Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Tấm bìa $3m\times 8m$, cắt mỗi góc hình vuông cạnh $x$ rồi gấp thành hộp không nắp có chiều cao $x$, đáy là hình chữ nhật $(8-2x)\times (3-2x)$. a) Cần $x>0$ và $3-2x>0$ nên $0<x<\frac{3}{2}$: đúng. b) Diện tích mặt đáy là $(8-2x)(3-2x)$: đúng. c) Thể tích $V=x(8-2x)(3-2x)$, không phải $(8-2x{)}^2(3-2x)$: sai. d) $V(x)=4x^3-22x^2+24x$, $V^{\prime }(x)=4(3x^2-11x+6)=0\Rightarrow x=\frac{2}{3}$ (nhận) hoặc $x=3$ (loại); $V$ đạt max tại $x=\frac{2}{3}$: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cần $x>0$ và $3-2x>0$ nên $0<x<\frac{3}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đáy hộp có kích thước $(8-2x)\times (3-2x)$ nên diện tích là $(8-2x)(3-2x)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thể tích $V=x(8-2x)(3-2x)$, không phải $(8-2x{)}^2(3-2x)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V(x)=4x^3-22x^2+24x$, $V^{\prime }(x)=4(3x^2-11x+6)=0\Rightarrow x=\frac{2}{3}$ (nhận) hoặc $x=3$ (loại); $V$ đạt max tại $x=\frac{2}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là $v(t)=s^{\prime }(t)=-3t^2+12t+1$ trên $[0;3]$. Xét $v^{\prime }(t)=-6t+12=0\Rightarrow t=2$. Vì $v(t)$ là parabol có đỉnh tại $t=2$ hướng xuống nên $v$ đạt giá trị lớn nhất tại $t=2$: $v(2)=-3\cdot 4+12\cdot 2+1=-12+24+1=13$ (m/s). So sánh: $v(0)=1$, $v(3)=-27+36+1=10$. Vậy vận tốc lớn nhất là 13 m/s.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $Q(t)=-\frac{1}{5}{t}^3+3t^2+100$ trên $[0;15]$. Ta có $Q^{\prime }(t)=-\frac{3}{5}{t}^2+6t=t\left(6-\frac{3}{5}t\right)$. Cho $Q^{\prime }(t)=0$ với $0\le t\le 15$ được $t=0$ hoặc $t=10$. Tính: $Q(0)=100$; $Q(10)=-\frac{1000}{5}+3\cdot 100+100=-200+300+100=200$; $Q(15)=-\frac{3375}{5}+3\cdot 225+100=-675+675+100=100$. Vậy lưu lượng nước lớn nhất trong thời gian theo dõi bằng $200$ m³/phút, đạt tại $t=10$ phút.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi chiều rộng (hai cạnh vuông góc bờ sông) là $x$, chiều dài song song bờ sông là $y$. Hàng rào: $2x+y=240\Rightarrow y=240-2x$ với $0<x<120$. Diện tích: $S(x)=x(240-2x)=240x-2x^2$. $S^{\prime }(x)=240-4x=0\Rightarrow x=60$. Khi đó $y=120$ và $S_{\max }=60\cdot 120=7200{\text{m}}^2$. Vậy diện tích lớn nhất là $7200{\text{m}}^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh đáy là $x>0$, chiều cao $h>0$. Thể tích $x^{2}h=32\Rightarrow h=\frac{32}{x^2}$. Diện tích vật liệu (không có nắp): $S=x^2+4xh=x^2+\frac{128}{x}$. Chi phí nhỏ nhất khi $S$ nhỏ nhất: $S^{\prime }(x)=2x-\frac{128}{x^2}=0\Rightarrow x^3=64\Rightarrow x=4$, khi đó $h=2$. $S=16+\frac{128}{4}=48$ m${}^2$. Chi phí $=48\times 600000=28800000$ đồng $=28,8$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi x là số lần tăng giá 100 nghìn đồng (x ≥ 0, x ≤ 200). Giá thuê mỗi căn: p = 10 + 0,1x (triệu đồng). Số căn có người thuê: 200 − x. Doanh thu: R(x) = (10 + 0,1x)(200 − x) = 2000 + 10x − 0,1x². R'(x) = 10 − 0,2x = 0 ⟹ x = 50. R(50) = (10 + 5)(150) = 15 · 150 = 2250. Vậy doanh thu lớn nhất là 2250 triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích thùng: $x^{2}h=665,5\Rightarrow h=\frac{665,5}{x^2}$ với $x>0$. Miếng tôn hình chữ thập gồm đáy vuông cạnh $x$ cộng 4 hình chữ nhật cạnh $x\times h$, nên diện tích $S=x^2+4xh=x^2+\frac{2662}{x}$. Xét $f(x)=x^2+\frac{2662}{x}$, $x>0$: $f^{\prime }(x)=2x-\frac{2662}{x^2}=0\Rightarrow x^3=1331\Rightarrow x=11$. Vì $f^{\prime }(x)<0$ khi $0<x<11$ và $f^{\prime }(x)>0$ khi $x>11$, hàm số đạt cực tiểu (cũng là giá trị nhỏ nhất) tại $x=11$. Vậy $x=11$ dm.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $N(t)=1000+30t^2-t^3$ trên $[0;30]$. Ta có $N^{\prime }(t)=60t-3t^2=3t(20-t)$. $N^{\prime }(t)=0$ khi $t=0$ hoặc $t=20$. Trên $(0;20)$ có $N^{\prime }(t)>0$, trên $(20;30)$ có $N^{\prime }(t)<0$, nên hàm số đạt cực đại (và là giá trị lớn nhất) tại $t=20$ phút, với $N(20)=1000+30\cdot 400-8000=5000$ lớn hơn $N(0)=1000$ và $N(30)=1000$. Vậy số vi khuẩn lớn nhất sau $20$ phút $=20\times 60=1200$ giây. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, trên đoạn $[-1;3]$ hàm số đạt giá trị lớn nhất $M=3$ (tại $x=3$) và giá trị nhỏ nhất $m=-2$ (tại điểm cực tiểu gần $x=2$). Vậy $M-m=3-(-2)=5$. Chọn đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 11: D).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là cạnh đáy (m), $h$ là chiều cao (m). Thể tích $V=x^{2}h=64\Rightarrow h=\frac{64}{x^2}$ (m) với $x>0$.

a) Diện tích đáy: $x^2$, chi phí đáy: $k{x}^2$. Diện tích 4 mặt bên: $4xh=4x\cdot \frac{64}{x^2}=\frac{256}{x}$, chi phí các mặt bên: $\frac{k}{4}\cdot \frac{256}{x}=\frac{64k}{x}$. Vậy $C(x)=k{x}^2+\frac{64k}{x}$, không phải $k{x}^2+\frac{256k}{x}$ → SAI.

b) $h=\frac{64}{x^2}$ → ĐÚNG.

c) Tổng diện tích bề mặt vật liệu: $x^2+\frac{256}{x}$ (m²), không phải $x^2+\frac{128}{x}$ → SAI.

d) $C(x)=k{x}^2+\frac{64k}{x}$, $C^{\prime }(x)=2kx-\frac{64k}{x^2}=0\Rightarrow x^3=32\Rightarrow x=\sqrt[3]{32}\approx 3,17$ m (do $C^{\prime }(x)<0$ khi $x<\sqrt[3]{32}$ và $C^{\prime }(x)>0$ khi $x>\sqrt[3]{32}$). Vậy chi phí nhỏ nhất khi $x=\sqrt[3]{32}\approx 3,17$ m, không phải 4 m → SAI.

Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, Phần II câu 1: SĐSS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Chi phí đúng là $C(x)=k{x}^2+\frac{64k}{x}$ vì chi phí mặt bên $=\frac{k}{4}\cdot \frac{256}{x}=\frac{64k}{x}$, không phải $k{x}^2+\frac{256k}{x}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ $V=x^{2}h=64$ suy ra $h=\frac{64}{x^2}$ (m).
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng diện tích là $x^2+4xh=x^2+\frac{256}{x}$ (m²), không phải $x^2+\frac{128}{x}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$C^{\prime }(x)=2kx-\frac{64k}{x^2}=0\Rightarrow x=\sqrt[3]{32}\approx 3,17$ m, không phải 4 m.

(AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận (nghìn đồng): P(x) = F(x) - x·G(x) = -0,01x² + 300x - (30000 + 200x) = -0,01x² + 100x - 30000. Yêu cầu P(x) > 100 triệu = 100000 nghìn đồng: -0,01x² + 100x - 130000 > 0 ⟺ x² - 10000x + 13000000 < 0. Nghiệm: x = 5000 ± 2000√3, với 2000√3 ≈ 3464,10 nên 1535,90 < x < 8464,10. Kết hợp 1 ≤ x ≤ 4500 và x nguyên: x ≥ 1536. Vậy doanh nghiệp cần sản xuất ít nhất 1536 sản phẩm, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=(x+1)e^x$, có $y^{\prime }=(x+2)e^x$. Vì $e^x>0$ nên $y^{\prime }=0\iff x=-2$. Với $x<-2$ thì $y^{\prime }<0$, với $x>-2$ thì $y^{\prime }>0$, nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=-2$: $y_{min}=(-2+1)e^{-2}=-\frac{1}{e^2}=-\frac{a}{e^b}$ với $a=1,b=2$. Vậy $a+b=3$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 4 = 3).

(AI giải đề cho tôi)
$N^{\prime }(t)=60t-3t^2=3t(20-t)$. Trên $[0;30]$, $N^{\prime }(t)>0$ khi $0<t<20$ và $N^{\prime }(t)<0$ khi $t>20$, nên $N$ đạt max tại $t=20$ phút. Đổi ra giây: $20$ phút $=1200$ giây. Vậy đáp án C (khớp đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích bồn: $V=x^{2}h=64\Rightarrow h=\frac{64}{x^2}$ (m), với $x$ là cạnh đáy hình vuông.

a) Diện tích bề mặt vật liệu (không nắp) gồm đáy và 4 mặt bên: $S=x^2+4xh=x^2+4x\cdot \frac{64}{x^2}=x^2+\frac{256}{x}$ $(m^2)$. Đề nói $x^2+\frac{128}{x}$ nên SAI.

b) Tổng chi phí: $C(x)=k\cdot x^2+\frac{k}{4}\cdot \frac{256}{x}=k{x}^2+\frac{64k}{x}$ (nghìn đồng). Đề nói $k{x}^2+k\frac{256}{x}$ nên SAI.

c) $h=\frac{64}{x^2}$ (m) — ĐÚNG.

d) Xét $C(x)=k{x}^2+\frac{64k}{x}$, $x>0$. $C^{\prime }(x)=2kx-\frac{64k}{x^2}=0\iff x^3=32\iff x=\sqrt[3]{32}=2\sqrt[3]{4}\approx 3,17$ m. Vì $C^{\prime }(x)<0$ khi $x<\sqrt[3]{32}$ và $C^{\prime }(x)>0$ khi $x>\sqrt[3]{32}$, chi phí nhỏ nhất tại $x=\sqrt[3]{32}\ne 4$ m nên SAI.

Kết quả khớp đáp án nguồn (bảng đáp án trang 9, mã đề 1001, Phần II câu 2: S-S-Đ-S): chỉ ý c đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $S=x^2+4xh=x^2+\frac{256}{x}$, không phải $x^2+\frac{128}{x}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $C(x)=k{x}^2+\frac{k}{4}\cdot \frac{256}{x}=k{x}^2+\frac{64k}{x}$, không phải $k{x}^2+k\frac{256}{x}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Từ $x^{2}h=64$ suy ra $h=\frac{64}{x^2}$ (m).
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $C^{\prime }(x)=2kx-\frac{64k}{x^2}=0\iff x=\sqrt[3]{32}=2\sqrt[3]{4}\approx 3,17$ m, không phải 4 m.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=(x+1)e^x$, nên $y^{\prime }=(x+2)e^x$. Vì $e^x>0$ nên $y^{\prime }<0$ khi $x<-2$ và $y^{\prime }>0$ khi $x>-2$, do đó hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=-2$. Giá trị nhỏ nhất: $y(-2)=(-2+1)e^{-2}=-\frac{1}{e^2}=-\frac{a}{e^b}$ với $a=1,b=2$. Vậy $a+b=1+2=3$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1001, Phần III câu 2 = 3).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị trên đoạn $[-1;3]$: giá trị lớn nhất $M=3$ (tại $x=3$), giá trị nhỏ nhất $m=-2$ (tại điểm cực tiểu gần $x=2$). Vậy $M-m=3-(-2)=5$. Chọn C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^3-3x+2$ trên $[0;3]$. Có $y^{\prime }=3x^2-3=0\Rightarrow x=\pm 1$, trong $[0;3]$ chỉ có $x=1$. Tính giá trị: $y(0)=2$, $y(1)=1-3+2=0$, $y(3)=27-9+2=20$. Vậy ${\max }_{[0;3]}y=20$, đạt tại $x=3$. Khớp với đáp án nguồn D (mã đề 0107).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ đi qua $B(-1;0)$, cắt trục tung tại $(0;1)$ và có tiệm cận đứng $x=-2$ (đồng thời tiệm cận ngang $y=2$).

$f(-1)=0\Rightarrow -a+b=0\Rightarrow b=a$; $f(0)=1\Rightarrow \frac{b}{d}=1\Rightarrow d=a$; mẫu số $cx+d=c(x+2)\Rightarrow d=2c\Rightarrow c=\frac{a}{2}$.

Kiểm tra $A\left(4;\frac{5}{3}\right)$: $f(4)=\frac{5a}{\frac{a}{2}\cdot 4+a}=\frac{5a}{3a}=\frac{5}{3}$ ✓.

Chọn $a=2$: $y=\frac{2x+2}{x+2}$, với $x\in [-1;4]$.

Bình phương khoảng cách từ $M(x;y)$ đến $O$:
$$O{M}^2=x^2+\frac{4(x+1{)}^2}{(x+2{)}^2}=f(x).$$

$f^{\prime }(x)=2x+\frac{8(x+1)}{(x+2{)}^3}$. Cho $f^{\prime }(x)=0$:
$$x(x+2{)}^3+4(x+1)=0\iff x^4+6x^3+12x^2+12x+4=0.$$

Dùng máy tính CAS trên $[-1;4]$ được nghiệm $x\approx -0,5863$ (nghiệm duy nhất, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên là điểm cực tiểu).

Khi đó $y=\frac{2x+2}{x+2}\approx 0,5853$ và
$$O{M}_{\min }=\sqrt{(-0,5863{)}^2+(0,5853{)}^2}\approx \sqrt{0,6863}\approx 0,8284\approx 0,83.$$

Khớp với đáp án nguồn $0,83$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ đi qua $B(-1;0)$, $A\left(4;\frac{5}{3}\right)$ và cắt trục $Oy$ tại $(0;1)$. Suy ra $\frac{b}{d}=1\Rightarrow b=d$; tại $B$: $-a+b=0\Rightarrow a=b=d$. Tại $A$: $\frac{5a}{4c+a}=\frac{5}{3}\Rightarrow 15a=20c+5a\Rightarrow c=\frac{a}{2}$. Vậy $y=\frac{2(x+1)}{x+2}$, với $x\in [-1;4]$. Xét $f(x)=O{M}^2=x^2+{\left(\frac{2(x+1)}{x+2}\right)}^2$. Có $y^{\prime }=\frac{2}{(x+2{)}^2}$, nên $f^{\prime }(x)=2x+\frac{8(x+1)}{(x+2{)}^3}=0\iff x(x+2{)}^3=-4(x+1)$. Thử nghiệm cho nghiệm $x\approx -0,586$ (thuộc $[-1;4]$), khi đó $y=\frac{2(0,414)}{1,414}\approx 0,5855$. Khi đó $O{M}_{\min }=\sqrt{(-0,586{)}^2+(0,5855{)}^2}\approx \sqrt{0,686}\approx 0,83$. Kiểm tra hai đầu: tại $B$, $OM=1$; tại $A$, $OM=\sqrt{16+25/9}\approx 4,41$. Vậy khoảng cách ngắn nhất từ $M$ đến $O$ là $0,83$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^3-3x+2$ trên $[0;3]$. Ta có $y^{\prime }=3x^2-3=0\Rightarrow x=\pm 1$, trong đoạn $[0;3]$ chỉ có $x=1$ với $y(1)=1-3+2=0$. Tính giá trị tại các điểm: $y(0)=2$, $y(1)=0$, $y(3)=27-9+2=20$. Vậy giá trị lớn nhất trên $[0;3]$ là $20$, đạt tại $x=3$. Khớp với đáp án nguồn D.