Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

Giá trị lớn nhất của hàm số $y=x^2\cdot e^x$ trên $[-3;2]$ bằng

Giả sử chi phí để sản xuất $x$ sản phẩm của một nhà máy A được cho bởi hàm số $C(x)=0,2x^2+10x+5$ (triệu đồng). Khi đó chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm là $f(x)=\frac{C(x)}{x}$. Số lượng sản phẩm cần sản xuất là bao nhiêu để chi phí trung bình là thấp nhất?

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x^3-3x^2$ trên $[-1;1]$ là:

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[-1;5]$ và có đồ thị trên đoạn $[-1;5]$ như hình vẽ bên dưới. Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[-1;5]$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $[-2;4]$ và có bảng biến thiên như sau:

Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên đoạn $[-2;4]$. Tính $M^2-m^2$.

Công ty $X$ chuyên sản xuất một loại sản phẩm, bộ phận sản xuất ước tính rằng với $x$ sản phẩm được sản xuất trong một tháng thì tổng chi phí sẽ là $C(x)=8x^2+40x+1400$ (nghìn đồng) và mỗi sản phẩm công ty bán với giá $P(x)=1400-2x$ (nghìn đồng). Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Cho hàm số $y=f(x)=x^3-3x+1$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Một Villa sinh thái nghỉ dưỡng thống kê được rằng: Nếu áp dụng mức giá $3$ triệu đồng/người/ngày thì mỗi tháng có $160$ khách đến nghỉ và mỗi khách sẽ nghỉ $10$ ngày. Nếu cứ tăng giá thêm $500$ nghìn đồng/người/ngày thì hàng tháng số khách đến nghỉ sẽ giảm $4$ người và thời gian lưu trú của mỗi khách cũng giảm đi $2$ ngày. Ngược lại, nếu cứ giảm giá $500$ nghìn đồng/người/ngày thì hàng tháng số khách đến nghỉ sẽ tăng thêm $4$ người và thời gian lưu trú của mỗi khách cũng tăng thêm $2$ ngày.
Hỏi villa đó cần áp dụng mức giá bao nhiêu triệu đồng/người/ngày để lợi nhuận hàng tháng thu được là lớn nhất, biết tổng chi phí công ty phải chi cho một ngày lưu trú của mỗi người khách là $2$ triệu đồng và Sở văn hóa, thể thao và du lịch không cho công ty thu vượt quá $10$ triệu đồng/người/ngày.
(không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[-1;5]$ và có đồ thị trên đoạn $[-1;5]$ như hình vẽ bên dưới.

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[0;5]$ bằng

Một trang trại rau sạch ở Đà Lạt mỗi ngày thu hoạch được $1$ tấn rau. Mỗi ngày, nếu giá bán rau là $30000$ đồng/kg thì bán hết rau, mỗi lần tăng giá bán rau $1000$ đồng/kg thì số rau thừa tăng $20\text{kg}$. Số rau thừa này được thu mua hết để làm thức ăn chăn nuôi với giá $2000$ đồng/kg. Hỏi để mỗi ngày thu được số tiền bán rau lớn nhất thì trang trại đó nên bán rau với giá bao nhiêu nghìn đồng?

Một nhà máy dự định sản xuất không quá $900$ sản phẩm. Nếu nhà máy sản xuất $x$ sản phẩm $(0\le x\le 900)$ thì lợi nhuận nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là $f(x)=-x^3+900x^2+56700x+450000$ (đồng). Nhà máy cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Câu 4: Khi chế tạo cánh diều hình tứ giác, người ta sẽ tạo khung trước. Một khung cánh diều sẽ được tạo từ hai thanh chéo làm bằng gỗ và bốn sợi dây cước viền. Lấy bốn sợi dây tạo thành viền ngoài đã được cắt đúng độ dài với kích thước là $40,40,96,96$ (theo đơn vị cm) như hình vẽ và lắp hai thanh gỗ làm đường chéo. Tính tổng độ dài hai thanh chéo gỗ khi diện tích cánh diều lớn nhất (đơn vị cm, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Anh Công dự định làm một chiếc bể cá hình hộp chữ nhật không có nắp bằng vật liệu kính. Biết rằng đáy bể có thiết kế chiều dài gấp ba lần chiều rộng. Kinh phí tối đa anh Công có thể chi trả để mua kính làm các mặt bể là $3600000$ đồng và giá kính ghép bể hiện tại là $400000$ đồng/${\text{m}}^2$. Hỏi thể tích nước lớn nhất mà chiếc bể cá có thể chứa được là bao nhiêu mét khối? (Xem độ dày của kính là không đáng kể và không tính phần vật liệu hao hụt khi dán keo).

Tổng chi phí vận hành một hệ thống máy chủ đám mây của một quốc gia mỗi giờ (USD) phụ thuộc vào mức băng thông $x$ (đơn vị: GB/s, $x>0$) bao gồm hai khoản: chi phí hạ tầng $f(x)=4800x^2-45000x+125000$ và chi phí thiệt hại do độ trễ $g(x)=\frac{70000}{x}$. Tìm $x$ để tổng chi phí đạt giá trị nhỏ nhất (*làm tròn kết quả tính toán sau cùng đến hàng đơn vị*).

Một doanh nghiệp tư nhân dự định sản xuất một loại linh kiện điện tử với số lượng không quá $300$ sản phẩm. Nếu doanh nghiệp bán được $x$ sản phẩm thì tổng doanh thu thu về (đơn vị: đồng) được tính theo công thức $f(x)=x^3-1200x^2+150000x+50000$. Chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm (đơn vị: đồng) được tính theo công thức $C(x)=2000+x+\frac{40000}{x}$. Hỏi doanh nghiệp cần bán bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu về là lớn nhất?

Một công ty dự định sản xuất không quá $600$ sản phẩm. Nếu công ty sản xuất $x$ sản phẩm $(1\le x\le 600)$ thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là $F(x)=0,001x^3-1,999x^2+1006x+250$ (đơn vị nghìn đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho mỗi sản phẩm là $G(x)=0,001x+\frac{250}{x}+1$ (nghìn đồng). Ngoài ra, công ty còn phải nộp thuế bổ sung cho mỗi sản phẩm được bán ra là $5$ nghìn đồng. Khoản thuế này được gọi là thuế phụ thu. Công ty cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Câu 1. Một dây chuyền sản xuất có chi phí hao mòn (cần bảo dưỡng sau một chu kì sản xuất) sau khi sản xuất $x$ sản phẩm là $C(x)=20\ln x+50$ (triệu đồng). Biết các sản phẩm được sản xuất thì được bán hết. Mỗi sản phẩm sau khi trừ đi các chi phí về vật liệu sản xuất và chi phí bán hàng thu về $5\text{ triệu đoˆˋng/1 sản phẩm}$. Mỗi chu kì sản xuất dây chuyền cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm để tổng lợi nhuận sau mỗi chu kì không nhỏ hơn $500\text{ triệu đoˆˋng}$?

Giá trị lớn nhất của hàm số $y=\frac{3x-1}{x-3}$ trên $[0;2]$ là

Một hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm sản xuất mỗi ngày được $x$ mét vải lụa $(1\le x\le 18)$. Tổng chi phí sản xuất $x$ mét vải lụa, tính bằng nghìn đồng, cho bởi hàm chi phí:
$C(x)=x^3-3x^2-20x+500$.
Giả sử hộ làm nghề dệt này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá $220$ nghìn đồng/mét. Gọi $B(x)$ là số tiền bán được và $L(x)$ là lợi nhuận thu được khi bán $x$ mét vải lụa. Khi đó:

Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là $s=s(t)=-t^3+9t^2+8t-9$, với $t$ $(\text{s})$ là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và $s$ $(\text{m})$ là quãng đường vật đi được trong thời gian đó. Trong khoảng thời gian $8$ giây đầu tiên, vận tốc $v$ $(\text{m/s})$ của chất điểm đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?