Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

Hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[-1;3]$ và có bảng biến thiên như sau:

$$<table><tbody><tr><td>x</td><td>-1</td><td></td><td>0</td><td>2</td><td>3</td></tr><tr><td>y^{\prime }</td><td></td><td>+</td><td>0</td><td>-</td><td>0</td><td>+</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td>5</td><td></td><td></td><td>4</td></tr><tr><td>y</td><td></td><td>\nearrow </td><td></td><td>\searrow </td><td></td><td>\nearrow </td></tr><tr><td></td><td>0</td><td></td><td></td><td>1</td><td></td><td></td></tr></tbody></table>$$

Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[0;3]$. Tính giá trị $M-m$.

Chủ một trung tâm thương mại muốn cho thuê một số gian hàng như nhau. Người đó muốn cho thuê mỗi gian hàng với giá là $x$ triệu đồng $(x>0)$. Khi đó doanh thu của cửa hàng được biểu diễn theo hàm số $T(x)$. Tốc độ thay đổi doanh thu từ các gian hàng đó được biểu diễn bởi hàm số $T^{\prime }(x)=-10x+200$, trong đó $T^{\prime }(x)$ tính bằng triệu đồng. Biết rằng nếu giá thuê cho mỗi gian hàng là 10 triệu đồng thì doanh thu là 1,8 tỷ đồng. Tìm giá trị của $x$ (triệu đồng) để người đó có doanh thu là cao nhất?

Ông An muốn mua một chiếc ô tô. Ngõ từ đường vào sân nhà ông An hình chữ $L$.









Đoạn đường đầu tiên có chiều rộng bằng $x(m)$, đoạn đường thẳng vào sân chiều rộng $2,6(m)$. Biết kích thước xe ô tô như hình vẽ trên và để ô tô đi qua an toàn thì chiều rộng và chiều dài tương ứng của đoạn đường phải lớn hơn kích thước thiết kế của ô tô một khoảng, cụ thể là chiều dài là $5m$ còn chiều rộng là $2m$ (chiều dài x chiều rộng). Để tính toán và thiết kế đường đi cho ô tô từ ngõ vào sân, ông An coi ô tô nằm trọn trong một khối hộp chữ nhật có kích thước chiều dài là $5(m)$, chiều rộng $2m$. Chiều rộng của đoạn đường đầu tiên là $x=h(m)$ (giả thiết ô tô không đi ra ngã đường, không đi nghiêng và ô tô không bị biến dạng). Khi đó giá trị tối thiểu khi làm tròn đến hàng phần trăm của $h$ bằng bao nhiêu?

Một đường dây điện được nối từ nhà máy điện trên đất liền ở vị trí $A$ đến vị trí $C$ trên một hòn đảo. Khoảng cách ngắn nhất từ $C$ đến đất liền là $BC=1km$, khoảng cách từ $A$ đến $B$ là $4km$. Người ta chọn một vị trí điểm $S$ nằm giữa $A$ và $B$ để mắc đường dây điện đi từ $A$ đến $S$, rồi từ $S$ đến $C$ như hình vẽ dưới đây. Chi phí mỗi $km$ dây điện trên đất liền là 3000 USD, mỗi $km$ trên diện đất ngầm dưới biển mất 5000 USD. Hỏi điểm $S$ phải cách $A$ bao nhiêu $km$ để chi phí mắc đường dây điện ít nhất?

[Hình cần kiểm tra lại: p1_f2]

Bạn Nga có một tấm bìa hình vuông cạnh 20 cm. Bạn muốn cắt ở mỗi góc một hình vuông nhỏ để gấp và dán lại thành một cái hộp đựng đồ dùng học tập không có nắp (mép dán không đáng kể).
[Hình cần kiểm tra lại: p8_f2]
Để cái hộp có thể tích lớn nhất thì hình vuông nhỏ cắt đi có độ dài cạnh là

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[-1;3]$ và có đồ thị như hình vẽ. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên $[-1;3]$. Tính giá trị $M-m$ bằng

Xét hàm số $y=\frac{x-1}{2x+1}$ trên $[0;1]$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Xét hàm số $y=\frac{x-1}{2x+1}$ trên $[0;1]$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Bạn Nga có một tấm bìa hình vuông cạnh 20 cm. Bạn muốn cắt ở mỗi góc một hình vuông nhỏ để gấp và dán lại thành một cái hộp đựng đồ dùng học tập không có nắp (mép dán không đáng kể).
[Hình cần kiểm tra lại: p3_f2]
Để cái hộp có thể tích lớn nhất thì hình vuông nhỏ cắt đi có độ dài cạnh là

Một công ty sản xuất mỹ phẩm ước tính chi phí để sản xuất $x$ (sản phẩm) là
$$C(x)=300x+50\text{(nghıˋn đoˆˋng).}$$
Khi đó $f(x)=\frac{C(x)}{x}$ là chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm. Hỏi chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm không thấp hơn bao nhiêu nghìn đồng?

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[-1;3]$ và có đồ thị như hình vẽ. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên $[-1;3]$. Tính giá trị $M-m$ bằng

Trong một buổi cắm trại bên bờ hồ, các đội thi đua chạy từ lều chỉ huy A cách bờ hồ 20 m đến hồ lấy nước và mang về lều chỉ huy B cách bờ hồ 50 m.
[Hình cần kiểm tra lại: p5_f1]
Hai lều chỉ huy A và B cách nhau 50 m. Đoạn đường đi ngắn nhất mỗi lượt các đội có thể đi là bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Cho hàm số $y=x^3+1$.

Một hộ làm nghề dệt vải lụa tằm sản xuất mỗi ngày được $x$ mét vải lụa $(1\le x\le 18)$. Tổng chi phí sản xuất $x$ mét vải lụa, tính bằng nghìn đồng, cho bởi hàm chi phí:
$$C(x)=x^3-3x^2-20x+500.$$
Giả sử hộ làm nghề dệt này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá 220 nghìn đồng/mét. Gọi $L(x)$ là lợi nhuận thu được khi bán $x$ mét vải lụa. Hỏi lợi nhuận tối đa (đơn vị nghìn đồng) của hộ làm nghề dệt vải lụa tằm trong một ngày?

Một khu vực trồng hoa được xây dựng trong khu du lịch sinh thái. Trong mô hình minh họa (như hình vẽ sau), nó được giới hạn bởi các trục tọa độ và đồ thị $C$ của một hàm số bậc ba. Biết rằng đồ thị $C$ đi qua các điểm $A(0;8)$, $B(2;5,4)$, $K(5;6,75)$ và $H(8;0)$. Trong khu du lịch sinh thái có một con đường chạy dọc theo đường thẳng $d:y=-\frac{13}{9}x+\frac{169}{9}$. Tìm hoành độ của điểm $M$ thuộc $C$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến $d$ là nhỏ nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

[Hình cần kiểm tra lại: p4_f1]

Cho một tấm nhôm hình lục giác đều cạnh 60cm. Người ta cắt ở mỗi đỉnh của tấm nhôm hai hình tam giác vuông bằng nhau, biết cạnh góc vuông nhỏ bằng $x$ (cm) (cắt phần tô đậm của tấm nhôm) rồi gấp tấm nhôm như hình vẽ để được một hình lăng trụ lục giác đều không có nắp. Tìm $x$ để thể tích của khối lăng trụ lục giác đều trên là lớn nhất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x^2-3x$ trên đoạn $[0;2]$.

Cho bảng biến thiên của hàm số $y=f(x)$, tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[0;9]$.

Một miếng nhôm có bề ngang 32 cm được uốn cong tạo thành máng dẫn nước bằng cách chia tấm nhôm thành 3 phần, hai phần hai bên có bề ngang cùng bằng $x$ cm rồi gập 2 bên lại theo một góc vuông như hình vẽ dưới. Hỏi $x$ bằng bao nhiêu centimet để tạo ra máng có có diện tích mặt ngang $S$ lớn nhất để có thể cho nước đi qua nhiều nhất?

Một chất điểm chuyển động theo quy luật $S=6t^2-2t^3$. Thời điểm $t$ (giây) tại đó vận tốc $v$ (m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là