Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^3-3x+2$ trên $[0;3]$. Có $y^{\prime }=3x^2-3=0\Rightarrow x=\pm 1$, trong đoạn $[0;3]$ chỉ có $x=1$. Tính giá trị: $y(0)=2$, $y(1)=1-3+2=0$, $y(3)=27-9+2=20$. Vậy giá trị lớn nhất là $20$, đạt tại $x=3$. Khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ đi qua $B(-1;0)$, cắt trục $Oy$ tại $(0;1)$ và đi qua $A\left(4;\frac{5}{3}\right)$. Suy ra $b=d$, $-a+b=0\Rightarrow a=b=d$; tại $A$: $\frac{5a}{4c+a}=\frac{5}{3}\Rightarrow 20c=10a\Rightarrow c=\frac{a}{2}$. Chọn $a=2$ được $y=\frac{2(x+1)}{x+2}$ (tiệm cận ngang $y=2$ khớp hình vẽ). Với $M(x;y)$ trên cung, $x\in [-1;4]$: $O{M}^2=x^2+\frac{4(x+1{)}^2}{(x+2{)}^2}$. Đặt $t=x+2\in [1;6]$: $g(t)=t^2-4t+8-\frac{8}{t}+\frac{4}{t^2}$, $g^{\prime }(t)=2t-4+\frac{8}{t^2}-\frac{8}{t^3}=0\iff t^4-2t^3+4t-4=0\iff t=\sqrt{2}$ (nghiệm duy nhất trong $[1;6]$, vì $g^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương). Khi đó $g(\sqrt{2})=12-8\sqrt{2}\approx 0,6863$, nên $O{M}_{\min }=\sqrt{12-8\sqrt{2}}\approx 0,8284\approx 0,83$, trùng với đáp án nguồn 0,83.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^3-3x+2$ trên $[0;3]$. Có $y^{\prime }=3x^2-3=0\Rightarrow x=\pm 1$, trong đoạn $[0;3]$ chỉ có $x=1$. Tính giá trị: $y(0)=2$, $y(1)=1-3+2=0$, $y(3)=27-9+2=20$. So sánh, giá trị lớn nhất là $20$ tại $x=3$. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 0101, câu 4: C).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^3-9x+2$ trên $[0;4]$. Có $y^{\prime }=3x^2-9=0\Rightarrow x=\pm \sqrt{3}$, trong đoạn $[0;4]$ chỉ có $x=\sqrt{3}$. Tính: $y(0)=2$; $y(\sqrt{3})=3\sqrt{3}-9\sqrt{3}+2=2-6\sqrt{3}<0$; $y(4)=64-36+2=30$. So sánh, giá trị lớn nhất là $30$ tại $x=4$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị trên đoạn $[-1;5]$: giá trị lớn nhất $\max f(x)=3$ (đạt tại điểm gần $x=4$), giá trị nhỏ nhất $\min f(x)=-2$ (đạt tại điểm gần $x=2$). Tổng $\max +\min =3+(-2)=1$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích hộp: $V(x)=x(30-2x)(80-2x)=4x^3-220x^2+2400x$ với $0<x<15$. Ta có $V^{\prime }(x)=12x^2-440x+2400=4(3x^2-110x+600)$. Giải $3x^2-110x+600=0$ được $x=\frac{110\pm 70}{6}$, tức $x=30$ (loại vì $x<15$) hoặc $x=\frac{40}{6}\approx 6,67$. Xét dấu $V^{\prime }$: $V^{\prime }>0$ khi $0<x<\frac{40}{6}$ và $V^{\prime }<0$ khi $\frac{40}{6}<x<15$, nên $V$ đạt giá trị lớn nhất tại $x=\frac{40}{6}\approx 6,7cm$. Kết quả khớp đáp án nguồn 6.7.

Gắn hệ tọa độ $Oxy$ như hình vẽ.



Giả sử phương trình $(P)$ có dạng $y=a{x}^2+bx+c$.
Sử dụng giả thiết $(P)$ có đỉnh $I(0;20)$ và qua $H(6;14)$ tìm được phương trình $(P)$: $y=-\frac{1}{6}{x}^2+20$.
Gọi $C\left(c;-\frac{1}{6}{c}^2+20\right)$ là đỉnh của hình chữ nhật ABCD (đk $0<c<2\sqrt{30}$).
Suy ra diện tích hình chữ nhật là: $S=2c.\left(-\frac{1}{6}{c}^2+20-4\right)=-\frac{1}{3}{c}^3+32c$.
Tính $S^{\prime }=-c^2+32$, xét dấu và kết luận S đạt gtln khi $c=4\sqrt{2}$.
Diện tích lớn nhất của hình chữ nhật: $S=120,7m^2$.

Ta có $y^{\prime }=6x^2-12x$.
Cho $y^{\prime }=0\iff \{\begin{array}{l}x=2(loại)\\ x=0\end{array}$.
Tính $y(-2)=-55$; $y(0)=-15$; $y(1)=-19$.
Kết luận được gtln, gtnn và tính đúng $M-m=40$ (với $M=y(0)=-15$, $m=y(-2)=-55$).

Ghi chú: đáp án gốc in $y(0)=15$, đây là lỗi đánh máy dấu; giá trị đúng là $y(0)=-15$ (vì $f(0)=-15$), và kết quả cuối $M-m=40$ vẫn nhất quán với giá trị đúng này.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, trên đoạn $[0;4]$ hàm số đạt giá trị lớn nhất $M=f(4)=6$ (điểm cuối bên phải của đồ thị) và giá trị nhỏ nhất $m=f(2)=1$ (điểm cực tiểu tại $x=2$). Do đó $M+2m=6+2\cdot 1=8$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hộp có đáy $(120-2x)\times (50-2x)$ và chiều cao $x$, với điều kiện $0<x<25$. Thể tích: $V(x)=x(120-2x)(50-2x)=4x^3-340x^2+6000x$.

$V^{\prime }(x)=12x^2-680x+6000=0\iff x=\frac{680\pm \sqrt{680^2-4\cdot 12\cdot 6000}}{24}=\frac{680\pm \sqrt{174400}}{24}$.

Vì $\sqrt{174400}\approx 417,61$, hai nghiệm là $x\approx 10,93$ và $x\approx 45,73$. Chỉ $x\approx 10,93$ thuộc $(0;25)$.

Trên $(0;25)$: $V^{\prime }(x)>0$ khi $x<10,93$ và $V^{\prime }(x)<0$ khi $x>10,93$, nên $V$ đạt giá trị lớn nhất tại $x\approx 10,93$. Làm tròn đến hàng đơn vị: $x=11$ (cm). Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1101, Câu 1: 11).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $N(t)=\frac{10000}{1+99e^{-0.46t}}$ là hàm logistic. Tốc độ lây lan $N^{\prime }(t)=\frac{10000\cdot 99\cdot 0.46e^{-0.46t}}{(1+99e^{-0.46t}{)}^2}>0$. Tốc độ lây lan của hàm logistic đạt lớn nhất khi $1+99e^{-0.46t}=2$, tức $99e^{-0.46t}=1\Rightarrow t=\frac{\ln 99}{0.46}\approx \frac{4.5951}{0.46}\approx 9.99\approx 10$ tuần. Cách khác: $N^{\prime }(t)$ lớn nhất khi $N^{\prime \prime }(t)=0$, giải tương tự được cùng kết quả. Vậy vào khoảng tuần thứ 10 tốc độ lây lan lớn nhất, khớp với đáp án nguồn (10).

Ta có $y^{\prime }=3x^2-12x$. Cho $y^{\prime }=0\iff \{\begin{array}{l}x=0(loại)\\ x=4\end{array}$. Tính $y(2)=16$ ; $y(4)=0$ ; $y(6)=32$. Kết luận được gtln, gtnn và tính đúng $2M-3m=64$.

Gắn hệ tọa độ $Oxy$ như hình vẽ .

[Hình cần kiểm tra lại: p10_f1]

Giả sử phương trình $(P)$ có dạng $y=a{x}^2+bx+c$.
Sử dụng giả thiết $(P)$ có đỉnh $I(0;15)$ và qua $H(5;10)$ tìm được phương trình $(P)$: $y=-\frac{1}{5}{x}^2+15$.
Gọi $C(c;-\frac{1}{5}{c}^2+15)$ là đỉnh của hình chữ nhật $ABCD$ (đk $0<c<\sqrt{75}$).
Suy ra diện tích hình chữ nhật là: $S=2c.\left(-\frac{1}{5}{c}^2+15-3\right)=-\frac{2}{5}{c}^3+24c$.
Tính $S^{\prime }=-\frac{6}{5}{c}^2+24$, xét dấu và kết luận $S$ đạt gtln khi $c=2\sqrt{5}$.
Diện tích lớn nhất của hình chữ nhật: $S=71,6m^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^4-x^2+2$ trên $[0;3]$. Có $y^{\prime }=4x^3-2x=2x(2x^2-1)$, $y^{\prime }=0$ khi $x=0$ hoặc $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Tính giá trị tại các điểm nghiêm túc và hai đầu đoạn: $y(0)=2$; $y\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+2=\frac{7}{4}$; $y(3)=81-9+2=74$. Vậy giá trị lớn nhất là $74$, đạt tại $x=3$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x+2}{x+1}$ xác định trên $[0;2]$ vì $x+1\ne 0$. Ta có $y^{\prime }=\frac{3(x+1)-(3x+2)}{(x+1{)}^2}=\frac{1}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\in [0;2]$, nên hàm số đồng biến trên $[0;2]$. Do đó giá trị lớn nhất đạt tại $x=2$: $y(2)=\frac{3\cdot 2+2}{2+1}=\frac{8}{3}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1204, câu 1: B).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng chi phí gồm chi phí cố định 10 triệu đồng, chi phí biến đổi $0,05x$ triệu đồng và chi phí xử lý rác thải, hao mòn $0,001x^2$ triệu đồng, nên $C(x)=0,001x^2+0,05x+10$ với $0\le x\le 300$ → a) Đúng.
Với $x=50$: $C(50)=0,001\cdot 2500+0,05\cdot 50+10=2,5+2,5+10=15$ triệu đồng, không phải 12,5 triệu đồng → b) Sai.
Chi phí trung bình $\overline{C}(x)=\frac{C(x)}{x}=0,001x+0,05+\frac{10}{x}$, khác biểu thức $0,001x+10+\frac{0,05}{x}$ đã cho → c) Sai.
Xét $\overline{C}(x)=0,001x+\frac{10}{x}+0,05$ trên $(0;300]$, có ${\overline{C}}^{\prime }(x)=0,001-\frac{10}{x^2}=0\iff x=100$; $\overline{C}$ giảm trên $(0;100)$ và tăng trên $(100;300)$ nên đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=100$, với $\overline{C}(100)=0,1+0,1+0,05=0,25$ triệu đồng/sản phẩm → d) Đúng.
Kết quả khớp đáp án nguồn (Mã đề 1204, Câu 1): a)Đ - b)S - c)S - d)Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$C(x)=10+0,05x+0,001x^2=0,001x^2+0,05x+10$ (triệu đồng), đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$C(50)=0,001\cdot 50^2+0,05\cdot 50+10=2,5+2,5+10=15$ triệu đồng, không phải 12,5 triệu đồng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\overline{C}(x)=\frac{0,001x^2+0,05x+10}{x}=0,001x+0,05+\frac{10}{x}$, khác biểu thức đã cho.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
${\overline{C}}^{\prime }(x)=0,001-\frac{10}{x^2}=0\Rightarrow x=100$; $\overline{C}$ giảm trên $(0;100)$, tăng trên $(100;300)$ nên chi phí trung bình nhỏ nhất tại $x=100$ sản phẩm/ngày.

(AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận: $P(x)=x\cdot p(x)-100x-1500=x(220-x)-100x-1500=-x^2+120x-1500$. Đây là parabol với đỉnh tại $x=-\frac{120}{2(-1)}=60$, thuộc đoạn $[20;120]$. Vậy cần bán 60 chiếc áo để lợi nhuận cao nhất (đáp án khớp với đáp án của đề: Câu 2 mã đề 1204 = 60).

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là $v(t)=x^{\prime }(t)=12t-6t^2=-6t^2+12t$ với $0\le t\le 2$. Xét $v^{\prime }(t)=12-12t=0\Rightarrow t=1$. Với $t<1$ thì $v^{\prime }>0$, với $t>1$ thì $v^{\prime }<0$, nên $v$ đạt cực đại (và là GTLN trên $[0;2]$) tại $t=1$, với $v(1)=6$ m/s. So sánh: $v(0)=0$, $v(2)=0$. Vậy vận tốc lớn nhất tại $t=1$, khớp đáp án C của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Doanh thu là $R(x)=x\cdot p(x)$. Với $x=20$: $p(20)=400-2\cdot 20=360$ (triệu đồng), nên $R(20)=20\cdot 360=7200$ (triệu đồng). Khớp với đáp án A trong bảng đáp án mã đề 1204.

(AI giải đề cho tôi)
Chi phí sản xuất $x{m}^3$ mỗi ngày gồm: chi phí cố định 3 triệu đồng, chi phí sản phẩm $0,15x$ triệu đồng và chi phí bảo dưỡng $0,0003x^2$ triệu đồng, với $0\le x\le 200$.
a) $C(x)=0,0003x^2+0,15x+3$, không phải $+5$ → Sai.
b) $C(100)=0,0003\cdot 100^2+0,15\cdot 100+3=3+15+3=21$ triệu đồng $\ne 18$ → Sai.
c) $\overline{c}(x)=\frac{C(x)}{x}=0,0003x+0,15+\frac{3}{x}$ với $0<x\le 200$ → Đúng.
d) Xét $\overline{c}(x)=0,0003x+0,15+\frac{3}{x}$ trên $(0;200]$. ${\overline{c}}^{\prime }(x)=0,0003-\frac{3}{x^2}=0\iff x^2=10000\iff x=100$ (nhận). Vì ${\overline{c}}^{\prime \prime }(x)=\frac{6}{x^3}>0$ nên $\overline{c}$ đạt nhỏ nhất tại $x=100$, giá trị nhỏ nhất $\overline{c}(100)=0,03+0,15+0,03=0,21$ triệu đồng/m³ → Đúng. Khớp đáp án nguồn (mã 1203, Câu 4): a)S - b)S - c)Đ - d)Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$C(x)=0,0003x^2+0,15x+3$ (chi phí cố định là 3 triệu đồng, không phải 5).
b) (AI giải đề cho tôi)
$C(100)=3+15+3=21$ triệu đồng, không phải 18 triệu đồng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overline{c}(x)=\frac{C(x)}{x}=0,0003x+0,15+\frac{3}{x}$ với $0<x\le 200$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\overline{c}}^{\prime }(x)=0,0003-\frac{3}{x^2}=0\iff x=100\in (0;200]$ và ${\overline{c}}^{\prime \prime }(100)>0$, nên chi phí trung bình nhỏ nhất tại $x=100m^3$.