Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

Một sợi dây kim loại dài $120\text{cm}$ được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất được uốn thành hình vuông, đoạn dây thứ hai được uốn thành vòng tròn.

Tổng diện tích của hình vuông và hình tròn đạt giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu? (kết quả lấy đến hàng đơn vị).

Câu 1. Chi phí vận hành trung bình (tính bằng triệu đồng/chuyến) của một công ty vận tải khi vận hành $x$ chuyến xe mỗi ngày được cho bởi hàm số $A(x)=0,2x+2+\frac{500}{x}$ với $10\le x\le 100$.

Giá trị lớn nhất của hàm số $y=\frac{3x-1}{x-3}$ trên đoạn $[0;2]$ là

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ với độ dài trên mỗi trục là $10$ mét. Giả sử có một mảnh vườn được giới hạn bởi trục hoành và một phần đồ thị $(\mathcal{H})$ của hàm số $f(x)=-x^3+b{x}^2+cx+d$, ($O$ là điểm cực tiểu, $(\mathcal{H})$ cắt $Ox$ tại điểm $M(3;0)$ (tham khảo hình vẽ). Bạn An muốn trồng hoa trên mảnh đất có dạng hình tam giác $MAB$ với $A,B$ là giao điểm của đường thẳng $d:y=kx,(k>0)$ và đồ thị $(\mathcal{H})$. Khi diện tích phần trồng hoa này là lớn nhất phần đất còn lại bằng bao nhiêu mét vuông (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử khi sản xuất và bán hết $x$ sản phẩm ($0<x<2000$), tổng số tiền doanh nghiệp thu được là $F(x)=2000x-x^2$ (chục nghìn đồng) và tổng chi phí doanh nghiệp bỏ ra là $G(x)=x^2+1440x+50$ (chục nghìn đồng). Công ty cũng phải chịu mức thuế phụ thu cho $1$ đơn vị sản phẩm bán được là $t$ (chục nghìn đồng) ($0<t<300$). Mức thuế phụ thu $t$ (trên một đơn vị sản phẩm) là bao nhiêu sao cho nhà nước thu được số tiền thuế phụ thu lớn nhất và doanh nghiệp cũng thu được lợi nhuận nhiều nhất theo đúng mức thuế phụ thu đó (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Một hộ làm nghề thủ công sản xuất mỗi ngày được $x$ mét vải lụa ($1\le x\le 21$). Tổng chi phí sản xuất $x$ mét vải lụa (tính bằng nghìn đồng), được cho bởi hàm chi phí $C(x)=x^3-3x^2-25x+548$. Giả sử hộ làm nghề này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá $272$ nghìn đồng/$1$ mét vải lụa. Gọi $B(x)$ là số tiền bán được và $L(x)$ là lợi nhuận thu được khi bán $x$ mét vải lụa. Các khẳng định sau là đúng hay sai?

Một bệnh viện có $15$ máy xét nghiệm tự động. Mỗi máy xét nghiệm được $20$ mẫu trong $1$ giờ. Chi phí bảo dưỡng và khử khuẩn mỗi máy cho một ca trực là $58$ nghìn đồng. Chi phí thuê kỹ thuật viên giám sát là $290$ nghìn đồng/giờ. Trong ngày bệnh viện nhận $400$ mẫu xét nghiệm. Hỏi chi phí là ít nhất là bao nhiêu nghìn đồng?

Cho hàm số $f(x)=x^3-3x^2$.

Doanh nghiệp A đang có kế hoạch sản xuất một mặt hàng phục vụ trong những sự kiện đặc biệt. Bộ phận phân tích thị trường báo cáo rằng: Trong $1$ tháng, tổng chi phí để sản xuất và kinh doanh $x$ sản phẩm là $V(x)=1,4x-500+\frac{75000}{x}$ (đơn vị: triệu đồng), với $x$ là số nguyên dương. Biết rằng, giá bán ra của một sản phẩm là $1,1$ triệu đồng. Hỏi trong $1$ tháng sản xuất và kinh doanh như trên, doanh nghiệp A thu được số tiền lợi nhuận nhiều nhất là bao nhiêu triệu đồng, biết rằng trong tháng đó doanh nghiệp bán hết được số sản phẩm sản xuất ra?

Để quảng bá hình ảnh du lịch Quảng Ninh trong mùa cao điểm, một nhóm bạn trẻ dự định thực hiện chiến dịch nội dung trên hai nền tảng: TikTok (Kênh A) và YouTube Short (Kênh B) trong đúng 10 ngày. Do đặc thù sản xuất video, mỗi ngày nhóm chỉ tập trung đăng tải và tương tác trên một nền tảng duy nhất. Nếu dành $x$ ngày cho Kênh A, số lượt tiếp cận thu về là: $P_A=x^2+2x$ (nghìn lượt). Nếu dành $y$ ngày cho Kênh B, số lượt tiếp cận thu về là: $P_B=326y-27y^2$ (nghìn lượt). Biết rằng do thuật toán của nền tảng, nhóm quyết định dành cho Kênh B không quá 6 ngày. Hỏi nhóm bạn trẻ nên phân bổ bao nhiêu ngày cho Kênh A để tổng số lượt tiếp cận trên cả hai nền tảng là lớn nhất?

Câu 2. Một cửa hàng cần nhập 2500 chiếc máy tính bảng trong 1 năm. Mỗi đợt giao $x$ chiếc ($1\le x\le 2500$). Chi phí vận chuyển mỗi đợt là $20+0,002x^2$ USD. Hỏi mỗi đợt nên vận chuyển bao nhiêu máy tính bảng để tổng chi phí nhỏ nhất?

Một hộ làm nghề dệt vải thổ cẩm ở làng Mỹ Nghiệp thuộc xã Ninh Phước tỉnh Khánh Hoà sản xuất mỗi ngày được $x$ mét vải thổ cẩm ($1\le x\le 18$). Tổng chi phí sản xuất $x$ mét vải thổ cẩm (tính bằng nghìn đồng) cho bởi hàm số $C(x)=x^3-3x^2-20x+500$. Giả sử hộ làm nghề dệt thổ cẩm này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá $220$ nghìn đồng/mét. Hỏi hộ làm nghề dệt thổ cẩm cần sản xuất và bán ra mỗi ngày bao nhiêu mét vải thổ cẩm để thu được lợi nhuận tối đa?

Một khách sạn công nghệ cao có 50 phòng cho thuê. Nếu khách sạn đặt giá thuê mỗi phòng là 2 triệu đồng/ngày thì toàn bộ các phòng đều được thuê hết. Nghiên cứu thị trường cho thấy, cứ mỗi lần tăng giá thuê thêm 100 nghìn đồng/ngày thì sẽ có thêm 1 phòng bị bỏ trống. Biết chi phí vận hành, dọn dẹp cho mỗi phòng được thuê là 200 nghìn đồng/ngày (phòng trống không mất chi phí này). Để lợi nhuận thu được trong ngày từ việc cho thuê phòng đạt từ 115 triệu đồng trở lên, khách sạn có thể thiết lập mức giá cho thuê cao nhất là bao nhiêu triệu đồng/ngày?

Một doanh nghiệp vận tải muốn đóng các thùng gỗ để chứa hàng hóa trong quá trình vận chuyển. Mỗi thùng được thiết kế theo dạng hình hộp chữ nhật không có nắp đậy có thể tích $1{\text{ m}}^3$. Để đảm bảo phù hợp với thiết bị xếp dỡ, thùng được thiết kế sao cho chiều dài của đáy gấp $1,5$ lần chiều rộng. Biết chi phí vật liệu làm mặt đáy là $240.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$, chi phí vật liệu làm mặt bên là $180.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$ (bỏ qua các chi phí khác như công lắp ráp, vận chuyển, hao hụt vật liệu, ...). Hỏi với số tiền là $200\text{ triệu đoˆˋng}$, doanh nghiệp có thể sản xuất tối đa bao nhiêu thùng gỗ?

Câu 2. Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất $8000$ quả bóng pickleball. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất $30$ quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là $200$ nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát (người giám sát sẽ giám sát tất cả các máy). Số tiền phải trả cho người giám sát là $192$ nghìn đồng một giờ. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Câu 4. Nếu một doanh nghiệp sản xuất $x$ sản phẩm trong một tháng ($x\in {\mathbb{N}}^{\ast };1\le x\le 3000$) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là $F(x)=-0,02x^2+300x$ (nghìn đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho mỗi sản phẩm là $G(x)=\frac{2000}{x}+200$ (nghìn đồng). Giả sử số sản phẩm sản xuất ra luôn được bán hết. Trong một tháng, doanh nghiệp đó cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được lớn hơn 50 triệu đồng?

Tuyến đường sắt cao tốc sau khi đưa vào hoạt động đã đem lại nhiều thuận lợi, thúc đẩy phát triển kinh tế - xã hội của khu vực. Biết rằng sau khi khai trương, thời gian giữa hai chuyến tàu liên tiếp là $t$ (đơn vị: phút), với $2\le t\le 20,t\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Sức chở của tàu cao tốc có liên hệ với $t$ như sau:
• Khi $10\le t\le 20$, tàu ở trạng thái đầy, sức chở là $1200$ người.
• Khi $2\le t<10$, sức chở giảm so với mức đầy; số người giảm tỉ lệ thuận với $(10-t{)}^2$. Biết rằng khi $t=5$ phút thì sức chở là $950$ người.

Gọi $P(t)$ (người) là sức chở của tàu khi thời gian giữa hai chuyến là $t$ phút. Giả sử lợi nhuận ròng của tuyến khi đó là $Q(t)=\frac{t}{5}P(t)-40t^2+660t-1372$ (triệu đồng). Hỏi khi $t$ bằng bao nhiêu phút thì lợi nhuận ròng trung bình mỗi phút $\frac{Q(t)}{t}$ đạt giá trị lớn nhất?

Một nghệ nhân làm gốm thủ công tại địa phương đang sản xuất một dòng bình hoa gốm đặc biệt. Mỗi ngày, nghệ nhân này có thể sản xuất $x$ chiếc bình hoa ($1\le x\le 18,x\in \mathbb{N}$). Tổng chi phí sản xuất $x$ bình hoa trong một ngày (bao gồm nguyên liệu, công thợ và lò nung), tính bằng đơn vị nghìn đồng, được xác định bởi hàm chi phí: $C(x)=x^3-3x^2+40x+500$. Giả sử toàn bộ số bình hoa sản xuất ra trong ngày đều được các cửa hàng lưu niệm thu mua hết với giá cố định là $280$ nghìn đồng/bình. Để đạt được lợi nhuận cao nhất, nghệ nhân này nên sản xuất bao nhiêu bình hoa mỗi ngày?

Câu 1: Cho hàm số $f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{32-x}$.

Câu 5. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x^4-4x^2+3$ trên đoạn $[0;4]$ là