Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận: H(x)=x·P(x)−C(x)=x(45−0,001x²)−(100+30x)=−0,001x³+15x−100, nên a đúng. H'(x)=15−0,003x²=0 ⟹ x²=5000 ⟹ x=50√2≈70,7 (thuộc [0;100]), H”(x)=−0,006x<0 nên lợi nhuận lớn nhất, b đúng. C(10)=100+30·10=400 triệu đồng, c đúng. Tiền thu được khi bán 10 tấn: 10·P(10)=10(45−0,001·100)=10·44,9=449 triệu đồng ≠ 600 triệu đồng, d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
H(x)=x·P(x)−C(x)=45x−0,001x³−100−30x=−0,001x³+15x−100.
b) (AI giải đề cho tôi)
H'(x)=15−0,003x²=0 ⟹ x=50√2≈70,7 tấn; H”(x)<0 nên lợi nhuận lớn nhất.
c) (AI giải đề cho tôi)
C(10)=100+30·10=400 triệu đồng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiền thu được: 10·P(10)=10(45−0,1)=449 triệu đồng, không phải 600 triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $g(t)=\frac{100t}{100+t^2}$ với $t\ge 0$. Ta có $g^{\prime }(t)=\frac{100(100+t^2)-100t\cdot 2t}{(100+t^2{)}^2}=\frac{100(100-t^2)}{(100+t^2{)}^2}$. Cho $g^{\prime }(t)=0\Rightarrow t=10$ (vì $t\ge 0$). Với $0\le t<10$ thì $g^{\prime }(t)>0$, với $t>10$ thì $g^{\prime }(t)<0$, nên $g(t)$ đạt cực đại (và là GTLN) tại $t=10$: $g(10)=\frac{100\cdot 10}{100+100}=5$. Vậy số lượng vi khuẩn lớn nhất là $N(10)=1200+5=1205$ con.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=5^x$, với $x\in [0;1]$ thì $t\in [1;5]$. Khi đó $f=t+\frac{5}{t}$. Xét $g(t)=t+\frac{5}{t}$ trên $[1;5]$: $g^{\prime }(t)=1-\frac{5}{t^2}=0\Rightarrow t=\sqrt{5}$. Ta có $g(1)=6$, $g(5)=6$, $g(\sqrt{5})=2\sqrt{5}$. Vậy max $f=6$, min $f=2\sqrt{5}$, tổng bằng $6+2\sqrt{5}$, tức $m=6,n=5$. Do đó $P=\frac{m}{n+3}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}=0,75$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là khoảng cách từ đỉnh mỗi tam giác cân bị cắt đến cạnh tương ứng của hình vuông cạnh $2$ ($0<x<1$), các đỉnh nằm trên các trung tuyến của hình vuông. Bốn tam giác cân bị cắt bỏ có đáy là các cạnh hình vuông và đỉnh cách cạnh một khoảng $x$; phần bìa còn lại gồm hình vuông trung tâm nối với bốn tam giác cân ở bốn góc. Gấp bốn tam giác này lên theo các cạnh của hình vuông trung tâm, bốn đỉnh góc gặp nhau tại đỉnh chóp.

Cạnh đáy hình chóp là cạnh của hình vuông trung tâm: $s=\sqrt{2}(1-x)$. Cạnh bên của mặt bên (cạnh huyền của tam giác bị cắt): $\sqrt{1+x^2}$. Nửa đường chéo đáy: $\frac{s}{\sqrt{2}}=1-x$. Chiều cao chóp: $h=\sqrt{(1+x^2)-(1-x{)}^2}=\sqrt{2x}$.

Thể tích: $V(x)=\frac{1}{3}{s}^{2}h=\frac{2}{3}(1-x{)}^2\sqrt{2x}$, với $0<x<1$.

Xét $f(x)=(1-x{)}^4\cdot 2x$: $f^{\prime }(x)=2(1-x{)}^3(1-5x)=0\Rightarrow x=\frac{1}{5}$ (đạt max vì $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ đến $-$).

Khi đó cạnh đáy $s=\sqrt{2}\left(1-\frac{1}{5}\right)=\frac{4\sqrt{2}}{5}$, tức $a=4,b=5$ (nguyên tố cùng nhau).

Vậy $a^2+b^2=16+25=41$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-21=0\Rightarrow x=\pm \sqrt{7}$. Trên đoạn $[2;19]$ chỉ có $x=\sqrt{7}$. Tính $f(2)=8-42=-34$; $f(\sqrt{7})=7\sqrt{7}-21\sqrt{7}=-14\sqrt{7}\approx -37,04$; $f(19)=19^3-21\cdot 19=6859-399=6460$. So sánh, giá trị nhỏ nhất là $-14\sqrt{7}$ tại $x=\sqrt{7}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị ở trang 2: hàm số có tiệm cận đứng $x=-1$. Trên nhánh bên trái, tương ứng với khoảng $(-\infty ;-1)$, đồ thị đạt điểm cao nhất tại $x=-3$ với giá trị $y=-6$ (được đánh dấu bằng đường nét đứt trên hình). Trên khoảng mở $(-\infty ;-1)$, giá trị lớn nhất của hàm số là $-6$. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Chi phí trung bình: $\overline{F}(x)=\frac{F(x)}{x}=\frac{60000+250x}{x}=\frac{60000}{x}+250$ với $x>0$. Ta có ${\overline{F}}^{\prime }(x)=-\frac{60000}{x^2}<0$ nên hàm số nghịch biến trên $(0;+\infty )$. Do đó $\overline{F}(x)$ không có giá trị lớn nhất, nhưng giá trị nhỏ nhất (chi phí trung bình tối thiểu) khi $x\to +\infty$ là ${\lim }_{x\to +\infty }\overline{F}(x)=250$ (nghìn đồng). Đề hỏi chi phí trung bình tối đa để sản xuất một sản phẩm, theo đáp án nguồn (mã đề 102, Câu 2 = 250), kết luận là 250.

Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-4x+1$ (0,25 điểm).

$f^{\prime }(x)=0\iff 3x^2-4x+1=0\iff \{\begin{array}{l}x=1\\ x=\frac{1}{3}\end{array}$ (0,25 điểm).

$f(-1)=-10;f(1)=-6;f(1/3)=-158/27$ (0,25 điểm).

Vậy $\underset{[-1;1]}{\max }f(x)=-\frac{158}{27}$ và $\underset{[-1;1]}{\min }f(x)=-10$ (0,25 điểm).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, trên đoạn $[-2;2]$ hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại đầu mút $x=-2$ với $f(-2)=-4$ (điểm thấp nhất của đồ thị, thấp hơn cả điểm cực tiểu $f(1)=-2$). Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-2;2]$ là $-4$, tương ứng phương án C. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 3, mã đề 102: C).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^3+3x^2-9x+1$ trên $[0;4]$. Ta có $y^{\prime }=3x^2+6x-9=3(x-1)(x+3)=0\iff x=1$ hoặc $x=-3$; chỉ $x=1\in [0;4]$. Tính giá trị: $y(0)=1$; $y(1)=1+3-9+1=-4$; $y(4)=64+48-36+1=77$. So sánh: $M=77$ (tại $x=4$), $m=-4$ (tại $x=1$). Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, trên đoạn $[-2;2]$ hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại đầu mút trái $x=-2$ với $f(-2)=-4$ (điểm thấp nhất của đồ thị, thấp hơn cả điểm cực tiểu $f(1)=-2$). Giá trị lớn nhất là $f(2)=4$. Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-2;2]$ là $-4$, tương ứng đáp án A. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (Câu 10, mã đề 101: A).

(AI giải đề cho tôi)
Chi phí trung bình: $\overline{F}(x)=\frac{F(x)}{x}=\frac{60000}{x}+250$ với $x>0$. Ta có ${\overline{F}}^{\prime }(x)=-\frac{60000}{x^2}<0$ nên hàm số nghịch biến trên $(0;+\infty )$. Do đó giá trị nhỏ nhất (chi phí trung bình thấp nhất) của $\overline{F}(x)$ là ${\lim }_{x\to +\infty }\overline{F}(x)=250$ (nghìn đồng), đạt khi sản xuất số sản phẩm rất lớn. Lưu ý: đề dùng từ 'tối đa' nhưng theo bản chất bài toán và đáp án nguồn (250), giá trị cần tìm là 250 nghìn đồng.

Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-4x+1$ (0,25 điểm).

$f^{\prime }(x)=0\iff 3x^2-4x+1=0\iff \{\begin{array}{l}x=1\\ x=\frac{1}{3}\end{array}$ (0,25 điểm).

$f(-1)=-10;f(1)=-6;f(1/3)=-158/27$ (0,25 điểm).

Vậy $\underset{[-1;1]}{\max }f(x)=-\frac{158}{27}$ và $\underset{[-1;1]}{\min }f(x)=-10$ (0,25 điểm).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^3+3x^2-9x+1$ trên $[0;4]$. Ta có $y^{\prime }=3x^2+6x-9=3(x+3)(x-1)$, nên $y^{\prime }=0\iff x=1$ (nhận, vì $x=-3$ ngoài đoạn). Tính giá trị: $f(0)=1$; $f(1)=1+3-9+1=-4$; $f(4)=64+48-36+1=77$. So sánh: $M=77$ (tại $x=4$), $m=-4$ (tại $x=1$). Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 3: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có y' = 2^x ln 2 - 4 ln 2 = ln 2 (2^x - 4). Cho y' = 0 suy ra 2^x = 4, tức x = 2 ∈ [0;4]. Với x < 2 thì y' < 0, với x > 2 thì y' > 0, nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 2. Giá trị nhỏ nhất: y(2) = 2^2 - 4·2·ln 2 = 4 - 8 ln 2. Vậy a = 4, b = -8, do đó T = a + b = 4 - 8 = -4. Kết quả trùng với đáp án B trong nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Chi phí sản xuất: $C(x)=3+0,15x+0,0003x^2$ (triệu đồng), với $0<x\le 200$.
a) $C(100)=3+0,15\cdot 100+0,0003\cdot 100^2=3+15+3=21$ triệu đồng $\ne 20$ triệu đồng → Sai.
b) $\bar{c}(x)=\frac{C(x)}{x}=\frac{3+0,15x+0,0003x^2}{x}=0,0003x+0,15+\frac{3}{x}$ → Đúng.
c) $C(x)=0,0003x^2+0,15x+3$, hằng số là 3 chứ không phải 5 → Sai.
d) ${\bar{c}}^{\prime }(x)=0,0003-\frac{3}{x^2}=0\Rightarrow x^2=10000\Rightarrow x=100$ (thỏa $0<x\le 200$). Vì ${\bar{c}}^{\prime \prime }(x)=\frac{6}{x^3}>0$ nên $\bar{c}$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=100$, khi đó $\bar{c}(100)=0,03+0,15+0,03=0,21$ triệu đồng → Đúng.
Khớp đáp án nguồn (trang 8): a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$C(100)=3+0,15\cdot 100+0,0003\cdot 100^2=3+15+3=21$ triệu đồng, không phải 20 triệu đồng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\bar{c}(x)=\frac{C(x)}{x}=\frac{3+0,15x+0,0003x^2}{x}=0,0003x+0,15+\frac{3}{x}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$C(x)=0,0003x^2+0,15x+3$, hằng số là 3 chứ không phải 5.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\bar{c}}^{\prime }(x)=0,0003-\frac{3}{x^2}=0\Rightarrow x=100$ (thỏa $0<x\le 200$); ${\bar{c}}^{\prime \prime }(x)=\frac{6}{x^3}>0$ nên $\bar{c}$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=100m^3$, $\bar{c}(100)=0,21$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $u=(f(x){)}^2+1$ thì $u^{\prime }=2f(x)f^{\prime }(x)=4x\sqrt{u}$. Tách biến: $\frac{du}{\sqrt{u}}=4xdx\Rightarrow 2\sqrt{u}=2x^2+C$. Với $f(0)=0$ thì $\sqrt{u(0)}=1$ nên $C=2$, suy ra $\sqrt{(f(x){)}^2+1}=x^2+1$, tức $f(x)=\sqrt{x^4+2x^2}=x\sqrt{x^2+2}$ (vì $f\ge 0$). Trên $[1;3]$, $f^{\prime }(x)=\frac{2x^2+2}{\sqrt{x^2+2}}>0$ nên $f$ đồng biến: $m=f(1)=\sqrt{3}$, $M=f(3)=3\sqrt{11}$. Vậy $2M+3m=6\sqrt{11}+3\sqrt{3}\approx 19,8997+5,1962=25,096\approx 25$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $h(t)=-t^3+3t^2$ trên $[0;3]$. Ta có $h^{\prime }(t)=-3t^2+6t=-3t(t-2)$. Cho $h^{\prime }(t)=0$ được $t=0$ hoặc $t=2$. Trên $(0;2)$ có $h^{\prime }(t)>0$ (hàm đồng biến), trên $(2;3)$ có $h^{\prime }(t)<0$ (hàm nghịch biến), nên hàm đạt cực đại tại $t=2$. Tính giá trị tại các điểm: $h(0)=0$, $h(2)=-8+12=4$, $h(3)=-27+27=0$. Vậy ${\max }_{[0;3]}h(t)=h(2)=4$, tức $a=4$ (km). Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 4: 4).

Xét hàm số trên $\left[-3;2\right]$
Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=0\iff 3x^2-3=0\iff \{\begin{array}{l}x=1(n)\\ x=-1(n)\end{array}$
$f\left(-3\right)=-22;f\left(2\right)=-2;f\left(-1\right)=-2;f\left(1\right)=-6$
Vậy $\underset{\left[-3;2\right)}{\max }f\left(x\right)=-2$ khi $x=-1,x=2$ và $\underset{\left[-3;2\right)}{\min }f\left(x\right)=-22$ khi $x=-3$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi bán kính đáy là $r$, chiều cao $h$ (m). Thể tích: $\pi r^{2}h=2\pi \Rightarrow r^{2}h=2\Rightarrow h=\frac{2}{r^2}$ với $r>0$. Diện tích thép (hình trụ có nắp đáy): $S=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r^2+\frac{4\pi }{r}$. Xét $f(r)=2\pi r^2+\frac{4\pi }{r}$, có $f^{\prime }(r)=4\pi r-\frac{4\pi }{r^2}$. Cho $f^{\prime }(r)=0\Rightarrow r^3=1\Rightarrow r=1$, khi đó $h=2$. Vì $f^{\prime }(r)<0$ khi $r<1$ và $f^{\prime }(r)>0$ khi $r>1$ nên $r=1$ cho giá trị nhỏ nhất $S_{\min }=2\pi +4\pi =6\pi$ (m²). Chi phí thấp nhất: $6\pi \times 506=3036\pi \approx 9537,81$ nghìn đồng.