Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị ở trang 7: hàm số đồng biến từ $-\infty$ đến điểm cực đại (khoảng $x\approx -0,5$), sau đó nghịch biến từ điểm cực đại này đến điểm cực tiểu (khoảng $x\approx 1,5$), rồi lại đồng biến đến một điểm cực đại nhỏ gần $x\approx 3$, nghịch biến đến điểm cực tiểu gần $x\approx 4$, cuối cùng đồng biến. Vậy hàm nghịch biến trên khoảng chứa $(0;1)$, tức khoảng $(0;1)$ nằm hoàn toàn trong khoảng nghịch biến. Các khoảng $(-1;1)$, $(-\infty ;-1)$, $(1;2)$ đều chứa cả đoạn đồng biến hoặc không nằm trọn trong khoảng nghịch biến. Đáp án: C.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 21: Hàm số $y=x^3-3x^2-9x+7$ có $y^{\prime }=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)$. Hàm đồng biến khi $y^{\prime }>0\iff x<-1$ hoặc $x>3$. Trong các đáp án, chỉ có khoảng $(-5;-2)\subset (-\infty ;-1)$ nên hàm đồng biến trên khoảng này. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên của $y=f(x)$: $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;2)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(2;3)$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(3;+\infty )$; hàm đạt cực tiểu $f(2)=-1$ và cực đại $f(3)=2$. Xét các khẳng định: A sai vì hàm đồng biến trên $(2;3)$ nên không nghịch biến trên $(-\infty ;3)\cup (3;+\infty )$. B sai vì hàm đồng biến trên $(2;3)$, không thể nghịch biến trên $(-\infty ;2]\cup [3;+\infty )$ như một khẳng định liên tục. C sai vì trên $[-1;2]$ hàm nghịch biến ($f^{\prime }<0$), không đồng biến. D đúng vì $(2;\frac{5}{2})\subset (2;3)$, nơi $f^{\prime }(x)>0$, nên hàm đồng biến trên khoảng $(2;\frac{5}{2})$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 23: Cho hàm số $y=\frac{x-2024}{x+1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(x+1)-(x-2024)}{(x+1{)}^2}=\frac{2025}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$. Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$, không đồng biến trên toàn $\mathbb{R}$ vì gián đoạn tại $x=-1$. Do đó mệnh đề đúng là C: Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ;-1)$. A và D sai vì hàm đồng biến chứ không nghịch biến; B sai vì hàm không đồng biến trên $(-\infty ;+\infty )$ do không liên tục tại $x=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 24: Hàm số $y=\frac{x^2-3x+5}{x+1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x-3)(x+1)-(x^2-3x+5)}{(x+1{)}^2}=\frac{2x^2-x-3-x^2+3x-5}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-8}{(x+1{)}^2}=\frac{(x+4)(x-2)}{(x+1{)}^2}$. Vì $(x+1{)}^2>0$ với mọi $x\ne -1$, dấu của $y^{\prime }$ theo dấu của $(x+4)(x-2)$: $y^{\prime }>0$ khi $x<-4$ hoặc $x>2$; $y^{\prime }<0$ khi $-4<x<2$ (loại $x=-1$). Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-4;-1)$ và $(-1;2)$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 25: Đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ là đường cong bậc bốn dạng chữ W, cắt trục hoành tại $x=-1$ và $x=1$, và tiếp xúc trục hoành tại $x=0$ ($f^{\prime }(0)=0$ nhưng $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu qua $x=0$). Trên khoảng $(-1;1)$, đồ thị $f^{\prime }(x)$ nằm dưới trục hoành ($f^{\prime }(x)\le 0$), nên hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(-1;1)$. Trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$ thì $f^{\prime }(x)>0$ nên $f$ đồng biến. Vậy đáp án A. $(-1;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^3-3x^2-9x+7$, ta có $y^{\prime }=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)$. Hàm số đồng biến khi $y^{\prime }>0$, tức $x<-1$ hoặc $x>3$. Xét các đáp án: A. $(1;+\infty )$: trên $(1;3)$ ta có $y^{\prime }<0$ nên hàm nghịch biến, loại. B. $(-5;-2)\subset (-\infty ;-1)$: với mọi $x\in (-5;-2)$, cả $(x-3)$ và $(x+1)$ đều âm nên $y^{\prime }>0$, hàm đồng biến trên khoảng này — đúng. C. $(-\infty ;1)$: trên $(-1;1)$ hàm nghịch biến, loại. D. $(-1;3)$: $y^{\prime }<0$ trên khoảng này nên hàm nghịch biến, loại. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;2)$ và $(3;+\infty )$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(2;3)$. Xét các khẳng định: A sai vì hàm đồng biến trên $(2;3)$, không nghịch biến trên toàn bộ $(-\infty ;3)\cup (3;+\infty )$. B sai vì hàm không nghịch biến trên $[3;+\infty )$ với dấu ngoặc vuông tại $3$ (đồng biến cục bộ quanh lân cận trái của 3 thuộc miền xét, và cách viết hợp khoảng không đúng vì $(-\infty ;2]\cup [3;+\infty )$ không phải khoảng nghịch biến chuẩn). C sai vì $[-1;2]$ chứa điểm $x=2$ là điểm cực tiểu, hàm không đồng biến trên cả đoạn này (trên $(-\infty ;2)$ hàm nghịch biến). D đúng vì $(2;\frac{5}{2})\subset (2;3)$, nơi $f^{\prime }(x)>0$, nên hàm số đồng biến trên khoảng này.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{ad-bc}{(cx+d{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -\frac{d}{c}$, nên hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định $\left(-\infty ;-\frac{d}{c}\right)$ và $\left(-\frac{d}{c};+\infty \right)$, nhưng không đồng biến trên toàn tập xác định (không liên tục tại $x=-\frac{d}{c}$). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-2}{x+3}$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{-3\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(x+3)-(x-2)}{(x+3{)}^2}=\frac{5}{(x+3{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -3$. Vậy hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;-3)$ và $(-3;+\infty )$ (không đồng biến trên toàn miền xác định vì không liên tục tại $x=-3$). Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)>0$ trên khoảng $(0;2)$ nên hàm số đồng biến trên $(0;2)$. Trên $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$ hàm nghịch biến; $(-1;3)$ là khoảng giá trị chứ không phải khoảng của $x$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-2024}{x+1}$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(x+1)-(x-2024)}{(x+1{)}^2}=\frac{2025}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$. Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$ (không đồng biến trên toàn miền xác định vì không liên tục tại $x=-1$). Do đó mệnh đề đúng là C: hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ;-1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$ (nên $y^{\prime }<0$ với $\forall x\ne 2$, loại B, D) và trên mỗi nhánh hàm số nghịch biến (nhánh trái đi xuống từ gần $y=3$ tới $-\infty$, nhánh phải đi xuống từ $+\infty$ tới gần $y=3$). Với hàm $y=\frac{ax+b}{cx+d}$, $y^{\prime }=\frac{ad-bc}{(cx+d{)}^2}$ có dấu không đổi trên tập xác định, nên $y^{\prime }<0,\forall x\ne 2$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm bậc ba có điểm cực đại tại $x=-1$ và điểm cực tiểu tại $x=1$ (đỉnh cao nằm bên trái trục $Oy$, đáy thấp nằm bên phải). Hàm số nghịch biến trên khoảng giữa hai điểm cực trị, tức là trên $(-1;1)$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+4}{1-x}$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{2(1-x)-(2x+4)(-1)}{(1-x{)}^2}=\frac{2-2x+2x+4}{(1-x{)}^2}=\frac{6}{(1-x{)}^2}>0$ với mọi $x\ne 1$. Vậy hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$ (không đồng biến trên hợp của hai khoảng vì hàm không liên tục tại $x=1$). Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu: $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-3)$ và $(-3;1)$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(1;+\infty )$. Vậy hàm số nghịch biến trên $(1;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ có $(2;+\infty )\subset (1;+\infty )$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng này. Các khoảng còn lại đều chứa điểm mà $f^{\prime }(x)>0$ (ví dụ $x=0$ với $f^{\prime }(0)>0$) nên không thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x-3)(x+1)-(x^2-3x+5)}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-8}{(x+1{)}^2}=\frac{(x+4)(x-2)}{(x+1{)}^2}$. Vì $(x+1{)}^2>0$ với mọi $x\ne -1$, dấu của $y^{\prime }$ theo dấu của $(x+4)(x-2)$: $y^{\prime }<0$ khi $-4<x<2$, $x\ne -1$. Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-4;-1)$ và $(-1;2)$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sqrt{2x^2+1}$ xác định trên $\mathbb{R}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{4x}{2\sqrt{2x^2+1}}=\frac{2x}{\sqrt{2x^2+1}}$. Vì $\sqrt{2x^2+1}>0$ với mọi $x$, nên $y^{\prime }>0\iff x>0$ và $y^{\prime }<0\iff x<0$. Vậy hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$ và nghịch biến trên $(-\infty ;0)$. Do đó mệnh đề đúng là A. (D sai vì trên $(-1;0)$ hàm nghịch biến còn trên $(0;1)$ hàm đồng biến.)

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định: $2x-x^2\ge 0\iff x\in [0;2]$. Với $x\in (0;2)$, $y^{\prime }=\frac{2-2x}{2\sqrt{2x-x^2}}=\frac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}$. Trên $(0;1)$ thì $y^{\prime }>0$ nên hàm số đồng biến; trên $(1;2)$ thì $y^{\prime }<0$ nên nghịch biến. Vậy khẳng định đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ là đường cong bậc bốn dạng W: $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;-1)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-1;0)$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(0;1)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(1;+\infty )$. Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên khoảng mà $f^{\prime }(x)<0$, tức là trên $(-\infty ;-1)$ (và cả $(0;1)$, nhưng chỉ $(-\infty ;-1)$ xuất hiện trong các đáp án). Vậy chọn B.