Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Cửa sổ gồm hình chữ nhật rộng $x$, cao $y$ và nửa đường tròn đường kính $x$ phía trên.

a) Chu vi nửa đường tròn (cung bán nguyệt) có độ dài $\frac{\pi x}{2}$, vậy chiều dài dây để uốn ra bán nguyệt là $\frac{\pi x}{2}$ (m).

b) Tổng chiều dài dây: $x+2y+\frac{\pi x}{2}=8\Rightarrow y=4-\frac{x}{2}-\frac{\pi x}{4}$, với $0<x<\frac{16}{4+\pi }$.

Diện tích cửa sổ:
$$S=xy+\frac{\pi x^2}{8}=x\left(4-\frac{x}{2}-\frac{\pi x}{4}\right)+\frac{\pi x^2}{8}=4x-\frac{x^2}{2}-\frac{\pi x^2}{8}.$$

Vậy khẳng định $S=4x-x^2$ là SAI (do thay $y$ chưa đúng).

c) $S(x)=4x-\frac{x^2}{2}-\frac{\pi x^2}{8}$, $S^{\prime }(x)=4-x-\frac{\pi x}{4}$.
$S^{\prime }(x)=0\iff x=\frac{16}{4+\pi }$ (thỏa miền xác định), và $S^{\prime \prime }(x)=-1-\frac{\pi }{4}<0$ nên $S$ đạt max tại đó.

Khi đó $y=4-\frac{x}{2}-\frac{\pi x}{4}=4-\frac{8}{4+\pi }-\frac{4\pi }{4+\pi }=\frac{8}{4+\pi }\approx 1,12$ m.

Vậy diện tích lớn nhất khi $y=\frac{8}{4+\pi }\approx 1,12$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $x^3-3x+4m-1=0$ tương đương $4m=1-x^3+3x=g(x)$ với $x\in [-3;4]$. Xét $g(x)=-x^3+3x+1$ trên $[-3;4]$: $g^{\prime }(x)=-3x^2+3=0\Rightarrow x=\pm 1$. Ta có $g(-3)=27-9+1=19$, $g(4)=-64+12+1=-51$, $g(1)=-1+3+1=3$, $g(-1)=1-3+1=-1$. Vậy $\min g=-51$, $\max g=19$, nên phương trình có ít nhất một nghiệm trong $[-3;4]$ khi và chỉ khi $-51\le 4m\le 19$, tức $\frac{-51}{4}\le m\le \frac{19}{4}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=\frac{x^2+3x+3}{x+1}=x+2+\frac{1}{x+1}$ trên $[0;1]$. Ta có $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}=\frac{x(x+2)}{(x+1{)}^2}\ge 0$ với mọi $x\in [0;1]$, nên $f$ đồng biến trên $[0;1]$. Do đó ${\min }_{[0;1]}f(x)=f(0)=3$. Bất phương trình $f(x)\ge m$ nghiệm đúng với mọi $x\in [0;1]$ khi và chỉ khi $m\le {\min }_{[0;1]}f(x)=3$. Vậy $m\le 3$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi x là số lần tăng giá 100.000 đồng (x≥0, x≤30). Giá thuê mỗi căn: p = 2 + 0.1x (triệu đồng); số căn có người thuê: 150 − 5x. Thu nhập T(x) = (2 + 0.1x)(150 − 5x) = 300 + 5x − 0.5x². T'(x) = 5 − x = 0 ⇒ x = 5, khi đó T(5) = 312.5 triệu đồng (max vì T”(x) = −1 < 0).
a) Giá 2.200.000 đồng ⇒ x = 2 ⇒ số căn trống = 5·2 = 10. Đúng.
b) Thu nhập cao nhất khi x = 5, tức giá 2.500.000 đồng, không phải 2.700.000 đồng. Sai.
c) Thu nhập cao nhất T(5) = 2.5 × 125 = 312.5 triệu = 312.500.000 đồng. Đúng.
d) Khi x = 5, số căn có người thuê = 150 − 25 = 125 căn. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giá 2.200.000 đồng nghĩa là tăng 2 lần 100.000 đồng, nên số căn trống là 5×2 = 10 căn.
b) (AI giải đề cho tôi)
T(x) = (2 + 0.1x)(150 − 5x) đạt max tại x = 5, tức giá 2.500.000 đồng chứ không phải 2.700.000 đồng.
c) (AI giải đề cho tôi)
T(5) = 2.5 × 125 = 312.5 triệu đồng = 312.500.000 đồng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khi x = 5, số căn có người thuê là 150 − 5×5 = 125 căn.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng. Theo bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên (-∞;-2), nghịch biến trên (-2;0), đồng biến trên (0;+∞) với f(-2)=1 (cực đại), f(0)=-3 (cực tiểu) và tiến tới +∞ khi x→+∞. Trên (-2;+∞), giá trị nhỏ nhất đạt tại x=0 bằng -3.

b) Sai. f(x)=x³-2x²-7x+1, f'(x)=3x²-4x-7=0 cho x=-1 hoặc x=7/3 (loại vì ngoài [-2;1]). Tính: f(-2)=-8-8+14+1=-1; f(-1)=-1-2+7+1=5; f(1)=1-2-7+1=-7. Vậy max trên [-2;1] bằng 5, không phải -1.

c) Sai. y=(x²-x+1)/(x-1), y'=[(2x-1)(x-1)-(x²-x+1)]/(x-1)²=(x²-2x)/(x-1)²=x(x-2)/(x-1)². Trên [2;3] có y'≥0 nên hàm đồng biến; y(2)=3, y(3)=7. Vậy max bằng 7, không phải 3.

d) Đúng. Thể tích πR²h=16π nên h=16/R². Diện tích xấp xỉ S=2πR²+2πRh=2πR²+32π/R. S'=4πR-32π/R²=0 ⟺ R³=8 ⟺ R=2 (cm), và S giảm rồi tăng nên đây là giá trị nhỏ nhất. Vậy R=2cm.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên (-2;+∞), hàm nghịch biến từ 1 xuống -3 tại x=0 rồi đồng biến lên +∞, nên min = -3.
b) (AI giải đề cho tôi)
f(-2)=-1, f(-1)=5, f(1)=-7 nên max = 5 ≠ -1.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đồng biến trên [2;3] vì y'=x(x-2)/(x-1)²≥0; max = y(3)=7 ≠ 3.
d) (AI giải đề cho tôi)
S(R)=2πR²+32π/R, S'=4πR-32π/R²=0 cho R=2, là điểm làm S nhỏ nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $D$ nằm trên đoạn $CB$ với $CD=x$ (km), $0\le x\le 8$, khi đó $DB=8-x$. Theo hình vẽ, $AC\perp CB$ nên khoảng cách chèo thuyền $AD=\sqrt{A{C}^2+C{D}^2}=\sqrt{9+x^2}$ (km). Thời gian di chuyển: $$T(x)=\frac{\sqrt{9+x^2}}{6}+\frac{8-x}{8}.$$ Xét $T^{\prime }(x)=\frac{x}{6\sqrt{9+x^2}}-\frac{1}{8}=0⟺8x=6\sqrt{9+x^2}⟺64x^2=36(9+x^2)⟺28x^2=324⟺x=\frac{9}{\sqrt{7}}\approx 3,40$ km (thỏa $0\le x\le 8$). Khi đó $AD=\sqrt{9+\frac{81}{7}}=\frac{12}{\sqrt{7}}$ và $$T=\frac{12/\sqrt{7}}{6}+\frac{8-9/\sqrt{7}}{8}=\frac{2}{\sqrt{7}}+1-\frac{9}{8\sqrt{7}}=1+\frac{7}{8\sqrt{7}}=1+\frac{\sqrt{7}}{8}\approx 1,3307.$$ So sánh với hai đầu mút: $T(0)=\frac{3}{6}+\frac{8}{8}=1,5$; $T(8)=\frac{\sqrt{73}}{6}\approx 1,424$. Vậy thời gian nhanh nhất là $1+\frac{\sqrt{7}}{8}\approx 1,33$ giờ, đạt được khi anh An chèo đến điểm $D$ với $CD=\frac{9}{\sqrt{7}}\approx 3,40$ km rồi chạy đến $B$.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích hộp: $V=x^{2}h=1000({\text{cm}}^3)$ (vì 1 lít $=1000{\text{cm}}^3$), suy ra $h=\frac{1000}{x^2}$ với $x>0$.

Diện tích toàn phần:
$$S=2x^2+4xh=2x^2+4x\cdot \frac{1000}{x^2}=2x^2+\frac{4000}{x},x>0.$$

Xét $S^{\prime }(x)=4x-\frac{4000}{x^2}$. Cho $S^{\prime }(x)=0\iff 4x^3=4000\iff x^3=1000\iff x=10$.

Với $0<x<10$ thì $S^{\prime }(x)<0$; với $x>10$ thì $S^{\prime }(x)>0$, nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=10$ (khi đó $h=1000/100=10$).

Vậy $x=10\text{cm}$ để diện tích toàn phần của hộp sữa nhỏ nhất (khi đó hộp là hình lập phương cạnh 10 cm, $S_{\min }=600{\text{cm}}^2$).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(t)=-3t^2+90t+600$. Tốc độ truyền bệnh lớn hơn 1200 khi $-3t^2+90t+600>1200\iff -3t^2+90t-600>0\iff t^2-30t+200<0\iff (t-10)(t-20)<0\iff 10<t<20$. Vì $t\in \mathbb{N}$, $t\le 30$ nên $t\in \{11,12,13,14,15,16,17,18,19\}$, tức có 9 ngày mà tốc độ truyền bệnh lớn hơn 1200.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh hình vuông bị cắt là $x$ (cm), với $0<x<10,5$. Kích thước hộp: đáy $(21-2x)\times (29,5-2x)$, chiều cao $x$.

Thể tích: $V(x)=x(21-2x)(29,5-2x)=4x^3-101x^2+619,5x$.

$V^{\prime }(x)=12x^2-202x+619,5$. Giải $V^{\prime }(x)=0$: $x=\frac{202\pm \sqrt{202^2-4\cdot 12\cdot 619,5}}{24}=\frac{202\pm \sqrt{11068}}{24}$.

$\sqrt{11068}\approx 105,20$ nên $x_1\approx 4,03$ (nhận, vì $0<x<10,5$) và $x_2\approx 12,80$ (loại).

Bảng biến thiên cho thấy $V$ đạt lớn nhất tại $x\approx 4,03$: $V_{max}=V(4,03)\approx 4\cdot (4,03{)}^3-101\cdot (4,03{)}^2+619,5\cdot 4,03\approx 1118,06$ cm³.

Vậy cần cắt hình vuông cạnh khoảng $x\approx 4,03$ cm để hộp có thể tích lớn nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ (cm) là cạnh hình vuông bị cắt ở bốn góc, với $0<x<10,5$ (vì cạnh nhỏ của tấm bìa là 21 cm). Sau khi cắt và gập, hộp không nắp có kích thước đáy $(21-2x)\times (29,5-2x)$ và chiều cao $x$.

Thể tích hộp: $$V(x)=x(21-2x)(29,5-2x)=4x^3-101x^2+619,5x,0<x<10,5.$$

Ta có $$V^{\prime }(x)=12x^2-202x+619,5.$$
Giải $V^{\prime }(x)=0$: $$x=\frac{202\pm \sqrt{202^2-4\cdot 12\cdot 619,5}}{24}=\frac{202\pm \sqrt{11068}}{24}.$$
Với $\sqrt{11068}\approx 105,20$ ta được $x_1\approx 4,03$ và $x_2\approx 12,80$ (loại vì $x_2>10,5$).

Bảng biến thiên: $V^{\prime }(x)>0$ trên $(0;x_1)$ và $V^{\prime }(x)<0$ trên $(x_1;10,5)$, nên $V$ đạt giá trị lớn nhất tại $x=x_1$. Khi đó $V_{\max }\approx 4,03\cdot (21-8,07)\cdot (29,5-8,07)\approx 4,03\cdot 12,93\cdot 21,43\approx 1116,27{\text{cm}}^3$.

Vậy cạnh hình vuông cần cắt là $x\approx 4,03$ cm để được hộp có thể tích lớn nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Chi phí phát hành mỗi cuốn là 4 nghìn đồng = 0,4 vạn đồng, nên tổng chi phí cho $x$ cuốn là:
$$T(x)=C(x)+0,4x=0,0001x^2-0,2x+10000+0,4x=0,0001x^2+0,2x+10000\text{ (vạn đoˆˋng)}.$$
Chi phí trung bình cho một cuốn tạp chí:
$$M(x)=\frac{T(x)}{x}=0,0001x+\frac{10000}{x}+0,2,0<x\le 30000.$$
Xét đạo hàm: $M^{\prime }(x)=0,0001-\frac{10000}{x^2}$. Cho $M^{\prime }(x)=0\iff x^2=10^8\iff x=10000$ (thỏa điều kiện $0<x\le 30000$).
Trên khoảng $(0;10000)$ ta có $M^{\prime }(x)<0$, trên khoảng $(10000;30000]$ ta có $M^{\prime }(x)>0$, nên $M(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=10000$.
Vậy cần xuất bản $10000$ cuốn tạp chí để chi phí trung bình thấp nhất. Khi đó:
$$M(10000)=0,0001\cdot 10000+\frac{10000}{10000}+0,2=1+1+0,2=2,2\text{ (vạn đoˆˋng)}.$$
Vậy chi phí trung bình cho một cuốn tạp chí là $2,2$ vạn đồng, tức $22000$ đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Số tiền bán được: $B(x)=220x$ (nghìn đồng). Lợi nhuận: $L(x)=B(x)-C(x)=220x-(x^3-3x^2-20x+500)=-x^3+3x^2+240x-500$, với $1\le x\le 18$.

$x=0$ không thuộc miền xác định nên bỏ. Xét $L^{\prime }(x)=-3x^2+6x+240=-3(x^2-2x-80)=-3(x-10)(x+8)$.

Trên $[1;18]$: $L^{\prime }(x)>0$ khi $1\le x<10$ và $L^{\prime }(x)<0$ khi $10<x\le 18$. Vậy hàm số đồng biến trên $[1;10]$ và nghịch biến trên $[10;18]$, nên $L(x)$ đạt giá trị lớn nhất tại $x=10$.

$L(10)=-1000+300+2400-500=1200$ (nghìn đồng).

Kết luận: Hộ dệt cần sản xuất và bán mỗi ngày $10$ mét vải lụa để thu được lợi nhuận tối đa là $1200000$ đồng (1,2 triệu đồng).

(AI giải đề cho tôi)
Đổi đơn vị: $V=30{\mathrm{dm}}^3$, đáy hình vuông cạnh $x$ dm nên chiều cao $h=\frac{30}{x^2}$ dm. Diện tích đáy và nắp: $2x^2{\mathrm{dm}}^2$. Diện tích mặt xung quanh: $4xh=4x\cdot \frac{30}{x^2}=\frac{120}{x}{\mathrm{dm}}^2$. Đổi giá sang đơn vị nghìn đồng trên $1{\mathrm{dm}}^2$: giá đáy và nắp $120000$ đồng/m${}^2=1,2$ nghìn đồng/dm${}^2$; giá mặt xung quanh $100000$ đồng/m${}^2=1$ nghìn đồng/dm${}^2$. Chi phí (nghìn đồng): $f(x)=1,2\cdot 2x^2+1\cdot \frac{120}{x}=\frac{12}{5}{x}^2+\frac{120}{x}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng tiền: $f(x)=\frac{x(40-x{)}^2}{2}$ với $x$ nguyên, $1\le x\le 16$. $f^{\prime }(x)=\frac{(40-x)(40-3x)}{2}=0\Rightarrow x=\frac{40}{3}\approx 13,33$. So sánh $f(13)=\frac{13\cdot 27^2}{2}=4738,5$ và $f(14)=\frac{14\cdot 26^2}{2}=4732$. Vậy max tại $x=13$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
a) C(10)=100+30·10=400 triệu đồng → đúng. b) Số tiền thu được khi bán 10 tấn: 10·P(10)=10(45−0,001·100)=10·44,9=449 triệu đồng, không phải 600 → sai. c) H(x)=x·P(x)−C(x)=x(45−0,001x²)−(100+30x)=−0,001x³+15x−100 → đúng. d) H'(x)=−0,003x²+15=0 ⇒ x²=5000 ⇒ x=50√2≈70,7 (thỏa 0≤x≤100); H”(x)=−0,006x<0 nên lợi nhuận lớn nhất tại x≈70,7 tấn → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
C(10)=100+30·10=400 triệu đồng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số tiền thu được là 10·P(10)=10(45−0,1)=449 triệu đồng, không phải 600 triệu đồng.
c) (AI giải đề cho tôi)
H(x)=x·P(x)−C(x)=45x−0,001x³−100−30x=−0,001x³+15x−100.
d) (AI giải đề cho tôi)
H'(x)=15−0,003x²=0 ⇒ x=√5000≈70,7 tấn; H”<0 nên lợi nhuận lớn nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là số máy ($x\ge 1$, nguyên). Mỗi giờ sản xuất $30x$ quả, nên thời gian hoàn thành đơn hàng là $t=\frac{8000}{30x}$ giờ. Chi phí gồm: chi phí thiết lập $200x$ (nghìn đồng) và tiền giám sát $192\cdot \frac{8000}{30x}=\frac{51200}{x}$ (nghìn đồng). Tổng chi phí: $C(x)=200x+\frac{51200}{x}$. Theo AM-GM (hoặc đạo hàm), $C(x)$ đạt nhỏ nhất khi $200x=\frac{51200}{x}\iff x^2=256\iff x=16$. Vậy công ty nên dùng 16 máy, chi phí nhỏ nhất $C(16)=3200+3200=6400$ nghìn đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Doanh thu khi bán $x$ mét vải là $220x$ (nghìn đồng). Lợi nhuận: $$L(x)=220x-C(x)=220x-(x^3-3x^2-20x+500)=-x^3+3x^2+240x-500,1\le x\le 18.$$ Xét đạo hàm: $$L^{\prime }(x)=-3x^2+6x+240=0⟺x^2-2x-80=0⟺x=10\text{ (nhận, }x=-8\text{ loại)}.$$ Với $1\le x<10$ thì $L^{\prime }(x)>0$, với $10<x\le 18$ thì $L^{\prime }(x)<0$ nên $L$ đạt cực đại (và là max) tại $x=10$. Tính: $$L(10)=-1000+300+2400-500=1200\text{ nghıˋn đoˆˋng}.$$ So sánh hai đầu: $L(1)=-258$, $L(18)=-1040$, đều nhỏ hơn. Vậy lợi nhuận tối đa trong một ngày là $1200$ nghìn đồng $=1,2$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là số lần tăng giá thêm 100 nghìn đồng (mỗi căn hộ bị bỏ trống thêm). Giá thuê mỗi căn hộ là $7+0,1x$ (triệu đồng), số căn hộ cho thuê được là $80-x$ với $0\le x\le 80$. Doanh thu: $T(x)=(7+0,1x)(80-x)=560+x-0,1x^2$. Ta có $T^{\prime }(x)=1-0,2x=0\Rightarrow x=5$. Vì $T^{\prime \prime }(x)=-0,2<0$ nên doanh thu lớn nhất tại $x=5$. Giá thuê nên đặt là $7+0,1\cdot 5=7,5$ triệu đồng (khi đó doanh thu $T(5)=562,5$ triệu đồng).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi giá bán là $30+x$ nghìn đồng/kg ($x\ge 0$, số lần tăng giá 1000 đồng). Số rau thừa mỗi ngày là $20x$ kg, số rau bán tươi là $1000-20x$ kg (với $0\le x\le 50$). Tổng tiền thu được mỗi ngày (nghìn đồng): $$f(x)=(30+x)(1000-20x)+2\cdot 20x=30000+1000x-600x-20x^2+40x=30000+440x-20x^2.$$ $f^{\prime }(x)=440-40x=0\Rightarrow x=11$ (thỏa mãn $0\le x\le 50$), và $f^{\prime \prime }(x)=-40<0$ nên $f$ đạt max tại $x=11$. Vậy giá bán nên là $30+11=41$ nghìn đồng/kg. Kiểm tra: bán tươi $780$ kg giá $41$ nghìn/kg cho $31980$ nghìn, rau thừa $220$ kg giá $2$ nghìn/kg cho $440$ nghìn, tổng $32420$ nghìn, lớn hơn tại $x=10$ ($32400$) và $x=12$ ($32420$... tính lại: $f(12)=30000+5280-2880=32400$; $f(11)=30000+4840-2420=32420$). Xác nhận max tại $x=11$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $D$ nằm trên bờ đối diện cách $C$ một đoạn $x$ km ($0\le x\le 8$), khi đó $BC=8$ km nên quãng đường chạy bộ là $8-x$ km, quãng đường chèo là $AD=\sqrt{9+x^2}$ km (bề rộng sông $AC=3$ km). Thời gian tổng: $$T(x)=\frac{\sqrt{9+x^2}}{6}+\frac{8-x}{8}.$$ Đạo hàm: $T^{\prime }(x)=\frac{x}{6\sqrt{9+x^2}}-\frac{1}{8}$. Cho $T^{\prime }(x)=0$: $8x=6\sqrt{9+x^2}\Rightarrow 64x^2=36(9+x^2)\Rightarrow 28x^2=324\Rightarrow x=\frac{9}{\sqrt{7}}\approx 3,402$ km (thỏa $[0;8]$). Tại đó: $$T=\frac{\sqrt{9+81/7}}{6}+\frac{8-9/\sqrt{7}}{8}=\frac{12/\sqrt{7}}{6}+1-\frac{9}{8\sqrt{7}}=\frac{2}{\sqrt{7}}+1-\frac{9}{8\sqrt{7}}=1+\frac{7}{8\sqrt{7}}=1+\frac{\sqrt{7}}{8}\approx 1,3307\text{ giờ}.$$ So sánh: $T(0)=3/6+1=1,5$ giờ; $T(8)=\sqrt{73}/6\approx 1,424$ giờ — đều lớn hơn. Vậy thời gian ngắn nhất $\approx 1,3307\times 60\approx 79,84$ phút, làm tròn thành $80$ phút.