Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi góc giữa cạnh $MN$ của hình chữ nhật $MNPQ$ và cạnh $AB$ của bức tranh là $\theta$ ($0<\theta <90^{\circ }$). Vì $A\in QM$, $B\in MN$, $C\in NP$, $D\in PQ$ và $MNPQ$ là hình chữ nhật, chiều dài hai cạnh của $MNPQ$ lần lượt là: $MN=40\cos \theta +20\sin \theta$ và $NP=40\sin \theta +20\cos \theta$ (chiếu các cạnh $AB=40$, $BC=20$ lên hai phương vuông góc của $MNPQ$).

Diện tích:
$$S(\theta )=(40\cos \theta +20\sin \theta )(40\sin \theta +20\cos \theta )$$
$$=1600\sin \theta \cos \theta +800{\cos }^2\theta +800{\sin }^2\theta +400\sin \theta \cos \theta =800+2000\sin \theta \cos \theta$$
$$=800+1000\sin 2\theta .$$

Vì $\sin 2\theta \le 1$, suy ra $S\le 800+1000=1800c{m}^2$, dấu bằng xảy ra khi $\theta =45^{\circ }$.

Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật $MNPQ$ là $1800c{m}^2$, trùng với đáp án của đề (Phần III, Câu 4: 1800).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=4x^3-16x=4x(x-2)(x+2)$. Trên đoạn $[-1;3]$, điểm tới hạn duy nhất là $x=2$. Tính: $f(-1)=1-8+a=a-7$; $f(2)=16-32+a=a-16$; $f(3)=81-72+a=a+9$. So sánh: $a-16<a-7<a+9$, vậy giá trị nhỏ nhất là $a-16=-16+a$. Khớp với đáp án nguồn (Câu 7, MD0911: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-6=0\iff x=\pm \sqrt{2}$. Trên đoạn $[-1;4]$ chỉ có điểm $x=\sqrt{2}$. Tính giá trị: $f(-1)=-1+6=5$; $f(\sqrt{2})=(\sqrt{2}{)}^3-6\sqrt{2}=2\sqrt{2}-6\sqrt{2}=-4\sqrt{2}$; $f(4)=64-24=40$. So sánh: $-4\sqrt{2}\approx -5,66$ là giá trị nhỏ nhất. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (1.A).

Đặt $A^{\prime }M=x$ (m). Suy ra $B^{\prime }M=A{B}^{\prime }-AM=2200-x$ (m) với $0<x<2200$ ) Áp dụng định lí Pythagore ta tính được: $$AM=\sqrt{A{A}^{\prime 2}+A^{\prime }{M}^2}=\sqrt{500^2+x^2};BM=\sqrt{B{B}^{\prime 2}+B^{\prime }{M}^2}=\sqrt{600^2+(2200-x{)}^2}$$ (0,25 điểm)
Tổng khoảng cách từ hai vị trí A, B đến vị trí M là $$D=AM+BM=\sqrt{500^2+x^2}+\sqrt{600^2+(2200-x{)}^2}$$ Xét hàm số $D(x)=\sqrt{500^2+x^2}+\sqrt{600^2+(2200-x{)}^2}$ với $0<x<2200$ $$\Rightarrow D^{\prime }(x)=\frac{x}{\sqrt{500^2+x^2}}+\frac{x-2200}{\sqrt{600^2+(2200-x{)}^2}}$$ Do đó $D^{\prime }(x)=0\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{500^2+x^2}}+\frac{x-2200}{\sqrt{600^2+(2200-x{)}^2}}=0\iff x=1000$ (0,5 điểm)
Bảng biến thiên của hàm số $D(x)$: x với 0, 1 000, 2 200; D'(x) dấu −, 0, +; D(x) có các giá trị $500+200\sqrt{130}$, $1100\sqrt{5}$ (giá trị nhỏ nhất), $600+100\sqrt{509}$. (0,25 điểm)
Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy $D(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $1100\sqrt{5}$ tại $x=1000$.
Suy ra giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách cần tìm là $1100\sqrt{5}$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị trên đoạn $[-1;3]$: điểm cao nhất là $(-1;2)$ nên $M=2$; điểm thấp nhất là $(2;-4)$ nên $m=-4$. Vậy $M+m=2+(-4)=-2$, chọn đáp án B. Kết quả trùng với đáp án nguồn (4.B).

Lập phương trình parabol nhận A (0; 40) làm đỉnh ; qua B(20; 0): $$y=-\frac{1}{10}{x}^2+40.$$ (0,25 điểm)
Gọi M là điểm thuộc parabol $y=-\frac{1}{10}{x}^2+40$, suy ra M( $x$; $-\frac{1}{10}{x}^2+40$ ): $$I{M}^2=\frac{1}{100}{x}^4-x^2-80x+1700$$ (0,25 điểm)
Đặt $f(x)=I{M}^2=\frac{1}{100}{x}^4-x^2-80x+1700$ ( $x\in [0;20]$ ). (0,25 điểm)
$$f^{\prime }(x)=\frac{4}{100}{x}^3-2x-80$$
$$f^{\prime }(x)=0\iff x=13,92.$$
Bảng biến thiên: x từ 0 đến 13,92 đến 20; y' đổi dấu −, 0, +; y giảm từ 1700 đến 768,1 rồi tăng đến $+\infty$.
$I{M}^2=768,8\Rightarrow IM=27,71$
Vậy chiều dài cây cầu nhỏ nhất là: $27,71-10=17,71$ (mét) (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-6=0\Rightarrow x=\pm \sqrt{2}$. Trên đoạn $[-1;4]$ chỉ có $x=\sqrt{2}$. Tính: $f(-1)=(-1{)}^3-6(-1)=5$; $f(4)=64-24=40$; $f(\sqrt{2})=2\sqrt{2}-6\sqrt{2}=-4\sqrt{2}\approx -5,657$. So sánh, giá trị nhỏ nhất là $-4\sqrt{2}$, trùng với đáp án A của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị trên đoạn $[-1;3]$: giá trị lớn nhất $M=f(-1)=2$ (điểm cao nhất của đồ thị), giá trị nhỏ nhất $m=f(2)=-4$ (điểm thấp nhất của đồ thị). Vậy $M-m=2-(-4)=6$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

Đặt $A^{\prime }M=x$ (m). Suy ra $B^{\prime }M=A^{\prime }{B}^{\prime }-A^{\prime }M=2200-x$ (m) với $0<x<2200$. Áp dụng định lí Pythagore ta tính được: $$AM=\sqrt{A{A}^{\prime 2}+A^{\prime }{M}^2}=\sqrt{500^2+x^2};BM=\sqrt{B{B}^{\prime 2}+B^{\prime }{M}^2}=\sqrt{600^2+(2200-x{)}^2}$$ (0,25 điểm)
Tổng khoảng cách từ hai vị trí A, B đến vị trí M là $$D=AM+BM=\sqrt{500^2+x^2}+\sqrt{600^2+(2200-x{)}^2}$$ Xét hàm số $D(x)=\sqrt{500^2+x^2}+\sqrt{600^2+(2200-x{)}^2}$ với $0<x<2200$ $$\Rightarrow D^{\prime }(x)=\frac{x}{\sqrt{500^2+x^2}}+\frac{x-2200}{\sqrt{600^2+(2200-x{)}^2}}$$ Do đó $D^{\prime }(x)=0\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{500^2+x^2}}+\frac{x-2200}{\sqrt{600^2+(2200-x{)}^2}}=0\iff x=1000$ (0,5 điểm)
Bảng biến thiên của hàm số $D(x)$: x với 0, 1 000, 2 200; D'(x) dấu −, 0, +; D(x) có các giá trị $500+200\sqrt{130}$, $1100\sqrt{5}$ (giá trị nhỏ nhất), $600+100\sqrt{509}$. (0,25 điểm)
Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy $D(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $1100\sqrt{5}$ tại $x=1000$.
Suy ra giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách cần tìm là $1100\sqrt{5}$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-6=0\iff x=\pm \sqrt{2}$. Trên đoạn $[-1;4]$ chỉ có điểm $x=\sqrt{2}$. Tính: $f(-1)=-1+6=5$; $f(\sqrt{2})=(\sqrt{2}{)}^3-6\sqrt{2}=2\sqrt{2}-6\sqrt{2}=-4\sqrt{2}$; $f(4)=64-24=40$. So sánh: $-4\sqrt{2}\approx -5,66<5<40$, vậy giá trị nhỏ nhất là $-4\sqrt{2}$, đạt tại $x=\sqrt{2}$. Đáp án A khớp với đáp án nguồn (trang 12: 3.A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị trên đoạn $[-1;3]$: giá trị lớn nhất $M=f(-1)=2$ (điểm cao nhất của đồ thị), giá trị nhỏ nhất $m=f(2)=-4$ (điểm thấp nhất của đồ thị). Vậy $M+m=2+(-4)=-2$. Kết quả trùng với đáp án B đã cho.

Lập phương trình parabol nhận A (0; 40) làm đỉnh ; qua B(20; 0): $$y=-\frac{1}{10}{x}^2+40.$$ (0,25 điểm)
Gọi M là điểm thuộc parabol $y=-\frac{1}{10}{x}^2+40$, suy ra M $(x;-\frac{1}{10}{x}^2+40)$: $$I{M}^2=\frac{1}{100}{x}^4-x^2-80x+1700$$ (0,25 điểm)
Đặt $f(x)=I{M}^2=\frac{1}{100}{x}^4-x^2-80x+1700(x\in [0;20]).$ (0,25 điểm)
$$f^{\prime }(x)=\frac{4}{100}{x}^3-2x-80$$
$$f^{\prime }(x)=0\iff x=13,92.$$
Bảng biến thiên: x từ 0 đến 13,92 đến 20; y' đổi dấu từ − qua 0 sang +; y giảm từ 1700 đến 768,1 rồi tăng đến $+\infty$.
$I{M}^2=768,8\Rightarrow IM=27,71$ (0,25 điểm)
Vậy chiều dài cây cầu nhỏ nhất là : $27,71-15=12,71$ (mét).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-6=0\iff x=\pm \sqrt{2}$. Trên đoạn $[-1;4]$ chỉ có $x=\sqrt{2}$. Tính: $f(-1)=-1+6=5$; $f(\sqrt{2})=(\sqrt{2}{)}^3-6\sqrt{2}=2\sqrt{2}-6\sqrt{2}=-4\sqrt{2}$; $f(4)=64-24=40$. So sánh: $-4\sqrt{2}\approx -5,66<5<40$. Vậy giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên $[-1;4]$ là $-4\sqrt{2}$, tương ứng phương án A (khớp với đáp án nguồn 3.A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị trên đoạn $[-1;3]$: $f(-1)=2$, $f(0)=-3$, $f(1)=-2$, $f(2)=-4$, $f(3)=1$. Giá trị lớn nhất $M=2$ (tại $x=-1$), giá trị nhỏ nhất $m=-4$ (tại $x=2$). Vậy $M+m=2+(-4)=-2$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Chi phí trung bình trên mỗi đơn vị sản phẩm là $\overline{C}(x)=\frac{C(x)}{x}=\frac{x}{4}+3+\frac{400}{x}$ với $0<x\le 50$. Ta có ${\overline{C}}^{\prime }(x)=\frac{1}{4}-\frac{400}{x^2}$. Cho ${\overline{C}}^{\prime }(x)=0\Rightarrow x^2=1600\Rightarrow x=40$ (thỏa $0<x\le 50$). Với $0<x<40$ thì ${\overline{C}}^{\prime }(x)<0$, với $40<x\le 50$ thì ${\overline{C}}^{\prime }(x)>0$, nên $\overline{C}(x)$ đạt cực tiểu tại $x=40$. Vậy mức sản lượng cần tìm là 40 sản phẩm (chi phí trung bình nhỏ nhất $\overline{C}(40)=10+3+10=23$ nghìn đồng).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $D(0;0)$, $C(80;0)$, $A(0;80)$, $B(40;80)$. Khi đó $AD$ là đường $x=0$, $AB$ là đường $y=80$, $BC$ là đường $2x+y-160=0$ (với điểm trong hình thang có $160-2x-y>0$).

**Phương trình đường cong $(\mathcal{H})$:** Với điểm $K(x;y)$, tích khoảng cách từ $K$ đến $AD$ và $BC$ là
$$x\cdot \frac{160-2x-y}{\sqrt{5}}=240\sqrt{5}\Rightarrow x(160-2x-y)=1200\Rightarrow y=160-2x-\frac{1200}{x}.$$
Curve cắt $DC$ ($y=0$) khi $x^2-80x+600=0\Rightarrow x=40\pm 10\sqrt{10}$, tức $x_1=40-10\sqrt{10}\approx 28,38$ và $x_2=40+10\sqrt{10}\approx 71,62$ (đều nằm trong $[0;80]$). Hồ sen là miền giữa đoạn $DC$ và cung $(\mathcal{H})$.

**Tối ưu con đường:** Với $E(x;y)$ cố định trên mép hồ, vì $M$ tuỳ ý trên $AD$ và $F$ tuỳ ý trên $AB$ nên
$$ME+EF\ge d(E,AD)+d(E,AB)=x+(80-y),$$
và dấu bằng đạt được khi $ME\perp AD$, $EF\perp AB$ (các chân vuông góc đều nằm trên cạnh). Vậy cần tối thiểu $g(x)=x+80-y$ với $E$ trên mép hồ. Thay phương trình $(\mathcal{H})$:
$$g(x)=x+80-\left(160-2x-\frac{1200}{x}\right)=3x-80+\frac{1200}{x},x\in [40-10\sqrt{10};40+10\sqrt{10}].$$
$$g^{\prime }(x)=3-\frac{1200}{x^2}=0\iff x=20\notin [28,38;71,62].$$
Trên đoạn này $g^{\prime }(x)>0$ (vì $1200/x^2\le 1200/(40-10\sqrt{10}{)}^2\approx 1,49<3$) nên $g$ đồng biến, giá trị nhỏ nhất tại $x_1=40-10\sqrt{10}$ (điểm $E$ nằm trên cạnh $DC$, là một phần mép hồ):
$$\frac{1200}{40-10\sqrt{10}}=\frac{120}{4-\sqrt{10}}=20(4+\sqrt{10})=80+20\sqrt{10},$$
$$g_{\min }=(120-30\sqrt{10})-80+(80+20\sqrt{10})=120-10\sqrt{10}.$$

Kiểm tra hình học: $M=D(0;0)$, $E=(40-10\sqrt{10};0)$, $F=(40-10\sqrt{10};80)$, các đoạn thẳng không đi vào trong hồ (tiếp xúc chỉ tại $E$ trên biên).

Vậy tổng chiều dài ngắn nhất là $120-10\sqrt{10}\approx 88,38$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x+\frac{4}{x}$ trên $[1;5]$. Ta có $y^{\prime }=1-\frac{4}{x^2}=\frac{x^2-4}{x^2}$. Cho $y^{\prime }=0\Rightarrow x=2$ (nhận, vì $x\in [1;5]$; $x=-2$ loại). Với $x\in [1;2)$ thì $y^{\prime }<0$, hàm số nghịch biến; với $x\in (2;5]$ thì $y^{\prime }>0$, hàm số đồng biến. Do đó hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=2$, với $y(2)=2+\frac{4}{2}=4$. So sánh: $y(1)=5$, $y(5)=5,8$, đều lớn hơn $4$. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 259, câu 3: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên trên đoạn $[-1;3]$: $f(-1)=0$, hàm tăng đến $f(0)=5$ (đạt cực đại), giảm đến $f(2)=1$ (cực tiểu), rồi tăng đến $f(3)=4$. So sánh các giá trị tại hai đầu mút và các điểm cực trị: giá trị lớn nhất là $5=f(0)$. Vậy $\underset{[-1;3]}{\max }f(x)=f(0)$, khớp với đáp án A (đáp án đề 259, câu 9 là A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên trên đoạn $[-1;3]$: $f(-1)=0$, $f(0)=5$, $f(2)=1$, $f(3)=4$. Hàm số đồng biến trên $[-1;0]$, nghịch biến trên $[0;2]$, đồng biến trên $[2;3]$. So sánh các giá trị: giá trị lớn nhất là ${\max }_{[-1;3]}f(x)=f(0)=5$. Vậy khẳng định đúng là C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0)$, $B(100;0)$, $D(0;40)$, $C(60;40)$. Khi đó $AD$ là đường thẳng $x=0$, $BC$ là đường thẳng $x+y=100$ (đi qua $B(100;0)$ và $C(60;40)$).

Tìm đường cong $f(x)$: với điểm $K(x;y)$ trên $f$, khoảng cách từ $K$ đến $AD$ là $x$, khoảng cách đến $BC$ là $\frac{100-x-y}{\sqrt{2}}$. Theo giả thiết: $$x\cdot \frac{100-x-y}{\sqrt{2}}=600\sqrt{2}\Rightarrow x(100-x-y)=1200\Rightarrow y=f(x)=100-x-\frac{1200}{x}.$$

Tìm chiều dài ngắn nhất của đường đi $M\to E\to F$: với $E(x;f(x))$ trên mép ao, $M\in AD$, $F\in DC$ (đường thẳng $y=40$): $ME\ge d(E,AD)=x$ (dấu bằng khi $ME\perp AD$, tức $M(0;f(x))$); $EF\ge d(E,DC)=40-f(x)$ (dấu bằng khi $EF\perp DC$, tức $F(x;40)$). Vậy tổng chiều dài nhỏ nhất ứng với mỗi $E$ là: $$g(x)=x+40-f(x)=x+40-100+x+\frac{1200}{x}=2x-60+\frac{1200}{x}.$$

Tìm min: $g^{\prime }(x)=2-\frac{1200}{x^2}=0\iff x^2=600\iff x=10\sqrt{6}\approx 24,49$. Khi đó $f(x)=100-10\sqrt{6}-12\sqrt{6}=100-22\sqrt{6}\approx 26,52$, thỏa mãn $E$ nằm trên cung mép ao (giữa hai giao điểm của $f$ với $AB$, tức $x\in [50-10\sqrt{13};50+10\sqrt{13}]$), các chân vuông góc $M(0;100-22\sqrt{6})\in AD$ và $F(10\sqrt{6};40)\in DC$ đều hợp lệ.

Giá trị nhỏ nhất: $$g(10\sqrt{6})=20\sqrt{6}-60+12\sqrt{6}=40\sqrt{6}-60\approx 37,98\approx 38.$$

Vậy tổng chiều dài con đường ngắn nhất là $40\sqrt{6}-60\approx 38$ (m).