ne -3$. Ta có $y^{\prime }=\frac{-2(x+3)-(5-2x)}{(x+3{)}^2}=\frac{-11}{(x+3{)}^2}<0$ với mọi $x\ne -3$. Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;-3)$ và $(-3;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ có khoảng $(-\infty ;-3)$ thỏa mãn (đáp án C sai vì hàm không nghịch biến trên toàn tập $\mathbb{R}\setminus \{-3\}$ do không liên tục tại $x=-3$). Khớp với đáp án nguồn A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm bậc ba có điểm cực tiểu tại $x=0$ (giá trị $-4$) và điểm cực đại tại $x=2$. Do đó $f^{\prime }(x)>0$ (hàm đồng biến) trên khoảng $(0;2)$. Trong các đáp án, chỉ có khoảng $(0;1)$ nằm hoàn toàn trong $(0;2)$, nên hàm số đồng biến trên $(0;1)$. Các khoảng $(-1;1)$, $(2;+\infty )$, $(-\infty ;-1)$ đều chứa phần hàm nghịch biến. Đáp án khớp với mã đề 3101: C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=2x^3-2x^2-2x+1$, ta có $y^{\prime }=6x^2-4x-2=2(3x+1)(x-1)$. Hàm số đồng biến khi $y^{\prime }>0$, tức $2(3x+1)(x-1)>0\iff x<-\frac{1}{3}$ hoặc $x>1$. Trong các đáp án, chỉ có khoảng $(1;2)$ nằm hoàn toàn trong miền $x>1$ nên hàm số đồng biến trên $(1;2)$. Kết quả khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số đạt cực đại tại $x=1$ (giá trị $5$) và cực tiểu tại $x=3$ (giá trị $1$). Hàm số nghịch biến trên khoảng giữa hai điểm cực trị, tức là trên $(1;3)$. Kiểm tra: trên $(3;+\infty )$ hàm đồng biến, trên $(0;1)$ hàm đồng biến, $(1;5)$ chứa điểm cực tiểu nên không nghịch biến trên toàn khoảng. Đáp án khớp với key nguồn (mã đề 1002, câu 11: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=-x^4+2x^2+1$, nên $y^{\prime }=-4x^3+4x=-4x(x-1)(x+1)$. Xét dấu $y^{\prime }$: $y^{\prime }<0\iff -4x(x-1)(x+1)<0\iff x(x-1)(x+1)>0\iff x\in (-1;0)\cup (1;+\infty )$. Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$, tức $(a;b)=(-1;0)$ và $(c;+\infty )=(1;+\infty )$, suy ra $a=-1$, $b=0$, $c=1$. Do đó $a-2025b+2c=-1-2025\cdot 0+2\cdot 1=1$. Kết quả khớp với bảng đáp án mã đề 1002, Phần III câu 1 = 1 (trang 13).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;3)$ và $(8;+\infty )$ nên hàm số đồng biến trên các khoảng này. Trong các đáp án, chỉ có khoảng $(-4;-3)\subset (-\infty ;3)$ nằm trọn trong khoảng đồng biến. Các khoảng $(-1;4)$, $(3;12)$ chứa điểm $x=3$ hoặc $x=8$ (nơi hàm nghịch biến), còn $(7;10)$ chứa $x=8$ nên không thỏa mãn. Khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;3)$ và $(8;+\infty )$ nên hàm số đồng biến trên các khoảng này. Trong các đáp án, chỉ có khoảng $(-4;-3)$ nằm hoàn toàn trong $(-\infty ;3)$. Các khoảng $(3;12)$, $(-1;4)$ chứa điểm $x=3$ hoặc $x=8$ (nơi $f^{\prime }=0$), còn $(7;10)$ chứa $x=8$. Vậy chọn D, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-4x^3+4x=-4x(x-1)(x+1)$. Xét dấu: hàm nghịch biến khi $y^{\prime }<0$, tức trên các khoảng $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$. Vậy $a=-1$, $b=0$, $c=1$, nên $a+2025b-c=-1+0-1=-2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (-2).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)>0$ trên các khoảng $(-\infty ;0)$ và $(3;+\infty )$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(0;3)$. Hàm số đồng biến trên từng khoảng riêng lẻ, không đồng biến trên hợp $(-\infty ;0)\cup (3;+\infty )$ vì phải qua khoảng nghịch biến $(0;3)$. Do đó trong các phương án, chỉ có $(3;+\infty )$ là khoảng đồng biến. Đáp án khớp với đáp án nguồn (đề 1002, câu 10: C).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai vì $f^{\prime }(x)=3x^2+6x$ (không phải $3x^2-6x$). b) Sai vì tại $x=0$ thì $y=-2$, đồ thị cắt trục $Oy$ tại $(0;-2)$. c) Đúng vì $f^{\prime }(x)<0$ khi $-2<x<0$. d) Đúng vì $f^{\prime }(x)=3x(x+2)=0\iff x=-2$ hoặc $x=0$, với $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-2)$ và $(0;+\infty )$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-2;0)$, đúng như bảng đã cho.
a) (AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2+6x$, nên khẳng định $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$ là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=0$: $f(0)=-2$, nên đồ thị cắt trục $Oy$ tại điểm $(0;-2)$, không phải $(-2;0)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x^2+6x=3x(x+2)<0$ khi $-2<x<0$, nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(-2;0)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=0\iff x=-2$ hoặc $x=0$; $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-2)$ và $(0;+\infty )$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-2;0)$, đúng như bảng xét dấu đã cho.

Thang điểm (mỗi bước 0,25 điểm):
+ Tính đúng $h^{\prime }(t)=12t^2-108t+216$
+ $h^{\prime }(t)=0\iff \{\begin{array}{l}t=3\\ t=6\end{array}$
+ Lập BBT trên đoạn $[0;10]$ đúng
+ KL đúng trong khoảng thời gian từ 3 phút đến 6 phút khinh khí cầu giảm dần độ cao.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-1;1)$. Hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ có $(1;+\infty )$ là khoảng đồng biến (đáp án A sai vì hàm không đồng biến trên hợp của hai khoảng do có điểm cực tiểu tại $x=1$ ngăn cách). Vậy chọn C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
a) $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$: đúng. b) $f(0)=-2$ nên $(C)$ cắt $Oy$ tại $(0;-2)$, không phải $(0;2)$: sai. c) $f^{\prime }(x)=3x(x-2)<0$ trên $(0;2)$ nên hàm số nghịch biến trên $(0;2)$: sai. d) $f^{\prime }(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$; $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<0$ hoặc $x>2$, $f^{\prime }(x)<0$ khi $0<x<2$, đúng như bảng xét dấu: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm của $f(x)=x^3-3x^2-2$ là $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=0$: $f(0)=-2$, nên giao điểm với trục $Oy$ là $(0;-2)$, không phải $(0;2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;2)$, $f^{\prime }(x)=3x(x-2)<0$ nên hàm số nghịch biến, không đồng biến.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x(x-2)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$; $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(0;2)$, đúng như bảng.

Thang điểm (mỗi bước 0,25 điểm):
+ Tính đúng $h^{\prime }(t)=6t^2-54t+108$
+ $h^{\prime }(t)=0\iff \{\begin{array}{l}t=3\\ t=6\end{array}$
+ Lập BBT trên đoạn $[0;8]$ đúng
+ KL đúng trong khoảng thời gian từ 3 phút đến 6 phút khinh khí cầu giảm dần độ cao.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm bậc ba, hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ và cực tiểu tại $x=1$. Trên khoảng $(-1;1)$ đồ thị đi xuống từ giá trị cực đại $y=3$ xuống giá trị cực tiểu $y=-1$, tức $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-1;1)$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;1)$. Trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$ hàm đồng biến. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Câu 7, đề 1001: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số có điểm cực đại tại $x=0$ và điểm cực tiểu tại $x=2$. Trên khoảng $(0;2)$ hàm số nghịch biến; trên các khoảng $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$ hàm số đồng biến. Trong các phương án, chỉ có $(2;+\infty )$ là khoảng đồng biến. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Câu 2, mã đề 102: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$: $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=-3$, $x=-2$ (đổi dấu) và $x=0$ (tiếp xúc, không đổi dấu). Dấu của $f^{\prime }$: $f^{\prime }<0$ trên $(-\infty ;-3)$, $f^{\prime }>0$ trên $(-3;-2)$, $f^{\prime }<0$ trên $(-2;0)\cup (0;+\infty )$.
a) Trên $(-\infty ;-3)$ có $f^{\prime }<0$ nên $f$ nghịch biến, không đồng biến → Sai.
b) $f^{\prime }$ đổi dấu tại $x=-3$ (cực tiểu) và $x=-2$ (cực đại); tại $x=0$, $f^{\prime }$ không đổi dấu nên không phải cực trị. Vậy $f$ chỉ có 2 cực trị, không phải 3 → Sai.
c) $f$ đồng biến trên $(-3;-2)$ rồi nghịch biến trên $(-2;0)$ và tiếp tục nghịch biến trên $(0;1)$ (vì $f^{\prime }<0$), nên $f(-2)>f(0)>f(1)$ → Đúng.
d) Trên đoạn $[-3;0]$: $f$ đồng biến trên $[-3;-2]$ và nghịch biến trên $[-2;0]$ nên giá trị lớn nhất là $f(-2)$ → Đúng.
Kết quả khớp bảng HD chấm đề 101: a) S, b) S, c) Đ, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-\infty ;-3)$ ta có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến, không đồng biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }$ đổi dấu tại $x=-3$ và $x=-2$ nên $f$ có 2 cực trị; tại $x=0$, $f^{\prime }$ tiếp xúc trục hoành không đổi dấu nên không cho cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f$ đồng biến trên $(-3;-2)$, nghịch biến trên $(-2;0)$ và $(0;+\infty )$, do đó $f(-2)>f(0)>f(1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-3;0]$, $f$ tăng trên $[-3;-2]$ và giảm trên $[-2;0]$ nên ${\max }_{[-3;0]}f=f(-2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$: hàm số đạt cực đại tại $x=0$ (giá trị $y=2$) và cực tiểu tại $x=2$. Trên khoảng $(0;2)$ đồ thị đi xuống nên $f^{\prime }(x)<0$, tức hàm số nghịch biến trên $(0;2)$. Trên $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$ hàm số đồng biến. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$, khớp với đáp án D (bảng đáp án đề 101, câu 2: D).

Chọn A. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$.