Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

Ta có $f^{\prime }(x)=6x^2+2ax+b$. Khi đó $f(0)=c$ và $f^{\prime }(0)=b\Rightarrow c=2b$.
Điều kiện $f(x)\ge 2f^{\prime }(x),\forall x\ge -1\iff 2x^3+a{x}^2+bx+c\ge 2(6x^2+2ax+b)=12x^2+4ax+2b$.
Vì $c=2b$ nên bất phương trình tương đương: $2x^3+(a-12)x^2+(b-4a)x\ge 0,\forall x\ge -1$.
Hàm số $f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}\iff f^{\prime }(x)=6x^2+2ax+b\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\iff {\Delta }^{\prime }=a^2-6b\le 0\iff b\ge \frac{a^2}{6}$.
Kết hợp hai điều kiện trên ta tìm được các giá trị nguyên của $a\in (14;2024]$ thỏa mãn là 10 giá trị. Vậy chọn A.

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 14, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 14, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Dựa vào bảng biến thiên, trên khoảng $(-2;0)$ và $(2;+\infty )$ ta có $y^{\prime }<0$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(-2;0)$.

Ta có $y^{\prime }=\frac{m^2-1}{(x+m{)}^2}$. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi $y^{\prime }>0\iff m^2-1>0\iff m<-1$ hoặc $m>1$.

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 7, mã đề 001; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 7, mã đề 001; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 8, mã đề 001; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 7, mã đề 001; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 7, mã đề 001; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 7, mã đề 001; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Dựa vào đồ thị hàm số, trên khoảng $(0;2)$ đồ thị đi xuống từ điểm $(0;1)$ đến điểm $(2;-3)$, suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$. Chọn B.

Từ bảng biến thiên, ta thấy trên khoảng $(0;1)$ đạo hàm $y^{\prime }<0$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;1)$. Chọn B.

Vì hàm số nghịch biến trên $[-2;2]$ nên với mọi $x\in [-2;2]$ ta có $f(x)\ge f(2)$. Do đó ${\min }_{[-2;2]}f(x)=f(2)$. Chọn B.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-6mx+m+2$. Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $y^{\prime }\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\iff {\Delta }^{\prime }=9m^2-3(m+2)\le 0\iff 3m^2-m-2\le 0\iff -\frac{2}{3}\le m\le 1$. Do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{0;1\}$, có đúng $2$ giá trị nguyên thỏa mãn. Chọn C.

Từ đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$, ta lập bảng biến thiên của $f(x)$ trên $[a;c]$:
- Trên $(a;0)$, $f^{\prime }(x)>0$ nên $f(x)$ đồng biến, suy ra $f(a)<f(0)$.
- Trên $(0;b)$, $f^{\prime }(x)<0$ nên $f(x)$ nghịch biến, suy ra $f(b)<f(0)$.
- Trên $(b;c)$, $f^{\prime }(x)>0$ nên $f(x)$ đồng biến, suy ra $f(b)<f(c)$.
So sánh diện tích hình phẳng: phần hình phẳng phía dưới trục hoành từ $0$ đến $b$ có diện tích lớn hơn phần phía trên trục hoành từ $b$ đến $c$, do đó $f(c)-f(b)<f(0)-f(b)\Rightarrow f(c)<f(0)$. So sánh $f(a)$ và $f(c)$: diện tích từ $a$ đến $0$ lớn hơn phần bù, dẫn đến $f(a)>f(c)>f(b)$. Chọn A.

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 14; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 14; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 13, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 13, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)