Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

Gọi x (cm) là độ dài cạnh hình vuông bị cắt
$0<x<20$
Cạnh đáy là 40-2x
Thể tích hộp là $V(x)=(40-2x{)}^{2}x$
$V^{\prime }(x)=0\iff x=\frac{20}{3}$
Vậy cabhj hình vuông bị cắt là $\frac{20}{3}cm$ (ghi chú: 'cabhj' là lỗi đánh máy trong nguồn, ý là 'cạnh')

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, trên đoạn $[0;3]$ hàm số $f(x)$ liên tục, đạt cực đại bằng $5$ tại $x=1$ và đạt giá trị nhỏ nhất bằng $1$ tại $x=3$ (điểm cực tiểu thuộc đoạn, với $f(3)=1$). So sánh giá trị tại hai đầu đoạn và các điểm cực trị: $f(0)>1$, $f(1)=5$, $f(3)=1$. Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $[0;3]$ bằng $1$. Khớp với đáp án A trong bảng đáp án (đề 102, Câu 5 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-15=0\iff x=\pm \sqrt{5}$. Trên đoạn $[0;3]$ chỉ có $x=\sqrt{5}$. Tính: $f(0)=0$, $f(\sqrt{5})=5\sqrt{5}-15\sqrt{5}=-10\sqrt{5}$, $f(3)=27-45=-18$. So sánh: $-10\sqrt{5}\approx -22,36<-18<0$. Vậy giá trị nhỏ nhất là $-10\sqrt{5}$, chọn A. Kết quả trùng với đáp án nguồn (đề 102, câu 7: A).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh vuông góc với sông là $x$, cạnh song song là $y$ ($x,y>0$). Hàng rào: $2x+y=200\Rightarrow y=200-2x$ với $0<x<100$. Diện tích $S(x)=x(200-2x)=200x-2x^2$. $S^{\prime }(x)=200-4x=0\iff x=50$. Khi đó $S$ đạt max $=50\cdot 100=5000m^2$. Khớp đáp án nguồn 5000.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $C(x)=\frac{1}{2}x+4+\frac{8}{x}$ với $x>0$. Ta có $C^{\prime }(x)=\frac{1}{2}-\frac{8}{x^2}$; $C^{\prime }(x)=0\iff x^2=16\iff x=4$ (vì $x>0$). Với $0<x<4$ thì $C^{\prime }(x)<0$, với $x>4$ thì $C^{\prime }(x)>0$, nên $C(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=4$: $C(4)=2+4+2=8$ (triệu đồng/tạ). Kết quả trùng với đáp án nguồn là 8.

Gọi 2x (cm) là độ dài cạnh thuộc đường kính và y (cm) là độ dài cạnh còn lại
$0<x<24,0<y<24$
$x^2+y^2=24^2\iff y=\sqrt{24^2-x^2}$
Diện tích là
$f(x)=2x\sqrt{24^2-x^2}$
$f^{\prime }(x)=0\iff x=12\sqrt{2}$
Giá trị lớn nhất là $576c{m}^2$

Gọi x (cm) là độ dài cạnh hình vuông bị cắt
$0<x<40$
Cạnh đáy là 80-2x
Thể tích hộp là $V(x)=(80-2x{)}^{2}x$
$V^{\prime }(x)=0\iff x=\frac{40}{3}$
Vậy cabhj hình vuông bị cắt là $\frac{40}{3}cm$ (ghi chú: 'cabhj' là lỗi đánh máy trong nguồn, ý là 'cạnh')

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, trên đoạn $[0;3]$ hàm số $f(x)$ liên tục, đạt giá trị lớn nhất tại điểm cực đại $x=1$ với $f(1)=5$ (điểm cực tiểu $x=3$ có $f(3)=1$ nhỏ hơn). Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0;3]$ bằng $5$, khớp với đáp án B trong bảng đáp án mã đề 101.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm số trên đoạn $[-3;3]$: giá trị lớn nhất $M=3$ đạt tại $x=2$ (đỉnh cao nhất của đồ thị), giá trị nhỏ nhất $m=-3$ (đạt tại các điểm có tung độ $-3$ như gần $x=-3$, $x=1$, $x=3$). Do đó $T=2M+m=2\cdot 3+(-3)=6-3=3$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (đề 101, Câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-9=0\iff x=\pm \sqrt{3}$, trong đoạn $[0;2]$ chỉ có $x=\sqrt{3}$. Tính $f(0)=0$, $f(2)=8-18=-10$, $f(\sqrt{3})=3\sqrt{3}-9\sqrt{3}=-6\sqrt{3}\approx -10,39$. So sánh: $-6\sqrt{3}<-10<0$, vậy giá trị nhỏ nhất là $-6\sqrt{3}$, tương ứng đáp án B (khớp với đáp án nguồn).

Đáp án: 46,9.

Đặt các điểm như hình vẽ.
Đặt $DF=x$, $x>0$, ta có $\Delta ADF$ đồng dạng với $\Delta BED$ nên $\frac{EB}{ED}=\frac{AF}{DF}\Rightarrow EB=\frac{ab}{x}$.
Gọi $l$ là chiều dài của que sào, ta có $l^2=A{B}^2=(x+b{)}^2+{\left(a+\frac{ab}{x}\right)}^2=f(x)$.
Đạo hàm: $f^{\prime }(x)=2(x+b)-2\frac{ab}{x^2}\left(a+\frac{ab}{x}\right)=2(x+b)\left(1-\frac{a^{2}b}{x^3}\right)$; $f^{\prime }(x)=0\iff x=\sqrt[3]{a^{2}b}=18$.
Dễ dàng suy ra được $\min f(x)=f(18)=2197$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của que sào là $l=\sqrt{2197}=13\sqrt{13}\approx 46,9$.

Đáp án: 34,5.
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=-\frac{b}{2}=\frac{1}{2}\Rightarrow b=-1$.
Khi đó đồ thị hàm số $y=\frac{x+a}{2x-1}$ qua $(2;3)\Rightarrow 3=\frac{2+a}{2.2-1}\Rightarrow a=7$; hàm số là $y=\frac{x+7}{2x-1}$ (C).
Ta nhận thấy để khoảng cách từ điểm M thuộc khu vườn đến hai đường thẳng là nhỏ nhất thì điểm M phải thuộc đồ thị hàm số.
Gọi $M\left(x_0;\frac{x_0+7}{2x_0-1}\right)\in (C)$, $x_0>\frac{1}{2}$. Tổng khoảng cách từ $M$ đến hai đường thẳng ${\Delta }_1$, ${\Delta }_2$ là
$$d=d(M,{\Delta }_1)+d(M,{\Delta }_2)=\frac{\left|2x_0+\frac{x_0+7}{2x_0-1}-4\right|}{\sqrt{5}}+\frac{\left|x_0+2\cdot \frac{x_0+7}{2x_0-1}-2\right|}{\sqrt{5}};$$
$$\sqrt{5}d=\left|\frac{4x_0^2-9x_0+11}{2x_0-1}\right|+\left|\frac{2x_0^2-3x_0+16}{2x_0-1}\right|=\frac{4x_0^2-9x_0+11}{2x_0-1}+\frac{2x_0^2-3x_0+16}{2x_0-1}\text{ (vıˋ }\{\begin{array}{l}4x_0^2-9x_0+11>0\\ 2x_0-1>0\\ 2x_0^2-3x_0+16>0\end{array},\forall x_0>\frac{1}{2}\text{).}$$
Đặt $\sqrt{5}d=\frac{6x_0^2-12x_0+27}{2x_0-1}=g(x)$ với $x_0>\frac{1}{2}$.
Ta có: $g^{\prime }(x)=\frac{12x_0^2-12x_0-42}{(2x_0-1{)}^2}$; $g^{\prime }(x)=0\Rightarrow 12x_0^2-12x_0-42=0\Rightarrow x_0=\frac{1+\sqrt{15}}{2}>\frac{1}{2}$.
Ta có: $\underset{\left(\frac{1}{2};+\infty \right)}{\min }g(x)=g\left(\frac{1+\sqrt{15}}{2}\right)=3\sqrt{15}-3\Rightarrow \sqrt{5}d\ge 3\sqrt{15}-3\Rightarrow d\ge \frac{-3\sqrt{5}+15\sqrt{3}}{5}$.
Dấu đẳng thức xảy ra khi $x_0=\frac{1+\sqrt{15}}{2}\Rightarrow M\left(\frac{1+\sqrt{15}}{2};\frac{1+\sqrt{15}}{2}\right)$.
Khoảng cách $OM$ trên thực tế là $10\times \sqrt{{\left(\frac{1+\sqrt{15}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1+\sqrt{15}}{2}\right)}^2}\approx 34,5$ mét.

Đáp án: 33,5.

Đặt các điểm như hình vẽ.
Đặt $DF=x$, $x>0$, ta có $\Delta ADF$ đồng dạng với $\Delta BED$ nên $\frac{EB}{ED}=\frac{AF}{DF}\Rightarrow EB=\frac{ab}{x}$.
Gọi $l$ là chiều dài của que sào, ta có $l^2=A{B}^2=(x+b{)}^2+{\left(a+\frac{ab}{x}\right)}^2=f(x)$.
Đạo hàm: $f^{\prime }(x)=2(x+b)-2\frac{ab}{x^2}\left(a+\frac{ab}{x}\right)=2(x+b)\left(1-\frac{a^{2}b}{x^3}\right)$; $f^{\prime }(x)=0\iff x=\sqrt[3]{a^{2}b}=12$.
Dễ dàng suy ra được $\min f(x)=f(12)=1125$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của que sào là $l=\sqrt{1125}=15\sqrt{5}\approx 33,5$.

Đáp án: 34,1.
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=-b=1\Rightarrow b=-1$.
Khi đó đồ thị hàm số $y=\frac{x+a}{x-1}$ qua $(2;3)\Rightarrow 3=\frac{2+a}{2-1}\Rightarrow a=1$; hàm số là $y=\frac{x+1}{x-1}$ (C).
Ta nhận thấy để khoảng cách từ điểm M thuộc khu vườn đến hai đường thẳng là nhỏ nhất thì điểm M phải thuộc đồ thị hàm số.
Gọi $M\left(x_0;\frac{x_0+1}{x_0-1}\right)\in (C),x_0>1$. Tổng khoảng cách từ $M$ đến hai đường thẳng ${\Delta }_1,{\Delta }_2$ là
$$d=d\left(M,{\Delta }_1\right)+d\left(M,{\Delta }_2\right)=\frac{\left|2x_0+\frac{x_0+1}{x_0-1}-4\right|}{\sqrt{5}}+\frac{\left|x_0+2\cdot \frac{x_0+1}{x_0-1}-2\right|}{\sqrt{5}};$$
$$\sqrt{5}d=\left|\frac{2x_0^2-5x_0+5}{x_0-1}\right|+\left|\frac{x_0^2-x_0+4}{x_0-1}\right|=\frac{2x_0^2-5x_0+5}{x_0-1}+\frac{x_0^2-x_0+4}{x_0-1}$$
(vì $\{\begin{array}{l}2x_0^2-5x_0+5>0\\ x_0-1>0\\ x_0^2-x_0+4>0\end{array}$, $\forall x_0>1$).
Đặt $\sqrt{5}d=\frac{3x_0^2-6x_0+9}{x_0-1}=g(x)$ với $x>1$.
Ta có: $g^{\prime }(x)=\frac{3x_0^2-6x_0-3}{(x_0-1{)}^2}$; $g^{\prime }(x)=0\Rightarrow 3x_0^2-6x_0-3=0\Rightarrow x_0=1+\sqrt{2}>1$.
Ta có: $\underset{(1;+\infty )}{\min }g(x)=g\left(1+\sqrt{2}\right)=6\sqrt{2}\Rightarrow \sqrt{5}d\ge 6\sqrt{2}\Rightarrow d\ge \frac{6\sqrt{10}}{5}$.
Dấu đẳng thức xảy ra khi $x_0=1+\sqrt{2}\Rightarrow M\left(1+\sqrt{2};1+\sqrt{2}\right)$.
Khoảng cách $OM$ trên thực tế là $10\times \sqrt{{\left(1+\sqrt{2}\right)}^2+{\left(1+\sqrt{2}\right)}^2}=10\times \left(1+\sqrt{2}\right)\sqrt{2}\approx 34,1$ mét.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)$. Trên đoạn $[-2;2]$, $f^{\prime }(x)=0$ khi $x=-1$ (nghiệm $x=3$ không thuộc đoạn). Tính giá trị: $f(-2)=-8-12+18+10=8$; $f(-1)=-1-3+9+10=15$; $f(2)=8-12-18+10=-12$. So sánh: $\max f(x)=f(-1)=15$. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn (đề 1002, câu 10: B).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=x^3-27x+8$.
a) $f^{\prime }(x)=3x^2-27$ — đúng.
b) $f^{\prime }(x)=0\iff 3x^2-27=0\iff x=\pm 3$, nên $S=\{-3;3\}$, không phải $S=\{3\}$ — sai.
c) $f(3)=27-81+8=-46$ — đúng.
d) Trên $[-4;4]$: $f(-4)=-64+108+8=52$, $f(3)=-46$, $f(4)=64-108+8=-36$. Giá trị lớn nhất là $f(-4)=52$, không phải $-46$ — sai. Kết quả khớp đáp án nguồn (1a Đ, 1b S, 1c Đ, 1d S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm $f^{\prime }(x)=3x^2-27$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=0\iff x=\pm 3$ nên $S=\{-3;3\}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(3)=27-81+8=-46$.
d) (AI giải đề cho tôi)
So sánh $f(-4)=52$, $f(3)=-46$, $f(4)=-36$: GTLN trên $[-4;4]$ là $52$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là số máy in ($1\le x\le 13$, $x\in \mathbb{Z}$). a) Chi phí cài đặt và bảo dưỡng: $48000x=48x$ nghìn đồng → đúng. b) Mỗi giờ in được $12x$ ấn phẩm → đúng. c) Thời gian in xong 2280 ấn phẩm: $\frac{2280}{12x}=\frac{190}{x}$ giờ → đúng. d) Tổng chi phí: $f(x)=48x+28\cdot \frac{190}{x}=48x+\frac{5320}{x}$ (nghìn đồng). Nghiệm liên tục: $x^2=\frac{5320}{48}\approx 110,83\Rightarrow x\approx 10,53$. So sánh giá trị nguyên: $f(10)=480+532=1012$; $f(11)=528+\frac{5320}{11}\approx 528+483,64=1011,64$. Vậy chi phí nhỏ nhất tại $x=11$ máy, không phải 10 máy → d sai. Khớp đáp án nguồn (2a=D, 2b=D, 2c=D, 2d=S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Chi phí cài đặt và bảo dưỡng: $48000x$ đồng $=48x$ nghìn đồng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi máy in 12 ấn phẩm/giờ nên $x$ máy in được $12x$ ấn phẩm/giờ.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thời gian $=\frac{2280}{12x}=\frac{190}{x}$ giờ.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng chi phí $f(x)=48x+\frac{5320}{x}$; so sánh $f(10)=1012$ và $f(11)\approx 1011,64$ nên chi phí nhỏ nhất tại $x=11$ máy, không phải 10 máy.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=x^3-3x^2-9x+10$ trên $[-2;2]$. Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9=0\iff x=-1$ hoặc $x=3$ (loại vì $3\notin [-2;2]$). Tính giá trị tại các điểm: $f(-2)=-8-12+18+10=8$; $f(-1)=-1-3+9+10=15$; $f(2)=8-12-18+10=-12$. Vậy ${\max }_{[-2;2]}f(x)=15$, đạt tại $x=-1$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.