Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)$. Trên đoạn $[-2;2]$, $f^{\prime }(x)=0$ khi $x=-1$ (nghiệm $x=3$ không thuộc đoạn). Tính giá trị: $f(-2)=-8-12+18+10=8$; $f(-1)=-1-3+9+10=15$; $f(2)=8-12-18+10=-12$. So sánh: ${\max }_{[-2;2]}f(x)=f(-1)=15$. Khớp với đáp án nguồn A.

Quãng đường là 100 dặm nên chi phí nhiên liệu là $100.\frac{1}{5}\left(\frac{64}{x}+\frac{9}{100}x\right)=\frac{1280}{x}+\frac{9}{5}x$.

Thời gian di chuyển là $\frac{100}{x}$ (giờ) nên chi phí thuê tài xế là $16.\frac{100}{x}=\frac{1600}{x}$ (USD).

Tổng chi phí mỗi chuyến hàng là $f(x)=\frac{1280}{x}+\frac{9}{5}x+\frac{1600}{x}=\frac{2880}{x}+\frac{9}{5}x$.

Xét $f(x)$ trên $(0;50]$, có $f^{\prime }(x)=-\frac{2880}{x^2}+\frac{9}{5}$; $f^{\prime }(x)=0\iff x=40$ (do $0<x\le 50$).

Từ đó chi phí mỗi chuyến hàng nhỏ nhất là $f(40)=144$ (USD).

Có $y^{\prime }=3x^2-6(m+1)x+3(m^2+2m)$; $y^{\prime }=0\iff x^2-2(m+1)x+(m^2+2m)=0\iff \{\begin{array}{l}x=m\\ x=m+2\end{array}$.

Lập bảng biến thiên suy ra hàm số có giá trị lớn nhất trên khoảng $(-\infty ;0)$ khi và chỉ khi:

TH1: $m<0\le m+2\iff -2\le m<0$.

TH2: $\{\begin{array}{l}m+2<0\\ y(m)\ge y(0)\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m<-2\\ m^3-3(m+1)m^2+3(m^2+2m)m+2025\ge 2025\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}m<-2\\ m^2(m+3)\ge 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m<-2\\ m\ge -3\end{array}\iff -3\le m<-2$.

Kết luận: $-3\le m<0$.

Chọn D. Dựa vào đồ thị của hàm số đã cho ta có: $M=f(3)=3$; $m=f(2)=-2$. Suy ra $3M-2m=3.3-2.(-2)=13$

Trả lời: 300. Gọi $x$ (m) là chiều dài một trong ba mặt hàng rào song song với nhau của hình chữ E ($x>0$). Gọi $y$ (m) là chiều dài mặt hàng rào của hình chữ E song song với bờ sông ($y>0$). Số tiền để làm hàng rào là: $x.3.60000+y.30000=18000000\iff y=600-6x$. Diện tích đất rào: $S=x\cdot y=x\cdot (600-6x)=600x-6x^2$. Ta có: $S^{\prime }=600-12x$. $S^{\prime }=0\iff 600-12x\iff x=50$.

Bảng biến thiên:



Vậy $\underset{(0;+\infty )}{\max }S=15000$ (m${}^2$) khi $x=50$ (m) và $y=600-6.50=300$ (m)

Gọi $x$, $y$ (cm) lần lượt là các kích thước của trang sách $(x,y>0)$. Ta có: $xy=384\Rightarrow y=\frac{384}{x}$. Các kích thước của phần in chữ sau khi canh lề lần lượt là $x-6$, $y-4$ (cm). Diện tích phần in chữ: $S=(x-6)(y-4)=xy-6x-4y+24=384-6x-4\times \frac{384}{x}+24=408-\left(6x+\frac{1536}{x}\right)\left({\text{cm}}^2\right)$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:
$$S=408-\left(6x+\frac{1536}{x}\right)\le 408-2\sqrt{6x\times \frac{1536}{x}}=408-2\sqrt{6\times 1536}=216\left({\text{cm}}^2\right)$$
Dấu bằng xảy ra khi $6x=\frac{1536}{x}\iff x^2=256\Rightarrow x=16\Rightarrow y=\frac{384}{16}=24(\text{cm})$.
Vậy phần in chữ trên trang sách có diện tích lớn nhất là $216{\text{cm}}^2$ khi kích thước trang sách là $16\text{cm}\times 24\text{cm}$.

Đáp án theo bảng đáp án mã đề 1925: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng (DSDS).

Đáp án theo bảng đáp án mã đề 1925: -2.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị của $f(x)$ trên đoạn $[-1;5]$: giá trị lớn nhất là ${\max }_{[-1;5]}f=3$ (đạt tại điểm gần đầu múp phải của đoạn, khoảng $x\approx 4$ đến $5$), giá trị nhỏ nhất là ${\min }_{[-1;5]}f=-2$ (đạt tại $x=2$). Tổng $\max f+\min f=3+(-2)=1$. Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[2;4]$, hàm số $y=x+\frac{9}{x}$ có $y^{\prime }=1-\frac{9}{x^2}$. Cho $y^{\prime }=0$ ta được $x=\pm 3$, trong đoạn $[2;4]$ chỉ có $x=3$. Ta có $y(2)=2+\frac{9}{2}=\frac{13}{2}$, $y(3)=3+3=6$, $y(4)=4+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$. So sánh: $\underset{[2;4]}{\min }y=6$ tại $x=3$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh còn lại của đáy là $xcm$ $(x>0)$, chiều cao bể là $h=\frac{16000}{80x}=\frac{200}{x}cm$. Đổi đơn vị: diện tích đáy $=80xc{m}^2=\frac{80x}{10^4}{m}^2$; diện tích mặt bên $=2(80+x)\cdot \frac{200}{x}c{m}^2=\frac{400(80+x)}{10^{4}x}{m}^2$. Chi phí: $C(x)=100000\cdot \frac{80x}{10^4}+80000\cdot \frac{400(80+x)}{10^{4}x}=800x+\frac{256000}{x}+3200$ (đồng). Theo AM-GM, $C(x)\ge 2\sqrt{800\cdot 256000}+3200=2\sqrt{204800000}+3200\approx 28621,7+3200\approx 31821,7$ đồng, dấu bằng khi $800x=\frac{256000}{x}\iff x=\sqrt{320}\approx 17,89cm$. Vậy chi phí thấp nhất $\approx 31821,7$ đồng, làm tròn đến hàng nghìn là $32$ nghìn đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi chiều rộng là $x$ (m), chiều dài $2x$ (m), chiều cao $h$ (m). Thể tích $2x^{2}h=36\Rightarrow x^2=\frac{18}{h}$. Diện tích bể (không nắp): $S=2x^2+2(2xh)+2(xh)=2x^2+6xh=\frac{36}{h}+6h\sqrt{\frac{18}{h}}=\frac{36}{h}+18\sqrt{2}\sqrt{h}$. Xét $f(h)=\frac{36}{h}+18\sqrt{2}{h}^{1/2}$ với $h>0$. $f^{\prime }(h)=-\frac{36}{h^2}+9\sqrt{2}{h}^{-1/2}=0\Rightarrow 9\sqrt{2}{h}^{3/2}=36\Rightarrow h^{3/2}=2\sqrt{2}\Rightarrow h=2$. Vì $f^{\prime }(h)<0$ khi $h<2$ và $f^{\prime }(h)>0$ khi $h>2$, chi phí thấp nhất tại $h=2$ m (khi đó $x=3$, $S=18+36=54$ m²). Vậy chiều cao bể là $2$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận khi bán $x$ máy là $P(x)=x\left[p(x)-c(x)\right]=x\left(4000-10x-x^2+70x-400-\frac{1000}{x}\right)=-x^3+60x^2+3600x-1000$, với $1\le x\le 200$, $x\in \mathbb{N}$.

$P^{\prime }(x)=-3x^2+120x+3600=-3(x^2-40x-1200)$. Cho $P^{\prime }(x)=0$: $x^2-40x-1200=0\Rightarrow x=60$ hoặc $x=-20$ (loại).

Vì $P^{\prime }(x)>0$ khi $x<60$ và $P^{\prime }(x)<0$ khi $x>60$, hàm số đạt cực đại (và là giá trị lớn nhất trên đoạn) tại $x=60$. Khi đó $P(60)=-216000+216000+216000-1000=215000$ (nghìn đồng), lớn nhất.

Vậy doanh nghiệp nên bán $60$ máy tính bảng để lợi nhuận cao nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\sqrt{x^2-2x+5}=\sqrt{(x-1{)}^2+4}$. Trên đoạn $[-2;10]$, biểu thức $(x-1{)}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $0$ khi $x=1\in [-2;10]$. Do đó $\min f(x)=f(1)=\sqrt{0+4}=2$. Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $[-2;10]$ bằng $2$, đạt được tại $x=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị trên đoạn $[-3;3]$: giá trị lớn nhất $M=4$ (tại $x=3$), giá trị nhỏ nhất $m=-2$ (tại $x=-3$). Vậy $M-m=4-(-2)=6$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi k là số lần tăng giá, mỗi lần tăng 4 nghìn đồng/kg (k nguyên, k≥0). Giá bán: 50+4k (nghìn đồng/kg). Số cá thừa: 20k kg, nên số cá bán cho thương lái: 2000−20k kg (điều kiện 0≤k≤100). Doanh thu mỗi ngày: T(k)=(50+4k)(2000−20k)+12·20k = 100000 −1000k +8000k −80k² +240k = 100000+7240k−80k². Đây là tam thức bậc hai với a=−80<0, có đỉnh tại k=7240/160=45,25. Vì k nguyên nên xét k=45: T=100000+325800−162000=263800; k=46: T=100000+333040−169280=263760. Vậy T lớn nhất tại k=45, tức giá bán 50+4·45=230 nghìn đồng/kg, doanh thu lớn nhất 263800 nghìn đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Chi phí mỗi ngày: $C(x)=1000000+2000x+100x^2$ (đồng). Doanh thu: $30000x$ (đồng). Lợi nhuận: $P(x)=30000x-(1000000+2000x+100x^2)=-100x^2+28000x-1000000$, với $0\le x\le 200$. $P^{\prime }(x)=-200x+28000=0\Rightarrow x=140$. Vì $P^{\prime \prime }(x)=-200<0$ nên $P$ đạt cực đại tại $x=140$, thuộc $[0;200]$. Vậy cơ sở nên sản xuất 140 bình mỗi ngày để lợi nhuận lớn nhất ($P(140)=960000$ đồng).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)$. Trên đoạn $[-2;2]$, điểm tới hạn là $x=-1$ (vì $x=3\notin [-2;2]$). Tính: $f(-2)=-8-12+18+10=8$; $f(-1)=-1-3+9+10=15$; $f(2)=8-12-18+10=-12$. Vậy giá trị lớn nhất là $\max \{8;15;-12\}=15$, đạt tại $x=-1$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[-2;6]$ ta có $x+3>0$. Viết lại $y=\frac{x^2+3x+9}{x+3}=x+\frac{9}{x+3}$. Khi đó $y^{\prime }=1-\frac{9}{(x+3{)}^2}$; $y^{\prime }=0\iff (x+3{)}^2=9\iff x=0$ (nhận, $x=-6$ loại). Tính giá trị: $y(-2)=\frac{4-6+9}{1}=7$; $y(0)=\frac{9}{3}=3$; $y(6)=\frac{36+18+9}{9}=7$. Vậy ${\max }_{[-2;6]}y=7$, đạt tại $x=-2$ và $x=6$. Kết quả trùng với đáp án nguồn là 7.