Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

Câu 11. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=x^4-12x^2-4$ trên đoạn $[0;9]$ bằng

Câu 3. Một xí nghiệp sản xuất và tiêu thụ một loại sản phẩm. Giả sử hàm giá và hàm chi phí của loại sản phẩm này lần lượt là $p(x)=48-x$ (triệu đồng) và $C(x)=x^2+6x+20$ (triệu đồng), trong đó $x$ ($1\le x\le 20$) là số lượng sản phẩm được sản xuất. Hãy tính lợi nhuận tối đa của xí nghiệp, biết rằng mỗi sản phẩm bán ra phải chịu thêm mức thuế là $2$ triệu đồng.

Một nhà máy sản xuất dòng drone chuyên dụng phục vụ cứu hộ. Nhà máy có công suất tối đa $400$ chiếc/quý. Phòng kinh doanh đưa ra các dữ liệu tài chính cho việc sản xuất và tiêu thụ hết $x$ chiếc drone ($x\in {\mathbb{N}}^{\ast },x\le 400$) trong một quý như sau:
+ Giá bán mỗi chiếc drone xác định theo hàm số $P(x)=150-0,2x$ (đơn vị: triệu đồng/chiếc).
+ Chi phí vận hành cố định: $2$ tỷ đồng/quý.
+ Chi phí linh kiện: Giá gốc $70$ triệu đồng/chiếc. Nếu sản xuất trên $150$ chiếc thì chi phí linh kiện cho toàn bộ lô hàng giảm xuống còn $60$ triệu đồng/chiếc.
Lợi nhuận sau thuế lớn nhất trong một quý nhà máy có thể đạt được là bao nhiêu triệu đồng? (Biết thuế thu nhập doanh nghiệp là $20\%$ tính trên lợi nhuận dương).

Câu 3: Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục và có bảng biến thiên trên đoạn $[-1;3]$ như hình vẽ. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-1;3]$.

Câu 5: Từ một tấm bìa hình chữ nhật có chiều rộng $30\text{ cm}$ và chiều dài $80\text{ cm}$ như hình a, người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông có cạnh $x$ với $5\le x\le 8$ và gấp lại để tạo thành chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không nắp như hình b. Tìm $x$ để thể tích chiếc hộp là lớn nhất (với kết quả được làm tròn đến hàng phần chục).

Câu 4: Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=-x^4+2x^2+3$ trên $[-1;1]$ bằng

Câu 2: Một cơ sở sản xuất sữa hạt chất lượng cao có thể sản xuất được tối đa $300$ lít mỗi ngày. Chi phí sản xuất $x$ lít sữa mỗi ngày bao gồm: chi phí nhân công là một triệu đồng/ngày; chi phí nguyên vật liệu, đóng chai, bao bì là $35$ nghìn đồng cho một lít sữa được sản xuất; chi phí bảo dưỡng máy móc là $C_b(x)=0,00001x^2$ (triệu đồng). Ngoài ra, nếu $x$ lít sữa sản xuất mỗi ngày vượt $200$ lít thì ngoài các chi phí trên còn phát sinh thêm chi phí do vận hành quá tải là $C_v(x)=0,00003(x-200{)}^3$ (triệu đồng). Giá bán mỗi lít sữa là $60$ nghìn đồng. Biết cơ sở bán hết lượng sữa sản xuất trong ngày. Hỏi mỗi ngày cơ sở có lợi nhuận (đơn vị: triệu đồng) đạt được nhiều nhất là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Câu 3: Cho hàm số $y=g(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ.



Giá trị lớn nhất của hàm số $y=g(x)$ trên khoảng $(0;+\infty )$ bằng

Câu 2: Một nhà sản xuất Robot xác định rằng để bán được $x$ đơn vị Robot, giá bán mỗi đơn vị (triệu đồng) phải là $p(x)=1000-x$. Nhà sản xuất cũng xác định rằng tổng chi phí sản xuất $x$ đơn vị được cho bởi $C(x)=3000+20x$. Khi đó

Câu 3: Cho hàm số $y=\sqrt{4x-2x^2}$. Gọi $M$ là giá trị lớn nhất và $m$ là giá trị nhỏ nhất của hàm số. Tính giá trị $M^{24}+m^{2024}$.

Câu 5: Một con đường cần được xây dựng giữa hai thành phố $X$ và $Y$ nằm ở hai bên đối diện của một con sông có chiều rộng đều $1\text{ km}$. $X$ cách sông $2\text{ km}$ và $Y$ cách sông $4\text{ km}$, khoảng cách giữa hai hình chiếu vuông góc của $X$ và $Y$ trên bờ sông là $X^{\prime }{Y}^{\prime }=6\text{ km}$. Một cây cầu sẽ được xây dựng để cho phép giao thông đi qua sông. Vị trí của cây cầu $CD$ cách $X{X}^{\prime }$ là $x\text{ (km)}$. Tìm $x$ để con đường cần được xây dựng giữa hai thành phố $X$ và $Y$ được ngắn nhất.

Câu 8: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=f(x)=x^2-4x+3$ trên đoạn $[-1;4]$.

Câu 1: Ông B cần đóng một thùng có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp đậy. Ông B cần thùng có thể tích bằng $2{\text{ m}}^3$. Giá tôn làm đáy thùng là $100.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$ và giá tôn làm thành xung quanh thùng là $50.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$. Hỏi ông B cần đóng thùng với cạnh đáy bằng bao nhiêu mét để chi phí mua nguyên liệu là nhỏ nhất, biết đáy thùng là hình vuông và các mối nối không đáng kể (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 6: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh $12\text{ (cm)}$. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh $x\text{ (cm)}$ như hình vẽ bên dưới rồi gấp tấm nhôm lại để được cái hộp không nắp. Tìm $x$ để hộp có thể tích lớn nhất.

Câu 4: Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục và có bảng biến thiên trên đoạn $[-1;3]$ như hình dưới đây.



Gọi $M$ là giá trị lớn nhất của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[-1;3]$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 5: Cho hàm số $y=x^3-3x^2$. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-1;1]$ là

Câu 4: Một cơ sở sản xuất gốm sản xuất được tối đa $30$ bình gốm mỗi ngày. Biết rằng nếu mỗi ngày cơ sở sản xuất được $x$ bình gốm thì phải trả các chi phí sau: $10$ triệu đồng chi phí cố định; $1,4$ triệu đồng cho mỗi bình gốm và $0,025x^2$ triệu đồng chi phí bảo dưỡng máy móc.

Câu 4: Xí nghiệp $A$ sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết rằng hàm tổng chi phí sản xuất là $TC=x^3-77x^2+1000x+40000$ và hàm doanh thu là $TR=-2x^2+1312x$, với $x$ là số sản phẩm. Lợi nhuận của xí nghiệp $A$ được xác định bằng hàm số $f(x)=TR-TC$, cực đại lợi nhuận của xí nghiệp $A$ khi đó đạt bao nhiêu sản phẩm?

Câu 5: Một công ty bất động sản có $50$ căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá $2$ triệu đồng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ tăng thêm giá thuê mỗi căn hộ lên $100$ nghìn đồng thì một tháng sẽ có $2$ căn hộ bị bỏ trống. Hỏi muốn có doanh thu cao nhất thì công ty bất động sản phải cho thuê mỗi căn hộ bao nhiêu tiền một tháng? (đơn vị nghìn đồng).

Câu 6: Một hồ nước hình bán nguyệt có đường kính $AB=200\text{ m}$. Một người chèo thuyền theo một đường thẳng với vận tốc $3\text{ km/h}$ từ vị trí $A$ đến vị trí $C$ bất kỳ trên cung $AB$. Tại vị trí $C$, người đó nghỉ $5$ phút rồi tiếp tục chạy bộ dọc theo cung nhỏ $CB$ đến $B$, sau đó chạy theo đường thẳng $BA$ để quay về $A$ với vận tốc $6\text{ km/h}$ (tham khảo hình vẽ). Hỏi người đó mất nhiều nhất bao nhiêu phút để về đến vị trí $A$ (kết quả quy tròn đến hàng phần chục)?