Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

Hằng ngày mực nước của một hồ thủy điện lên và xuống theo lượng nước mưa và các suối nước đổ về hồ. Tính từ thời điểm 7 giờ sáng, độ sâu của mực nước trong hồ tính theo mét và lên xuống theo thời gian t (giờ) trong ngày cho bởi công thức $h(t)=-\frac{1}{3}{t}^3+5t^2+24t$ $(t>0)$. Biết rằng phải thông báo cho nhân dân phải di dời trước khi xả nước theo quy định trước 5 giờ. Hỏi cần thông báo cho người dân di dời trước khi xả nước lúc mấy giờ. Biết rằng mực nước trong hồ phải lên cao nhất mới xả nước.

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x^2-4\ln (1-x)$ trên đoạn $[-2;0]$ (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Một hồ nước ở Bắc Ontario đã phục hồi sau một vụ tràn axit khiến tất cả các hồi ở đó chết. Một chương trình tái thả cá đã thả 600 con cá hồi vào hồ. Ba năm sau, số lượng được ước tính là 4500 con. Sức chứa của hồ được cho là 6000 con. Để đánh giá khả năng tăng trưởng, người ta mô phỏng số lượng cá trong hồ qua từng năm thông qua hàm số $P(t)=\frac{c}{1+a\cdot b^{-t}}$ $(a,b,c\in (0;+\infty ))$ có đồ thị dạng như hình vẽ dưới (trong đó $t$ tính theo năm kể từ lúc bắt đầu thả cá vào hồ). Sử dụng mô hình trên, hãy tính tốc độ tăng trưởng tối đa (đơn vị con/năm) của đàn cá (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=3x+\frac{4}{x^2}$ trên khoảng $(0;+\infty )$. (kết quả được quy tròn đến hàng phần trăm).

Một đoàn cứu trợ lũ lụt đang ở vị trí $A$ muốn đến xã $C$ để tiếp tế lương thực và thuốc men. Đoàn cứu trợ phải đi theo con đường từ $A$ đến $B$ và từ $B$ đến $C$ (như hình vẽ). Do nước ngập con đường từ $A$ đến $B$ nên đoàn cứu trợ không thể đến $C$ bằng xe mà phải chèo thuyền từ $A$ đến vị trí $D$ trên đoạn đường từ $B$ đến $C$ với vận tốc 4 km/h, rồi đi bộ từ $D$ đến $C$ với vận tốc 6 km/h. Biết $A$ cách $B$ một khoảng 5 km, $B$ cách $C$ một khoảng 7 km. Hỏi vị trí điểm $D$ cách $A$ bao nhiêu km để đoàn cứu trợ đi đến xã $C$ nhanh nhất?

Anh An thành lập một công ty sản xuất in ấn Sách Giáo Khoa chương trình "Cánh diều". Nhằm tạo điều kiện cho các nhà sách tiêu thụ giá hợp lí, đơn giá mỗi bộ sách ban đầu được biểu diễn theo hàm $p(x)=240-3x$ (nghìn đồng) với $x$ là số lượng từng bộ sách bán ra và tổng chi phí sản xuất được biểu diễn theo hàm $C(x)=75+(80+T)x-x^2$ (nghìn đồng) với mọi $x$ thỏa mãn $0\le x\le 40$, trong đó $T$ (nghìn đồng) là mức thuế giá trị gia tăng VAT phải đóng trên từng số lượng bộ sách sản xuất ra mà công ty anh An phải chi trả. Xem như công ty anh An sản xuất đều đặn trong điều kiện lí tưởng, khi lợi nhuận của công ty đạt giá trị cao nhất thì tổng mức thuế phải chi trả cũng đồng thời cao nhất. Khi đó mức thuế của mỗi bộ sách mà công ty phải trả là bao nhiêu (Đơn vị: nghìn đồng)?

Nồng độ $C$ của một hoá chất sau $t$ giờ tiêm vào cơ thể được xác định bởi công thức $C(t)=\frac{3t}{27+t^3}$ với $t\ge 0$ (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014). Sau bao nhiêu giờ tiêm thì nồng độ của hoá chất trong máu là lớn nhất? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Anh An thành lập một công ty sản xuất in ấn Sách Giáo Khoa chương trình "Cánh diều". Nhằm tạo điều kiện cho các nhà sách tiêu thụ giá hợp lí, đơn giá mỗi bộ sách ban đầu được biểu diễn theo hàm $p(x)=200-3x$ (nghìn đồng) với $x$ là số lượng từng bộ sách bán ra và tổng chi phí sản xuất được biểu diễn theo hàm $C(x)=75+(80+T)x-x^2$ (nghìn đồng) với mọi $x$ thỏa mãn $0\le x\le 40$, trong đó $T$ (nghìn đồng) là mức thuế giá trị gia tăng VAT phải đóng trên từng số lượng bộ sách sản xuất ra mà công ty anh An phải chi trả. Xem như công ty anh An sản xuất đều đặn trong điều kiện lí tưởng, khi lợi nhuận của công ty đạt giá trị cao nhất thì tổng mức thuế phải chi trả cũng đồng thời cao nhất. Khi đó mức thuế của mỗi bộ sách mà công ty phải trả là bao nhiêu (Đơn vị: nghìn đồng)?

Nồng độ $C$ của một hoá chất sau $t$ giờ tiêm vào cơ thể được xác định bởi công thức $C(t)=\frac{3t}{27+t^3}$ với $t\ge 0$ (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014). Sau bao nhiêu giờ tiêm thì nồng độ của hoá chất trong máu là lớn nhất? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Người ta muốn xây một cái bể hình hộp đứng có thể tích $V=20(m^3)$, biết đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp 2 lần chiều rộng và bể không có nắp. Hỏi cần xây bể có chiều cao $h$ bằng bao nhiêu mét để nguyên vật liệu xây dựng là ít nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí $A$ có khoảng cách đến bờ biển là $AB=4km$. Trên bờ biển có một nhà kho ở vị trí $C$ cách $B$ một khoảng $6km$ (như hình vẽ).

Chú An đang canh gác trên ngọn hải đăng muốn về kho lấy một số dụng cụ. Chú có thể chèo thuyền từ ngọn hải đăng đến vị trí $M$ trên bờ biển với vận tốc $4km/h$ rồi đi bộ đến nhà kho với vận tốc $6km/h$. Chú An phải đi bộ một quãng đường bao nhiêu $km$ để có thể đi đến kho nhanh nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Một nhà máy chế biến chè bán trong nước và xuất khẩu ra nước ngoài cho biết, nếu giá vốn sản xuất mỗi kg chè là $x$ USD thì sản lượng nhà máy sản xuất được là $R(x)=2x-200$ $(kg)$ và lượng tiêu thụ trong nước là $Q(x)=2500-x$ (kg). Phần chè còn dư được xuất khẩu với giá cố định là 2500 USD mỗi kg. Biết rằng với mỗi kg chè xuất khẩu thì nhà máy phải chịu mức thuế là $m$ USD. Lợi nhuận từ xuất khẩu và thuế thu được từ Nhà nước luôn giữ tỷ lệ bằng 3:1. Hãy tìm giá trị của $m$ để lợi nhuận từ xuất khẩu đạt giá trị lớn nhất.

Một nhà máy sản xuất X hoạt động tại khu vực gần một dòng suối lớn. Trong quá trình sản xuất, nhà máy thải ra một lượng chất ô nhiễm đáng kể vào môi trường, gây ảnh hưởng nghiêm trọng đến chất lượng nước và sức khoẻ cộng đồng. Để cải thiện tình hình và tuân thủ các quy định về bảo vệ môi trường, nhà máy đã quyết định đầu tư vào một hệ thống xử lý nước thải hiện đại. Chi phí để loại bỏ $x\%$ chất ô nhiễm từ nguồn nước thải được mô hình hoá bởi hàm số $C(x)=\frac{2x+1}{1-0,01x}$ (triệu đồng), $0\le x<100$. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

Người ta muốn xây một cái bể hình hộp đứng có thể tích $V=18\left(m^3\right)$, biết đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng và bể không có nắp. Hỏi cần xây bể có chiều cao $h$ bằng bao nhiêu mét để nguyên vật liệu xây dựng là ít nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí $A$ có khoảng cách đến bờ biển là $AB=5km$. Trên bờ biển có một nhà kho ở vị trí $C$ cách $B$ một khoảng $7km$ (như hình vẽ).
[Hình cần kiểm tra lại: p5_f1]
Chú An đang canh gác trên ngọn hải đăng muốn về kho lấy một số dụng cụ. Chú có thể chèo thuyền từ ngọn hải đăng đến vị trí $M$ trên bờ biển với vận tốc $4km/h$ rồi đi bộ đến nhà kho với vận tốc $6km/h$. Chú An phải đi bộ một quãng đường bao nhiêu $km$ để có thể đi đến kho nhanh nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Một nhà máy chế biến cà phê bán trong nước và xuất khẩu ra nước ngoài cho biết, nếu giá vốn sản xuất mỗi kg cà phê là $x$ USD thì sản lượng nhà máy sản xuất được là $R(x)=x-150(kg)$ và lượng tiêu thụ trong nước là $Q(x)=2700-x(kg)$. Phần cà phê còn dư được xuất khẩu với giá cố định là 1900 USD mỗi kg. Biết rằng với mỗi kg cà phê xuất khẩu thì nhà máy phải chịu mức thuế là $m$ USD. Lợi nhuận từ xuất khẩu và thuế thu được từ nhà nước luôn giữ tỷ lệ bằng 4:1. Hãy tìm giá trị của $m$ để lợi nhuận từ xuất khẩu đạt giá trị lớn nhất.

Một vật chuyển động theo quy luật $s=\frac{1}{2}{t}^3-4t^2+16t$, với $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và $s$ (mét) là quãng đường đi được trong thời gian đó. Trong khoảng thời gian 6 giây kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc (đơn vị: m/s) lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?

Người ta muốn xây một cái bể hình hộp đứng có thể tích $V=18\left(m^3\right)$, biết đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp 2 lần chiều rộng và bể không có nắp. Hỏi cần xây bể có chiều cao $h$ bằng bao nhiêu mét để nguyên vật liệu xây dựng là ít nhất? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Một người dự định dùng 9 m² kính để làm một bể cá không nắp dạng hình hộp chữ nhật, trong đó chiều dài gấp đôi lần chiều rộng. Hỏi thể tích lớn nhất của bể cá là bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Người ta muốn xây một cái bể hình hộp đứng có thể tích $V=18\left(m^3\right)$, biết đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng và bể không có nắp. Hỏi cần xây bể có chiều cao $h$ bằng bao nhiêu mét để nguyên vật liệu xây dựng là ít nhất? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)