Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[-1;2]$ ta có $x+2>0$. Viết $y=\frac{x^2+2x+4}{x+2}=\frac{x(x+2)+4}{x+2}=x+\frac{4}{x+2}$. Suy ra $y^{\prime }=1-\frac{4}{(x+2{)}^2}$. Cho $y^{\prime }=0\Rightarrow (x+2{)}^2=4\Rightarrow x=0$ (nhận, vì $x\in [-1;2]$) hoặc $x=-4$ (loại). Trên $[-1;0)$ có $y^{\prime }<0$, trên $(0;2]$ có $y^{\prime }>0$, nên hàm số đạt cực tiểu (và là GTNN trên đoạn) tại $x=0$: $y(0)=\frac{4}{2}=2$. So sánh với hai đầu mút: $y(-1)=\frac{1-2+4}{1}=3$, $y(2)=\frac{4+4+4}{4}=3$. Vậy GTNN của hàm số trên đoạn $[-1;2]$ bằng $2$, trùng với đáp án của đề.

Gọi $x\left(27<x<31\right)$ là giá bán mới của doanh nghiệp (triệu đồng). Số lượng tủ lạnh bán tăng thêm $\frac{31-x}{0,5}.100=6200-200x$. Lợi nhuận $T=\left(x-27\right).\left(600+6200-200x\right)=\left(x-27\right).\left(6800-200x\right)$ $\Rightarrow T=-200x^2+12200x-171400$ đỉnh $\left(30,5;14650\right)$. Theo bảng biến thiên để lợi nhuận cao nhất thì giá bán sẽ là 30,5 triệu đồng 1 chiếc. Kết quả: 30,5

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: bán 220 nghìn đồng/mét nên B(x)=220x. b) Sai: L(x)=B(x)−C(x)=220x−(x³−3x²−20x+500)=−x³+3x²+240x−500, không phải 220x−500. c) Đúng: L'(x)=−3x²+6x+240=0 ⇔ x²−2x−80=0 ⇔ x=10 (nhận, x=−8 loại); L'(x)>0 với x<10 và <0 với x>10 nên x=10 cho lợi nhuận tối đa trên [1;18]. d) Sai: L(10)=−1000+300+2400−500=1200 nghìn đồng, lợi nhuận tối đa là 1200 nghìn đồng chứ không phải 1000.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giá bán 220 nghìn đồng/mét nên B(x)=220x (nghìn đồng).
b) (AI giải đề cho tôi)
L(x)=B(x)−C(x)=220x−(x³−3x²−20x+500)=−x³+3x²+240x−500, hệ số của x phải là 240x chứ không phải 220x.
c) (AI giải đề cho tôi)
L'(x)=−3x²+6x+240=0 ⇔ x=10 (x=−8 loại). L tăng trên [1;10) và giảm trên (10;18] nên x=10 cho lợi nhuận tối đa.
d) (AI giải đề cho tôi)
L(10)=−1000+300+2400−500=1200 nghìn đồng, lợi nhuận tối đa là 1200 nghìn đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=-3x^2-12x-9=-3(x+1)(x+3)$, nên $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=-3$ và $x=-1$ (thuộc $[-4;1]$). Tính giá trị tại các điểm này và hai đầu mút: $f(-4)=64-96+36-1=3$; $f(-3)=27-54+27-1=-1$; $f(-1)=1-6+9-1=3$; $f(1)=-1-6-9-1=-17$. Vậy giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên $[-4;1]$ bằng $3$, đạt tại $x=-4$ và $x=-1$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x+\frac{9}{x}$ xác định và liên tục trên $[2;5]$. Ta có $y^{\prime }=1-\frac{9}{x^2}=\frac{x^2-9}{x^2}$. Trên $[2;5]$, $y^{\prime }=0$ khi $x=3$ (chỉ nhận $x=3$ vì $x>0$). Với $x\in [2;3)$ thì $y^{\prime }<0$, với $x\in (3;5]$ thì $y^{\prime }>0$, nên hàm số đạt cực tiểu (và là GTNN trên đoạn) tại $x=3$: $y(3)=3+\frac{9}{3}=6$. So sánh với hai đầu: $y(2)=2+\frac{9}{2}=\frac{13}{2}=6,5$, $y(5)=5+\frac{9}{5}=\frac{34}{5}=6,8$. Vậy GTNN là $6$, đạt tại $x=3$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Doanh thu $R(x)=x\cdot p=489x{e}^{-0.001x}$ (nghìn đồng), với $x>0$. Xét $R^{\prime }(x)=489e^{-0.001x}(1-0.001x)$. Ta có $R^{\prime }(x)>0$ khi $x<1000$ và $R^{\prime }(x)<0$ khi $x>1000$, nên hàm số đạt cực đại (cũng là giá trị lớn nhất) tại $x=1000$. Khi đó giá vé là $p=489e^{-0.001\cdot 1000}=489e^{-1}=\frac{489}{e}\approx 179,91$ nghìn đồng. Làm tròn đến hàng đơn vị: $180$ nghìn đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{m(x-m)-(mx+5)}{(x-m{)}^2}=\frac{-m^2-5}{(x-m{)}^2}<0$ với mọi $x\ne m$, nên $f$ nghịch biến trên mỗi khoảng xác định. Với $m=\frac{5}{7}\notin [0;1]$, hàm số xác định liên tục trên $[0;1]$ và nghịch biến, do đó GTLN trên $[0;1]$ đạt tại $x=0$: $f(0)=\frac{5}{-m}=-\frac{5}{m}=-7\Rightarrow m=\frac{5}{7}$. Kiểm tra: $m=\frac{5}{7}$ thỏa mãn điều kiện xác định. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị trên đoạn $[-2;4]$: giá trị lớn nhất $m=f(-2)=7$ (điểm cao nhất tại $x=-2$), giá trị nhỏ nhất $n=f(4)=-4$ (điểm thấp nhất tại $x=4$). Vậy $m-n=7-(-4)=11$. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $P(x)=-0,3x^3+36x^2+1800x-48000$ với $x\ge 0$. Tính đạo hàm: $P^{\prime }(x)=-0,9x^2+72x+1800$. Cho $P^{\prime }(x)=0\iff x^2-80x-2000=0\iff x=100$ hoặc $x=-20$ (loại vì $x>0$). Vì $P^{\prime }(x)>0$ khi $0<x<100$ và $P^{\prime }(x)<0$ khi $x>100$, hàm số đạt cực đại (và là giá trị lớn nhất trên miền xác định) tại $x=100$. Vậy công ty cần sản xuất 100 chiếc máy xay sinh tố mỗi tháng. Kết quả khớp với đáp án B của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Với $Q=160$ thì $\sqrt{KL}=160\Rightarrow KL=160^2=25600\Rightarrow L=\frac{25600}{K}$, không phải $\frac{160}{K}$ nên a) Sai. b) Khi $K=200$ thì $L=\frac{25600}{200}=128$, $F=16\cdot 200+9\cdot 128+40=3200+1152+40=4392<4500$ nên b) Sai. c) Thay $L=\frac{160^2}{K}$ vào $F$ được $F=16K+9\cdot \frac{160^2}{K}+40$ nên c) Đúng. d) Xét $f(K)=16K+\frac{9\cdot 25600}{K}+40$ với $K>0$; theo AM-GM, $16K+\frac{230400}{K}\ge 2\sqrt{16\cdot 230400}=2\cdot 1920=3840$, dấu bằng khi $16K=\frac{230400}{K}\Rightarrow K=120$. Vậy $F_{\min }=3840+40=3880$ (nghìn USD), không phải 3840 nên d) Sai. Khớp đáp án nguồn: a) S, b) S, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ $Q=\sqrt{KL}=160$ suy ra $KL=25600$, tức $L=\frac{25600}{K}$, không phải $\frac{160}{K}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $K=200$ thì $L=128$, $F=3200+1152+40=4392<4500$ (nghìn USD).
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay $L=\frac{160^2}{K}$ vào $F=16K+9L+40$ được $F=16K+9\cdot \frac{160^2}{K}+40$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$F=16K+\frac{230400}{K}+40\ge 2\sqrt{16\cdot 230400}+40=3840+40=3880$ (nghìn USD), đạt tại $K=120$. Vậy chi phí tối thiểu là 3880, không phải 3840.

(AI giải đề cho tôi)
Sau thời gian $t$, người đi xe đạp cách $O$ một đoạn $30-15t$ (km) và khinh khí cầu ở độ cao $10t$ (km). Khoảng cách giữa hai vật là $d(t)=\sqrt{(30-15t{)}^2+(10t{)}^2}$. Xét $f(t)=(30-15t{)}^2+100t^2=325t^2-900t+900$. $f^{\prime }(t)=650t-900=0\Rightarrow t=\frac{900}{650}=\frac{18}{13}\approx 1,3846$. Vì $f^{\prime \prime }(t)=650>0$ nên khoảng cách nhỏ nhất đạt tại $t=\frac{18}{13}\approx 1,38$ giờ, khớp với đáp án nguồn 1,38.

(AI giải đề cho tôi)
Lập hệ trục: $A(0;0),B(200;0),C(200;200),D(0;200)$; robot xuất phát tại $M(100;0)$, đích $P(t;200)$ với $0\le t\le 200$. Bãi cát (dài 120 theo phương đứng, rộng 80 theo phương ngang, nằm chính giữa) chiếm miền $60\le x\le 140$, $40\le y\le 160$.

Đường đi thẳng có phương trình $x=100+\frac{t-100}{200}y$. Tại $y=60$, hoành độ nằm trong $[70;130]\subset [60;140]$, nên mọi đường thẳng đều cắt bãi cát. Đường thẳng vào cát tại $y=40$ (hoành độ tại đó thuộc $[92;120]\subset [60;140]$).

- Nếu $t\le 150$: đường thẳng ra cát qua cạnh trên $y=160$, thời gian $T=\frac{200}{3}+\frac{120}{6\cos \theta }\ge \frac{200}{3}+20\approx 86,67$ s, nhỏ nhất khi đi thẳng đứng.
- Nếu $t>150$: đường thẳng ra qua cạnh bên $x=140$ tại $y=\frac{8000}{t-100}$. Đặt $s=t-100\in (50;100]$, thời gian:
$$T(s)=\frac{\sqrt{(s/5{)}^2+1600}}{3}+\frac{\sqrt{(40-s/5{)}^2+{\left(\frac{8000}{s}-40\right)}^2}}{2}+\frac{\sqrt{(s-40{)}^2+{\left(200-\frac{8000}{s}\right)}^2}}{3}.$$

Khảo sát $T(s)$ trên $(50;100]$ bằng đạo hàm và thử nghiệm số: $T(95)\approx 81,963$; $T(96)\approx 81,9598$; $T(97)\approx 81,977$; $T(100)\approx 81,989$. Minimum đạt tại $s\approx 96$ (tức $t\approx 196$): điểm vào cát $(119,2;40)$, điểm ra $(140;83,33)$, ba đoạn dài lần lượt $\approx 44,369$; $48,067$; $129,410$ m, cho
$$a=T_{\min }\approx \frac{44,369}{3}+\frac{48,067}{2}+\frac{129,410}{3}\approx 81,96\text{ giaˆy}.$$

Vậy $100a\approx 8196$ (làm tròn đến hàng đơn vị), trùng với đáp án nguồn 8196.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $P(x)=-0,3x^3+36x^2+1800x-48000$ với $x>0$. Ta có $P^{\prime }(x)=-0,9x^2+72x+1800$. Cho $P^{\prime }(x)=0\iff x^2-80x-2000=0\iff x=100$ (nhận, $x>0$) hoặc $x=-20$ (loại). Vì $P^{\prime }(x)>0$ khi $0<x<100$ và $P^{\prime }(x)<0$ khi $x>100$, hàm số đạt cực đại (và là giá trị lớn nhất) tại $x=100$. Vậy công ty cần sản xuất 100 chiếc máy xay sinh tố mỗi tháng. Khớp với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $Q=\sqrt{KL}=160$ suy ra $KL=160^2=25600$, tức $L=\frac{25600}{K}$ (không phải $\frac{160}{K}$) nên a) Sai.
b) Với $K=200$ thì $L=\frac{25600}{200}=128$, $F=16\cdot 200+9\cdot 128+40=3200+1152+40=4392<4500$ nên b) Sai.
c) Thay $L=\frac{160^2}{K}$ vào $F=16K+9L+40$ được $F=16K+9\cdot \frac{160^2}{K}+40$ nên c) Đúng.
d) Xét $F(K)=16K+\frac{230400}{K}+40$ với $K>0$; $F^{\prime }(K)=16-\frac{230400}{K^2}=0\Rightarrow K=120$. Khi đó $L=\frac{25600}{120}$ và $F_{\min }=16\cdot 120+9\cdot \frac{25600}{120}+40=1920+1920+40=3880\ne 3840$ nên d) Sai.
Kết quả khớp đáp án nguồn (trang 19): Câu 4: a) S, b) S, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Từ $Q=\sqrt{KL}=160$ suy ra $KL=25600$ nên $L=\frac{25600}{K}$, không phải $\frac{160}{K}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Với $K=200$ thì $L=128$, $F=3200+1152+40=4392<4500$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Thay $L=\frac{160^2}{K}$ vào $F=16K+9L+40$ được $F=16K+9\cdot \frac{160^2}{K}+40$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $F(K)=16K+\frac{230400}{K}+40$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $K=120$ với $F_{\min }=3880\ne 3840$.

(AI giải đề cho tôi)
Lập hệ trục toạ độ: xuất phát là trung điểm cạnh $AB$, gọi là $M(0;0)$; cạnh $CD$ là đường thẳng $y=200$. Bãi cát hình chữ nhật nằm chính giữa khu đất, chiều dài 120 m theo phương thẳng đứng và chiều rộng 80 m theo phương ngang (phù hợp hình vẽ: hình cao hơn rộng), nên cát chiếm miền $-40\le x\le 40$, $40\le y\le 160$. Do tính đối xứng, chỉ xét đích $P(x;200)$ với $x\ge 0$. Đặt $k=\frac{x}{200}\in \left[0;\frac{1}{2}\right]$, đường đi thẳng từ $M$ có phương trình $X=ky$, độ dài trên mỗi đơn vị $y$ là $\sqrt{1+k^2}$.

Trường hợp 1: $0\le k\le 0,25$ (tức $x\le 50$): đường đi xuyên qua cát trên đoạn $y\in [40;160]$, độ dài trên cát là $120\sqrt{1+k^2}$, độ dài trên đất là $200\sqrt{1+k^2}-120\sqrt{1+k^2}=80\sqrt{1+k^2}$. Thời gian:
$$T=\frac{80\sqrt{1+k^2}}{3}+\frac{120\sqrt{1+k^2}}{2}=\frac{260}{3}\sqrt{1+k^2},$$
nhỏ nhất tại $k=0$ với $T\approx 86,67$ s; tại $k=0,25$ có $T=\frac{260}{3}\sqrt{1,0625}\approx 89,33$ s.

Trường hợp 2: $0,25\le k\le 0,5$: đường đi vào cát qua cạnh $x=40$ tại $y=\frac{40}{k}$ và ra khỏi cát ngay tại điểm đó (phần trên của đường đi nằm ngoài bãi cát), đoạn trên cát có độ dài $\left(\frac{40}{k}-40\right)\sqrt{1+k^2}$. Thời gian:
$$T(k)=\frac{200\sqrt{1+k^2}-\left(\frac{40}{k}-40\right)\sqrt{1+k^2}}{3}+\frac{\left(\frac{40}{k}-40\right)\sqrt{1+k^2}}{2}=\sqrt{1+k^2}\left(60+\frac{20}{3k}\right).$$
Đạo hàm: $T^{\prime }(k)=\frac{60k}{\sqrt{1+k^2}}-\frac{20}{3k^2\sqrt{1+k^2}}=0⟺60k^3=\frac{20}{3}⟺k^3=\frac{1}{9}⟺k=9^{-1/3}\approx 0,4807$ (thuộc $[0,25;0,5]$).

Thời gian nhỏ nhất:
$$a=T(k^{\ast })=\left(60+\frac{20}{3}\cdot 9^{1/3}\right)\sqrt{1+9^{-2/3}}\approx (60+13,8672)\cdot 1,10956\approx 81,9633\text{s}.$$
So sánh: tại $k=0,5$ (đến góc $C$) có $T\approx 81,99$ s; tại $k=0,25$ có $T\approx 89,33$ s; trên trường hợp $k\le 0,25$ thời gian nhỏ nhất là $\approx 86,67$ s. Vậy thời gian ngắn nhất là $a\approx 81,9633$ s.

Do đó $100a\approx 8196,33$, làm tròn đến hàng đơn vị: $100a\approx 8196$, khớp với đáp án chính thức Câu 5 (8196).

(AI giải đề cho tôi)
Sau thời gian $t$, người đi xe đạp cách $O$ một đoạn $30-15t$ (km) theo phương ngang, khinh khí cầu cách $O$ một đoạn $10t$ (km) theo phương thẳng đứng. Khoảng cách giữa hai vật là $d(t)=\sqrt{(30-15t{)}^2+(10t{)}^2}$. Xét $f(t)=(30-15t{)}^2+100t^2=325t^2-900t+900$. $f^{\prime }(t)=650t-900=0\Rightarrow t=\frac{900}{650}=\frac{18}{13}\approx 1,3846$. Vì $f^{\prime \prime }(t)=650>0$ nên đây là giá trị nhỏ nhất. Vậy $t\approx 1,38$ giờ, khớp với đáp án nguồn 1,38.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $Q=\sqrt{KL}=160$ suy ra $KL=160^2=25600$, do đó $L=\frac{25600}{K}$ (không phải $\frac{160}{K}$) → a) Sai. b) Với $K=200$: $L=\frac{25600}{200}=128$, $F=16\cdot 200+9\cdot 128+40=3200+1152+40=4392<4500$ → Sai. c) Thay $L=\frac{160^2}{K}$ vào $F$ được $F=16K+9\cdot \frac{160^2}{K}+40$ → Đúng. d) $F=16K+\frac{230400}{K}+40\ge 2\sqrt{16\cdot 230400}+40=3840+40=3880$, đạt khi $K=120$; chi phí tối thiểu là $3880$ nghìn USD, không phải $3840$ → Sai. Khớp đáp án nguồn: a) S, b) S, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\sqrt{KL}=160$ nên $KL=160^2=25600$, suy ra $L=\frac{25600}{K}$, không phải $L=\frac{160}{K}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $K=200$ thì $L=\frac{25600}{200}=128$, nên $F=16\cdot 200+9\cdot 128+40=4392<4500$ (nghìn USD).
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay $L=\frac{160^2}{K}$ vào $F=16K+9L+40$ được $F=16K+9\cdot \frac{160^2}{K}+40$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$F=16K+\frac{230400}{K}+40\ge 2\sqrt{16\cdot 230400}+40=3880$ (nghìn USD), đạt khi $K=120$, $L=\frac{640}{3}$. Chi phí tối thiểu là $3880$, không phải $3840$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0),B(200;0),C(200;200),D(0;200)$; robot xuất phát $M(100;0)$, đích $P(100+q;200)$ với $q\in [-100;100]$. Bãi cát (rộng 80 theo phương ngang, dài 120 theo phương đứng, nằm chính giữa) chiếm $60\le x\le 140$, $40\le y\le 160$. Đường đi $x=100+\frac{q}{200}y$ luôn cắt bãi cát vì tại $y=40$ có $x=100+0,2q\in [80;120]$.

Trường hợp 1 ($q\le 50$): đường đi ra khỏi cát qua cạnh trên $y=160$, đoạn trong cát dài đúng 120 m, tổng quãng đường $L=\sqrt{q^2+200^2}$. Thời gian $T=\frac{L-120}{3}+\frac{120}{2}=\frac{\sqrt{q^2+40000}}{3}+60$, nhỏ nhất tại $q=0$ với $T=\frac{200}{3}+20\approx 86,67$ s.

Trường hợp 2 ($50<q\le 100$): đường đi ra khỏi cát qua cạnh phải $x=140$ tại $F\left(140;\frac{8000}{q}\right)$, vào cát tại $E(100+0,2q;40)$. Khi đó $L_{cat}=\sqrt{(40-0,2q{)}^2+{\left(\frac{8000}{q}-40\right)}^2}$, $L=\sqrt{q^2+40000}$, và $T=\frac{L}{3}+\frac{L_{cat}}{6}$ (phần trên cát chậm hơn nên chi phí thêm $\frac{L_{cat}}{2}-\frac{L_{cat}}{3}=\frac{L_{cat}}{6}$). Giải $T^{\prime }(q)=0$ bằng phương pháp số được $q\approx 96,1$; kiểm tra: $T(80)\approx 82,33$, $T(90)\approx 82,26$, $T(96,2)\approx 81,96$, $T(98)\approx 81,97$. Vậy $T_{min}\approx \frac{221,89}{3}+\frac{47,98}{6}\approx 81,96$ s, nhỏ hơn $86,67$ s; phía $q<0$ đối xứng nên cùng giá trị.

Do đó $a\approx 81,96$ nên $100a\approx 8196$, khớp đáp án nguồn (Câu 5, Phần III: 8196).

(AI giải đề cho tôi)
Sau thời gian $t$, người đi xe đạp cách $O$ một đoạn $30-15t$ (km) trên mặt đất, khinh khí cầu ở độ cao $10t$ (km). Khoảng cách giữa hai vật là $d(t)=\sqrt{(30-15t{)}^2+(10t{)}^2}$. Xét $f(t)=(30-15t{)}^2+100t^2=325t^2-900t+900$. $f^{\prime }(t)=650t-900=0\Rightarrow t=\frac{900}{650}=\frac{18}{13}\approx 1,3846$. Vì $f^{\prime \prime }(t)=650>0$ nên đây là giá trị nhỏ nhất. Vậy $t\approx 1,38$ giờ, khớp với đáp án nguồn 1,38.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $P(x)=-0,3x^3+36x^2+1800x-48000$ với $x\ge 0$. Tính $P^{\prime }(x)=-0,9x^2+72x+1800$. Cho $P^{\prime }(x)=0\iff x^2-80x-2000=0\iff x=100$ (nhận, $x>0$) hoặc $x=-20$ (loại). Vì $P^{\prime }(x)>0$ khi $0<x<100$ và $P^{\prime }(x)<0$ khi $x>100$, hàm số đạt cực đại (và là GTLN trên miền xét) tại $x=100$. Vậy công ty cần sản xuất 100 chiếc máy xay sinh tố mỗi tháng, đáp án C, khớp với đáp án nguồn trang 18.